Vibración

Para comenzar el análisis del sistema masa-resorte-amortiguador, supongamos que la amortiguación es despreciable y que no se aplica ninguna fuerza externa a la masa (es decir, vibración libre). La fuerza que ejerce el resorte sobre la masa es proporcional a la cantidad que se estira el resorte "x" (suponiendo que el resorte ya está comprimido debido al peso de la masa). La constante de proporcionalidad, k, es la rigidez del resorte y tiene unidades de fuerza/distancia (por ejemplo, lbf/in o N/m). El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento de la masa unida a él.

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

La fuerza generada por la masa es proporcional a la aceleración de la masa según lo establece la segunda ley del movimiento de Newton :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

La suma de las fuerzas que actúan sobre la masa genera entonces la siguiente ecuación diferencial ordinaria :${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

Suponiendo que el inicio de la vibración comienza al estirar el resorte una distancia A y soltarlo, la solución a la ecuación anterior que describe el movimiento de la masa es:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

Esta solución indica que oscilará con un movimiento armónico simple que tiene una amplitud A y una frecuencia f _n . El número f _n se denomina frecuencia natural no amortiguada . Para el sistema simple masa-resorte, f _n se define como:

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

Nota: la frecuencia angular ω (ω=2 π f ) con unidades de radianes por segundo se usa frecuentemente en ecuaciones porque las simplifica, pero normalmente se convierte a frecuencia ordinaria (unidades de Hz o, equivalentemente, ciclos por segundo) al indicar la frecuencia de un sistema. Si se conocen la masa y la rigidez del sistema, la fórmula anterior puede determinar la frecuencia a la que vibra una vez puesto en movimiento por una perturbación inicial. Todo sistema vibrante tiene una o más frecuencias naturales a las que vibra una vez perturbado. Esta sencilla relación puede usarse para comprender, en general, qué sucede con un sistema más complejo cuando se le añade masa o rigidez. Por ejemplo, la fórmula anterior explica por qué, cuando un automóvil o camión está completamente cargado, la suspensión se siente más "suave" que cuando está descargado: la masa ha aumentado, reduciendo la frecuencia natural del sistema.

Cuando se añade un amortiguador , este modela las fuentes de amortiguación generando una fuerza proporcional a la velocidad de la masa. La constante de proporcionalidad c se denomina coeficiente de amortiguación y sus unidades son fuerza dividida por velocidad (lbf⋅s/in o N⋅s/m).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

La suma de las fuerzas que actúan sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

La solución a esta ecuación depende de la cantidad de amortiguación. Si la amortiguación es suficientemente pequeña, el sistema sigue vibrando, pero con el tiempo deja de hacerlo. Este caso se denomina subamortiguación, un concepto importante en el análisis de vibraciones. Si la amortiguación se incrementa justo hasta el punto en que el sistema deja de oscilar, se alcanza el punto de amortiguación crítica. Si la amortiguación se incrementa más allá de la amortiguación crítica, el sistema está sobreamortiguado. El valor que debe alcanzar el coeficiente de amortiguación para la amortiguación crítica en el modelo masa-resorte-amortiguador es:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {km}}}$

El coeficiente de amortiguación se utiliza para caracterizar la cantidad de amortiguación en un sistema. Es una relación entre la amortiguación real y la cantidad de amortiguación necesaria para alcanzar la amortiguación crítica. La fórmula para el coeficiente de amortiguación (${\displaystyle \zeta }$) del modelo masa-resorte-amortiguador es:

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.}$

Por ejemplo, las estructuras metálicas (como los fuselajes de los aviones o los cigüeñales de los motores) tienen factores de amortiguación inferiores a 0,05, mientras que las suspensiones de los automóviles se encuentran en el rango de 0,2 a 0,3. La solución para el sistema subamortiguado del modelo masa-resorte-amortiguador es la siguiente:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

El valor de X , la magnitud inicial y${\displaystyle \phi ,}$El desfase se determina por la cantidad de estiramiento del resorte. Las fórmulas para estos valores se pueden encontrar en las referencias.

Frecuencias naturales amortiguadas y no amortiguadas

Los puntos clave de la solución son el término exponencial y la función coseno. El término exponencial define la rapidez con la que el sistema se amortigua: cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguación, más rápido se amortigua hasta cero. La función coseno representa la parte oscilatoria de la solución, pero la frecuencia de las oscilaciones difiere de la del caso sin amortiguación.

La frecuencia en este caso se denomina "frecuencia natural amortiguada".${\displaystyle f_{\text{d}},}$y se relaciona con la frecuencia natural no amortiguada mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

La frecuencia natural amortiguada es menor que la frecuencia natural no amortiguada, pero en muchos casos prácticos el coeficiente de amortiguación es relativamente pequeño y, por lo tanto, la diferencia es insignificante. En consecuencia, a menudo se omite la distinción entre frecuencia amortiguada y no amortiguada al indicar la frecuencia natural (por ejemplo, con un coeficiente de amortiguación de 0,1, la frecuencia natural amortiguada es solo un 1 % menor que la no amortiguada).

Los gráficos adjuntos muestran cómo los coeficientes de amortiguación de 0,1 y 0,3 afectan la forma en que el sistema se amortigua con el tiempo. En la práctica, se suele medir experimentalmente la vibración libre tras un impacto (por ejemplo, con un martillo) y, a continuación, se determina la frecuencia natural del sistema midiendo la tasa de oscilación, así como el coeficiente de amortiguación midiendo la tasa de amortiguación. La frecuencia natural y el coeficiente de amortiguación no solo son importantes en la vibración libre, sino que también caracterizan el comportamiento del sistema bajo vibración forzada.

Tanto las frecuencias naturales amortiguadas como las no amortiguadas pueden estimarse cuando se desconocen las formas modales utilizando el cociente de Rayleigh .

Masa del resorte sin amortiguación

Masa de resorte subamortiguada

masa de resorte críticamente amortiguada

masa del resorte sobreamortiguada

^{[ 11 ]}

El comportamiento del modelo masa-resorte-amortiguador varía al añadir una fuerza armónica. Una fuerza de este tipo podría generarse, por ejemplo, por un desequilibrio rotacional.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

La suma de las fuerzas que actúan sobre la masa da como resultado la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

La solución en estado estacionario de este problema se puede escribir como:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

El resultado indica que la masa oscilará a la misma frecuencia, f , de la fuerza aplicada, pero con un desfase.${\displaystyle \phi .}$

La amplitud de la vibración “X” se define mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

Donde “r” se define como la relación entre la frecuencia de la fuerza armónica y la frecuencia natural no amortiguada del modelo masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

El cambio de fase,${\displaystyle \phi ,}$Se define mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

La gráfica de estas funciones, denominada "la respuesta en frecuencia del sistema", presenta una de las características más importantes en la vibración forzada. En un sistema ligeramente amortiguado, cuando la frecuencia de forzamiento se acerca a la frecuencia natural (${\displaystyle r\approx 1}$La amplitud de la vibración puede alcanzar valores extremadamente altos. Este fenómeno se denomina resonancia (en consecuencia, la frecuencia natural de un sistema se suele denominar frecuencia de resonancia). En los sistemas de cojinetes de rotor, cualquier velocidad de rotación que genere una frecuencia de resonancia se denomina velocidad crítica .

Si se produce resonancia en un sistema mecánico, puede ser muy perjudicial, provocando su eventual fallo. Por consiguiente, uno de los principales objetivos del análisis de vibraciones es predecir cuándo puede producirse este tipo de resonancia y determinar las medidas necesarias para prevenirla. Como muestra el gráfico de amplitud, añadir amortiguación puede reducir significativamente la magnitud de la vibración. Asimismo, la magnitud puede reducirse si se modifica la frecuencia natural, alejándola de la frecuencia de excitación, mediante cambios en la rigidez o la masa del sistema. Si no es posible modificar el sistema, se puede modificar la frecuencia de excitación (por ejemplo, cambiando la velocidad de la máquina que genera la fuerza).

A continuación se presentan otros puntos relacionados con la vibración forzada que se muestra en los gráficos de respuesta en frecuencia.

• Para una determinada relación de frecuencias, la amplitud de la vibración, X , es directamente proporcional a la amplitud de la fuerza.${\displaystyle F_{0}}$(Por ejemplo, si se duplica la fuerza, la vibración se duplica)
• Con poca o ninguna amortiguación, la vibración está en fase con la frecuencia de excitación cuando la relación de frecuencias r  <  1 y desfasada 180 grados cuando la relación de frecuencias r  >  1.
• Cuando r  ≪  1 la amplitud es simplemente la deflexión del resorte bajo la fuerza estática.${\displaystyle F_{0}.}$ Esta desviación se denomina desviación estática.${\displaystyle \delta _{st}.}$Por lo tanto, cuando r  ≪  1, los efectos del amortiguador y la masa son mínimos.
• Cuando r  ≫  1 la amplitud de la vibración es en realidad menor que la deflexión estática.${\displaystyle \delta _{st}.}$ En esta región, la fuerza generada por la masa ( F  = ma ) predomina debido a que la aceleración que experimenta la masa aumenta con la frecuencia. Dado que la deflexión observada en el resorte, X , se reduce en esta región, la fuerza transmitida por el resorte ( F = kx ) a la base también se reduce. Por lo tanto, el sistema masa-resorte-amortiguador aísla la fuerza armónica de la base de montaje, lo que se conoce como aislamiento de vibraciones . Un mayor amortiguamiento reduce los efectos del aislamiento de vibraciones cuando r ≫ 1, ya que la fuerza de amortiguamiento ( F = cv ) también se transmite a la base.       
• Cualquiera que sea la amortiguación, la vibración está desfasada 90 grados con respecto a la frecuencia de excitación cuando la relación de frecuencias r  =  1, lo cual es muy útil a la hora de determinar la frecuencia natural del sistema.
• Cualquiera que sea el amortiguamiento, cuando r  ≫  1, la vibración está desfasada 180 grados con respecto a la frecuencia de excitación.
• Cualquiera que sea el amortiguamiento, cuando r  ≪  1, la vibración está en fase con la frecuencia de excitación.

Aplicación de fuerzas "complejas" al modelo masa-resorte-amortiguador

En una sección anterior, solo se aplicó una fuerza armónica simple al modelo, pero esto se puede extender considerablemente utilizando dos potentes herramientas matemáticas. La primera es la transformada de Fourier , que toma una señal como función del tiempo ( dominio del tiempo ) y la descompone en sus componentes armónicas como función de la frecuencia ( dominio de la frecuencia ). Por ejemplo, al aplicar una fuerza al modelo masa-resorte-amortiguador que repite el siguiente ciclo: una fuerza igual a 1 newton durante 0,5 segundos y luego ninguna fuerza durante 0,5 segundos. Este tipo de fuerza tiene la forma de una onda cuadrada de 1 Hz .    

La transformada de Fourier de la onda cuadrada genera un espectro de frecuencia que muestra la magnitud de los armónicos que la componen (también se genera la fase, pero suele ser de menor importancia y, por lo tanto, no se suele representar gráficamente). La transformada de Fourier también se puede utilizar para analizar funciones no periódicas , como transitorios (por ejemplo, impulsos) y funciones aleatorias. La transformada de Fourier casi siempre se calcula mediante el algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) en combinación con una función de ventana .

En el caso de nuestra fuerza de onda cuadrada, el primer componente es una fuerza constante de 0,5 newtons, representada por un valor a 0  Hz en el espectro de frecuencias. El siguiente componente es una onda sinusoidal de 1  Hz con una amplitud de 0,64, representada por la línea a 1  Hz. Los componentes restantes se encuentran en frecuencias impares, y se requiere una cantidad infinita de ondas sinusoidales para generar la onda cuadrada perfecta. Por lo tanto, la transformada de Fourier permite interpretar la fuerza como una suma de fuerzas sinusoidales aplicadas, en lugar de una fuerza más compleja (por ejemplo, una onda cuadrada).

En la sección anterior, se presentó la solución de vibración para una sola fuerza armónica, pero la transformada de Fourier generalmente proporciona múltiples fuerzas armónicas. La segunda herramienta matemática, el principio de superposición , permite sumar las soluciones de múltiples fuerzas si el sistema es lineal . En el caso del modelo masa-resorte-amortiguador, el sistema es lineal si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la amortiguación es proporcional a la velocidad en el rango de movimiento de interés. Por lo tanto, la solución al problema con una onda cuadrada consiste en sumar la vibración predicha de cada una de las fuerzas armónicas presentes en el espectro de frecuencias de la onda cuadrada.

Modelo de respuesta en frecuencia

La solución de un problema de vibración puede verse como una relación de entrada/salida, donde la fuerza es la entrada y la salida es la vibración. Representar la fuerza y ​​la vibración en el dominio de la frecuencia (magnitud y fase) permite la siguiente relación:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$Se denomina función de respuesta en frecuencia (también conocida como función de transferencia , aunque técnicamente no es tan precisa) y tiene una magnitud y una fase (si se representa como un número complejo , una parte real y otra imaginaria). La magnitud de la función de respuesta en frecuencia (FRF) se presentó anteriormente para el sistema masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

La fase del FRF también se presentó anteriormente como:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

Por ejemplo, se calcula la FRF para un sistema masa-resorte-amortiguador con una masa de 1  kg, una rigidez del resorte de 1,93  N/mm y un coeficiente de amortiguación de 0,1. Los valores del resorte y la masa dan una frecuencia natural de 7  Hz para este sistema específico. Al aplicar la  onda cuadrada de 1 Hz mencionada anteriormente, se puede calcular la vibración prevista de la masa. La figura ilustra la vibración resultante. En este ejemplo, el cuarto armónico de la onda cuadrada se sitúa en 7  Hz. Por lo tanto, la respuesta en frecuencia del sistema masa-resorte-amortiguador produce una  vibración elevada de 7 Hz, aunque la fuerza de entrada tenía un  armónico relativamente bajo de 7 Hz. Este ejemplo pone de manifiesto que la vibración resultante depende tanto de la función de fuerza aplicada como del sistema al que se aplica dicha fuerza.

La figura también muestra la representación en el dominio del tiempo de la vibración resultante. Esto se logra mediante una transformada inversa de Fourier que convierte los datos del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo. En la práctica, esto rara vez se realiza, ya que el espectro de frecuencia proporciona toda la información necesaria.

La función de respuesta en frecuencia (FRF) no necesariamente tiene que calcularse a partir del conocimiento de la masa, el amortiguamiento y la rigidez del sistema, sino que puede medirse experimentalmente. Por ejemplo, si se aplica una fuerza conocida en un rango de frecuencias y se miden las vibraciones asociadas, se puede calcular la función de respuesta en frecuencia, caracterizando así el sistema. Esta técnica se utiliza en el campo del análisis modal experimental para determinar las características de vibración de una estructura.

El modelo simple de masa-resorte-amortiguador es la base del análisis de vibraciones. El modelo descrito anteriormente se denomina modelo de un grado de libertad (SDOF), ya que se supone que la masa solo se mueve hacia arriba y hacia abajo. En sistemas más complejos, el sistema debe discretizarse en más masas que se mueven en más de una dirección, lo que añade grados de libertad. Los conceptos principales de los modelos de múltiples grados de libertad (MDOF) pueden comprenderse observando un modelo de dos grados de libertad, como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de movimiento del sistema de 2 grados de libertad son las siguientes:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

Esto se puede reescribir en formato matricial :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Una forma más compacta de esta ecuación matricial se puede escribir como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$y${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$Son matrices simétricas denominadas respectivamente matriz de masa, matriz de amortiguación y matriz de rigidez. Estas matrices son cuadradas de NxN, donde N es el número de grados de libertad del sistema.

El siguiente análisis considera el caso en el que no hay amortiguación ni fuerzas aplicadas (es decir, vibración libre). La solución de un sistema con amortiguación viscosa es algo más compleja. ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación diferencial se puede resolver asumiendo el siguiente tipo de solución:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

Nota: Utilizando la solución exponencial de${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$Es un truco matemático que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Al usar la fórmula de Euler y tomar solo la parte real de la solución, se obtiene la misma solución coseno para el sistema de 1 grado de libertad. La solución exponencial se usa únicamente porque es más fácil de manipular matemáticamente.

La ecuación queda entonces de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

Desde${\displaystyle e^{i\omega t}}$no puede ser igual a cero, la ecuación se reduce a lo siguiente.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Esto se conoce como un problema de valores propios en matemáticas y se puede expresar en el formato estándar premultiplicando la ecuación por${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

y si:${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

La solución al problema da como resultado N valores propios (es decir,${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$), donde N corresponde al número de grados de libertad. Los autovalores proporcionan las frecuencias naturales del sistema. Cuando estos autovalores se sustituyen de nuevo en el conjunto original de ecuaciones, los valores de${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$Los vectores propios que corresponden a cada valor propio se denominan vectores propios . Estos vectores propios representan las formas modales del sistema. La solución de un problema de valores propios puede ser bastante compleja (especialmente para problemas con muchos grados de libertad), pero afortunadamente la mayoría de los programas de análisis matemático cuentan con rutinas para el cálculo de valores propios.

Los valores y vectores propios se suelen escribir en el siguiente formato matricial y describen el modelo modal del sistema:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Un ejemplo sencillo que utiliza el modelo de 2 grados de libertad puede ayudar a ilustrar los conceptos. Supongamos que ambas masas tienen una masa de 1  kg y que la rigidez de los tres resortes es de 1000 N/m. La matriz de masa y rigidez para este problema es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Entonces${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Los valores propios para este problema, obtenidos mediante una rutina de cálculo de valores propios, son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

Las frecuencias naturales en unidades de hercios son entonces (recordando ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$)${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$y${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

Las dos formas modales para las respectivas frecuencias naturales se dan como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

Dado que el sistema es de dos grados de libertad (DOF), existen dos modos con sus respectivas frecuencias naturales y formas. Los vectores de forma modal no representan el movimiento absoluto, sino que describen el movimiento relativo de los grados de libertad. En nuestro caso, el primer vector de forma modal indica que las masas se mueven en fase, ya que tienen el mismo valor y signo. En el caso del segundo vector de forma modal, cada masa se mueve en dirección opuesta a la misma velocidad.

Cuando hay muchos grados de libertad, un método para visualizar las formas modales es animándolas usando software de análisis estructural como Femap , ANSYS o VA One de ESI Group . Un ejemplo de animación de formas modales se muestra en la figura siguiente para una viga en voladizo Ɪ como se demuestra usando análisis modal en ANSYS. En este caso, se usó el método de elementos finitos para generar una aproximación de las matrices de masa y rigidez mallando el objeto de interés para resolver un problema de valores propios discretos . Nótese que, en este caso, el método de elementos finitos proporciona una aproximación de la superficie mallada (para la cual existe un número infinito de modos y frecuencias de vibración). Por lo tanto, este modelo relativamente simple que tiene más de 100 grados de libertad y, por lo tanto, muchas frecuencias naturales y formas modales, proporciona una buena aproximación para las primeras frecuencias y modos naturales ^† . Generalmente, solo los primeros modos son importantes para aplicaciones prácticas.

^ Tenga en cuenta que al realizar una aproximación numérica de cualquier modelo matemático, se debe verificar la convergencia de los parámetros de interés.

Los autovectores poseen propiedades muy importantes llamadas propiedades de ortogonalidad. Estas propiedades pueden utilizarse para simplificar enormemente la solución de modelos con múltiples grados de libertad. Se puede demostrar que los autovectores tienen las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$y${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$Son matrices diagonales que contienen los valores de masa y rigidez modales para cada uno de los modos. (Nota: Dado que los autovectores (formas modales) pueden escalarse arbitrariamente, las propiedades de ortogonalidad se utilizan a menudo para escalarlos de modo que el valor de masa modal para cada modo sea igual a 1. Por lo tanto, la matriz de masa modal es una matriz identidad ).

Estas propiedades pueden utilizarse para simplificar enormemente la solución de modelos con múltiples grados de libertad mediante la siguiente transformación de coordenadas.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

Al utilizar esta transformación de coordenadas en la ecuación diferencial de vibración libre original, se obtiene la siguiente ecuación.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Aprovechando las propiedades de ortogonalidad, premultiplicamos esta ecuación por${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Las propiedades de ortogonalidad simplifican entonces esta ecuación a:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación constituye la base del análisis de vibraciones para sistemas con múltiples grados de libertad. Se puede obtener un resultado similar para sistemas amortiguados. ^{[ 12 ]} La clave reside en que las matrices de masa y rigidez modales son diagonales, por lo que las ecuaciones se han desacoplado. En otras palabras, el problema se ha transformado de un problema complejo y extenso con múltiples grados de libertad en varios problemas con un solo grado de libertad, los cuales pueden resolverse utilizando los mismos métodos descritos anteriormente.

La solución para x se reemplaza por la solución para q , denominadas coordenadas modales o factores de participación modal.

Puede que sea más claro entender si ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$se escribe como:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

Escrita de esta forma, se puede observar que la vibración en cada grado de libertad es simplemente una suma lineal de los modos de vibración. Además, la contribución de cada modo a la vibración final viene definida por q, su factor de participación modal.

Un sistema multigrado sin restricciones experimenta traslación y/o rotación de cuerpo rígido, así como vibración. La existencia de un modo de cuerpo rígido resulta en una frecuencia natural nula. La forma modal correspondiente se denomina modo de cuerpo rígido.