Fasor

Multiplicación del fasor${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$por una constante compleja,${\displaystyle Be^{i\phi }}$, produce otro fasor. Eso significa que su único efecto es cambiar la amplitud y la fase de la sinusoide subyacente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

En electrónica,${\displaystyle Be^{i\phi }}$representaría una impedancia , que es independiente del tiempo. En particular, no es la notación abreviada de otro fasor. Multiplicar una corriente fasorial por una impedancia produce una tensión fasorial. Pero el producto de dos fasores (o elevar un fasor al cuadrado) representaría el producto de dos sinusoides, que es una operación no lineal que produce nuevos componentes de frecuencia. La notación fasorial solo puede representar sistemas con una frecuencia, como un sistema lineal estimulado por una sinusoide.

La suma de varios fasores produce otro fasor. Esto se debe a que la suma de sinusoides con la misma frecuencia también es una sinusoide con esa frecuencia: $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$ dónde: $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

y, si tomamos${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$, entonces${\displaystyle \theta _{3}}$es:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$si${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$con${\displaystyle \operatorname {sgn} }$la función signo ;
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$;
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$si${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$.

o bien, mediante la ley de los cosenos en el plano complejo (o la identidad trigonométrica para diferencias angulares ): $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ dónde${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

Un punto clave es que A ₃ y θ ₃ no dependen de ω ni de t , lo que posibilita la notación fasorial. La dependencia del tiempo y la frecuencia se puede suprimir y reinsertar en el resultado siempre que las únicas operaciones utilizadas entre ellas produzcan otro fasor. En notación angular , la operación mostrada anteriormente se escribe: $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Otra forma de ver la suma es que dos vectores con coordenadas [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] y [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] se suman vectorialmente para producir un vector resultante con coordenadas [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (ver animación).

En física, este tipo de suma ocurre cuando las sinusoides interfieren entre sí, de forma constructiva o destructiva. El concepto de vector estático proporciona información útil para preguntas como esta: "¿Qué diferencia de fase se requeriría entre tres sinusoides idénticas para una cancelación perfecta?" En este caso, simplemente imagine tomar tres vectores de igual longitud y colocarlos cabeza con cola de manera que la última cabeza coincida con la primera cola. Claramente, la forma que satisface estas condiciones es un triángulo equilátero , por lo que el ángulo entre cada fasor y el siguiente es de 120° ( 2π / 3  radianes), o un tercio de una longitud de onda λ / 3 . Por lo tanto , la diferencia de fase entre cada onda también debe ser de 120°, como es el caso en la potencia trifásica .

En otras palabras, lo que esto demuestra es que: $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

En el ejemplo de tres ondas, la diferencia de fase entre la primera y la última onda fue de 240°, mientras que para dos ondas la interferencia destructiva ocurre a 180°. En el límite de muchas ondas, los fasores deben formar un círculo para que se produzca la interferencia destructiva, de modo que el primer fasor sea casi paralelo al último. Esto significa que, para muchas fuentes, la interferencia destructiva ocurre cuando la primera y la última onda difieren en 360 grados, una longitud de onda completa.${\displaystyle \lambda }$Por eso, en la difracción de una sola rendija , los mínimos se producen cuando la luz del borde lejano recorre una longitud de onda completa más que la luz del borde cercano.

A medida que el vector gira en sentido antihorario, su extremo en el punto A completará una revolución de 360° o 2π radianes  , lo que representa un ciclo completo. Si la longitud de su extremo móvil se representa en un gráfico a intervalos angulares diferentes, como se muestra arriba, se dibujará una forma de onda sinusoidal que comienza en el eje izquierdo con tiempo cero. Cada posición en el eje horizontal indica el tiempo transcurrido desde el tiempo cero, t = 0. Cuando el vector está en posición horizontal, su extremo representa los ángulos de 0°, 180° y 360°.

De igual modo, cuando la punta del vector es vertical, representa el valor máximo positivo ( _{+A máx) a 90° o π/2 y el valor máximo negativo (−A máx} ) a ₂₇₀ ° o 3π / 2 . El eje temporal de la forma de onda representa el ángulo , ya sea en grados o radianes, que ha recorrido el fasor. Por lo tanto, podemos decir que un fasor representa un valor de voltaje o corriente escalado de un vector giratorio que se encuentra "congelado" en un instante de tiempo ( t ), y en nuestro ejemplo anterior, este instante corresponde a un ángulo de 30°.

En ocasiones, al analizar formas de onda alternas, es necesario conocer la posición del fasor que representa la magnitud alterna en un instante determinado, especialmente al comparar dos formas de onda diferentes en el mismo eje. Por ejemplo, voltaje y corriente. En la forma de onda anterior, hemos supuesto que comienza en el instante t = 0 con un ángulo de fase correspondiente, expresado en grados o radianes.

Pero si una segunda onda comienza a la izquierda o a la derecha de este punto cero, o si queremos representar en notación fasorial la relación entre ambas ondas, entonces deberemos tener en cuenta esta diferencia de fase, Φ, de la onda. Considere el diagrama que aparece a continuación, del tutorial anterior sobre la diferencia de fase.

La derivada o integral temporal de un fasor produce otro fasor. ^{[ b ]} Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en la representación fasorial, la derivada temporal de una sinusoide se convierte simplemente en una multiplicación por la constante.${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$.

De manera similar, integrar un fasor corresponde a multiplicar por${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$El factor dependiente del tiempo,${\displaystyle e^{i\omega t},}$no se ve afectado.

Cuando resolvemos una ecuación diferencial lineal con aritmética fasorial, simplemente estamos factorizando.${\displaystyle e^{i\omega t}}$de todos los términos de la ecuación, y reinsértelo en la respuesta. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación diferencial para el voltaje a través del condensador en un circuito RC : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Cuando la fuente de voltaje en este circuito es sinusoidal: $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

podemos sustituir${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$ donde fasor${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$y fasor${\displaystyle V_{\text{c}}}$es la cantidad desconocida que se debe determinar.

En la notación abreviada fasorial, la ecuación diferencial se reduce a: $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Al despejar la tensión del condensador fasorial se obtiene: $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Como hemos visto, el factor multiplicador${\displaystyle V_{\text{s}}}$representa diferencias de amplitud y fase de${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$relativo a${\displaystyle V_{\text{P}}}$y${\displaystyle \theta .}$

En forma de coordenadas polares, el primer término de la última expresión es: $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ dónde${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$.

Por lo tanto: $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Una magnitud llamada impedancia compleja es la relación entre dos fasores, que no es un fasor, porque no corresponde a una función que varía sinusoidalmente.

Con fasores, las técnicas para resolver circuitos de CC se pueden aplicar para resolver circuitos de CA lineales. ^{[ a ]}

Ley de Ohm para resistencias

Una resistencia no tiene retardos de tiempo y, por lo tanto, no cambia la fase de una señal, por lo que V = IR sigue siendo válida.

Ley de Ohm para resistencias, inductores y condensadores

V = IZ donde Z es la impedancia compleja.

Leyes de circuitos de Kirchhoff

Trabaje con voltajes y corrientes como fasores complejos.

En un circuito de CA tenemos potencia real ( P ), que representa la potencia promedio que entra al circuito, y potencia reactiva ( Q ), que indica la potencia que fluye en ambas direcciones. También podemos definir la potencia compleja S = P + jQ y la potencia aparente, que es la magnitud de S. La ley de potencia para un circuito de CA expresada en fasores es entonces S = VI ^* (donde I ^* es el conjugado complejo de I , y las magnitudes de los fasores de voltaje y corriente V y de I son los valores RMS del voltaje y la corriente, respectivamente).

Dado esto, podemos aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar circuitos lineales de CA de frecuencia única que contienen resistencias, condensadores e inductores . Los circuitos lineales de CA de frecuencia múltiple y los circuitos de CA con diferentes formas de onda pueden analizarse para encontrar voltajes y corrientes transformando todas las formas de onda en componentes sinusoidales (usando series de Fourier ) con magnitud y fase, y luego analizando cada frecuencia por separado, como lo permite el teorema de superposición . Este método de solución se aplica solo a entradas sinusoidales y a soluciones en estado estacionario, es decir, después de que todos los transitorios se hayan disipado. ^{[ 16 ]}

Este concepto se utiliza frecuentemente para representar una impedancia eléctrica . En este caso, el ángulo de fase es la diferencia de fase entre la tensión aplicada a la impedancia y la corriente que la atraviesa.

En el análisis de sistemas de potencia de CA trifásica , generalmente se define un conjunto de fasores como las tres raíces cúbicas complejas de la unidad , representadas gráficamente como magnitudes unitarias en ángulos de 0, 120 y 240 grados. Al tratar las magnitudes de los circuitos de CA polifásica como fasores, los circuitos balanceados se pueden simplificar y los circuitos desbalanceados se pueden tratar como una combinación algebraica de componentes simétricas . Este enfoque simplifica enormemente el trabajo requerido en los cálculos eléctricos de caída de tensión, flujo de potencia y corrientes de cortocircuito. En el contexto del análisis de sistemas de potencia, el ángulo de fase se suele dar en grados y la magnitud en valor RMS en lugar de la amplitud pico de la sinusoide.

La técnica de sincrofasores utiliza instrumentos digitales para medir los fasores que representan las tensiones del sistema de transmisión en distintos puntos de la red. Las diferencias entre los fasores indican el flujo de potencia y la estabilidad del sistema.

La imagen del marco giratorio mediante fasores puede ser una herramienta poderosa para comprender modulaciones analógicas como la modulación de amplitud (y sus variantes ^{[ 17 ]} ) y la modulación de frecuencia .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$ donde el término entre corchetes se considera un vector giratorio en el plano complejo.

El fasor tiene longitud${\displaystyle A}$, gira en sentido antihorario a una velocidad de${\displaystyle f_{0}}$revoluciones por segundo y en el tiempo${\displaystyle t=0}$hace un ángulo de${\displaystyle \theta }$con respecto al eje real positivo.

La forma de onda${\displaystyle x(t)}$puede entonces verse como una proyección de este vector sobre el eje real. Una forma de onda modulada está representada por este fasor (la portadora) y dos fasores adicionales (los fasores de modulación). Si la señal moduladora es un solo tono de la forma${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$, dónde${\displaystyle m}$es la profundidad de modulación y${\displaystyle f_{m}}$es la frecuencia de la señal moduladora, entonces para la modulación de amplitud los dos fasores de modulación vienen dados por:

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Los dos fasores de modulación están desfasados ​​de tal manera que su suma vectorial siempre está en fase con el fasor portador. Una representación alternativa consiste en dos fasores que giran en sentido contrario alrededor del extremo del fasor portador a una velocidad${\displaystyle f_{m}}$en relación con el fasor portador. Es decir,

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

La modulación de frecuencia es una representación similar, excepto que los fasores moduladores no están en fase con la portadora. En este caso, la suma vectorial de los fasores moduladores está desplazada 90° con respecto a la fase de la portadora. Estrictamente, la representación de modulación de frecuencia requiere fasores de modulación pequeños adicionales en${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$etc., pero para la mayoría de los fines prácticos se ignoran porque su efecto es muy pequeño.