péndulo elástico

El resorte tiene una longitud de reposo y puede estirarse una longitud . El ángulo de oscilación del péndulo es .${\displaystyle \ell _{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

El lagrangiano es: donde es la energía cinética y es la energía potencial .${\displaystyle L}$$${\displaystyle L=TV}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$

La ley de Hooke es la energía potencial del propio resorte: donde es la constante del resorte.$${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$$${\displaystyle k}$

La energía potencial debida a la gravedad , por otro lado, está determinada por la altura de la masa. Para un ángulo y desplazamiento dados, la energía potencial es: donde es la aceleración gravitatoria .$${\displaystyle V_{g}=-gm(\ell _{0}+x)\cos \theta }$$${\displaystyle g}$

La energía cinética viene dada por: donde es la velocidad de la masa. Para relacionarla con las demás variables, la velocidad se expresa como una combinación de un movimiento paralelo y perpendicular al resorte: $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)}$$

Entonces el lagrangiano se convierte en: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$$$${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm\left(\ell _{0}+x\right)\cos \theta }$$

Con dos grados de libertad , para y , las ecuaciones de movimiento se pueden encontrar utilizando dos ecuaciones de Euler-Lagrange : ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}&=0\end{aligned}}}$$

Para : ^{[ 1 ]} aislado: ${\displaystyle x}$$${\displaystyle m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$$${\displaystyle {\ddot {x}}}$$${\displaystyle {\ddot {x}}=(\ell _{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$$

Y para : ^{[ 1 ]} aislado: ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle -gm\left(\ell _{0}+x\right)\sin \theta -m\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\ddot {\theta }}-2m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell _{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{\ell _{0}+x}}{\dot {\theta }}}$$

Estas ecuaciones pueden simplificarse aún más escalando la longitud y el tiempo . Al expresar el sistema en términos de y , se obtienen ecuaciones de movimiento adimensionales . El único parámetro adimensional restante caracteriza el sistema. ${\textstyle s={x}/{\ell _{0}}}$${\textstyle \tau =t{\sqrt {{g}/{\ell _{0}}}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {k\ell _{0}}{mg}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{d\tau ^{2}}}=\left(s+1\right)\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}-\Omega ^{2}s+\cos \theta }$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\tau ^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{s+1}}-{\frac {2}{1+s}}{\frac {ds}{d\tau }}{\frac {d\theta }{d\tau }}}$$

El péndulo elástico se describe ahora con dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas . Estas se pueden resolver numéricamente . Además, se pueden utilizar métodos analíticos para estudiar el intrigante fenómeno de orden-caos-orden ^{[ 7 ]} en este sistema para varios valores del parámetro y condiciones iniciales y .${\displaystyle \Omega ^{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$

También hay un segundo ejemplo  : Péndulo elástico doble. Véase ^{[ 8 ].}