Aplicaciones de los cuaterniones duales a la geometría 2D

Los cuaterniones planares conforman un álgebra de cuatro dimensiones sobre los números reales . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Su principal aplicación radica en la representación de movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 2D . En este artículo, se analizan ciertas aplicaciones del álgebra de cuaterniones duales a la geometría 2D. Actualmente, el artículo se centra en una subálgebra de cuatro dimensiones de los cuaterniones duales, que posteriormente se denominará cuaterniones planares .

A diferencia de la multiplicación de números duales o de números complejos , la de cuaterniones planares no es conmutativa .

En este artículo, el conjunto de cuaterniones planares se denota${\displaystyle \mathbb {DC} }$Un elemento general${\displaystyle q}$de${\displaystyle \mathbb {DC} }$tiene la forma${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$dónde${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son números reales;${\displaystyle \varepsilon }$es un número dual que al cuadrado es cero; y${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$, y${\displaystyle k}$son los elementos base estándar de los cuaterniones .

La multiplicación se realiza de la misma manera que con los cuaterniones, pero con la regla adicional de que${\textstyle \varepsilon }$es nilpotente de índice${\displaystyle 2}$, es decir,${\estilo de texto \varepsilon ^{2}=0}$, lo que en algunas circunstancias hace${\textstyle \varepsilon }$comparable a un número infinitesimal . De ello se deduce que los inversos multiplicativos de los cuaterniones planares vienen dados por $${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon jD\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$$

El conjunto${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$Constituye la base del espacio vectorial de los cuaterniones planares, donde los escalares son números reales.

La magnitud de un cuaternión planar${\displaystyle q}$se define como$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

Para aplicaciones en gráficos por computadora, el número${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$comúnmente se representa como la cuádrupla${\displaystyle (A,B,C,D)}$.

Un cuaternión planar${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$tiene la siguiente representación como una matriz compleja de 2x2: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$$

También se puede representar como una matriz numérica dual de 2×2: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.}$$ Las dos representaciones matriciales anteriores están relacionadas con las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Laguerre, respectivamente.

El álgebra que se analiza en este artículo a veces se denomina números complejos duales . Este nombre puede resultar engañoso, ya que sugiere que el álgebra debería adoptar la forma de:

1. Los números duales, pero con entradas de números complejos.
2. Los números complejos, pero con entradas de dos números.

Existe un álgebra que cumple con cualquiera de las dos descripciones. Y ambas descripciones son equivalentes. (Esto se debe a que el producto tensorial de álgebras es conmutativo salvo isomorfismo ). Esta álgebra se puede denotar como${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$utilizando el método de cociente de anillos . El álgebra resultante tiene un producto conmutativo y no se analiza más a fondo.

Dejar$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$ser un cuaternión planar de longitud unitaria, es decir debemos tener que$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

El plano euclidiano puede representarse mediante el conjunto${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$.

Un elemento${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$en${\displaystyle \Pi }$representa el punto en el plano euclidiano con coordenadas cartesianas${\displaystyle (x,y)}$.

${\displaystyle q}$se puede hacer que actúe${\displaystyle v}$por$${\displaystyle qvq^{-1},}$$qué mapas${\displaystyle v}$pasar a otro punto${\displaystyle \Pi }$.

Tenemos las siguientes (múltiples) formas polares para${\displaystyle q}$:

1. Cuando${\displaystyle B\neq 0}$, el elemento${\displaystyle q}$se puede escribir como$${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$lo que denota una rotación de ángulo${\displaystyle \theta }$alrededor del punto${\displaystyle (x,y)}$.
2. Cuando${\displaystyle B=0}$, el elemento${\displaystyle q}$se puede escribir como$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i\left({\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon k\right)\\={}&1-{\frac {\Delta y}{2}}\varepsilon j+{\frac {\Delta x}{2}}\varepsilon k,\end{aligned}}}$$que denota una traslación por vector${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\end{pmatrix}}.}$

Una construcción basada en principios de los cuaterniones planares se puede encontrar observando primero que son un subconjunto de los cuaterniones duales .

Existen dos interpretaciones geométricas de los cuaterniones duales , ambas utilizables para derivar la acción de los cuaterniones planares sobre el plano:

• Como método para representar movimientos de cuerpos rígidos en el espacio 3D , los cuaterniones planares pueden considerarse un subconjunto de dichos movimientos. Esto requiere cierta familiaridad con la forma en que los cuaterniones duales actúan en el espacio euclidiano. No describiremos este enfoque aquí, ya que se explica adecuadamente en otras fuentes .
• Los cuaterniones duales pueden entenderse como un "engrosamiento infinitesimal" de los cuaterniones. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Recordemos que los cuaterniones pueden usarse para representar rotaciones espaciales 3D , mientras que los números duales pueden usarse para representar " infinitesimales ". La combinación de estas características permite que las rotaciones varíen infinitesimalmente. Sea${\displaystyle \Pi }$denotamos un plano infinitesimal que se encuentra en la esfera unitaria, igual a${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$. Observe que${\displaystyle \Pi }$es un subconjunto de la esfera, a pesar de ser plano (esto se debe al comportamiento de los infinitesimales de números duales).
  Obsérvese entonces que, como subconjunto de los cuaterniones duales, los cuaterniones planares rotan el plano.${\displaystyle \Pi }$sobre sí mismo. El efecto que esto tiene en${\displaystyle v\in \Pi }$ depende del valor de${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$en${\displaystyle qvq^{-1}}$:
  1. Cuando${\displaystyle B\neq 0}$, el eje de rotación apunta hacia algún punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle \Pi }$, de modo que los puntos en${\displaystyle \Pi }$experimentar una rotación alrededor${\displaystyle p}$.
  2. Cuando${\displaystyle B=0}$, el eje de rotación apunta lejos del plano, siendo el ángulo de rotación infinitesimal. En este caso, los puntos en${\displaystyle \Pi }$experimentar una traducción.

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