Sistema de base compleja

En aritmética , un sistema de base compleja es un sistema numérico posicional cuyo radio es un número imaginario (propuesto por Donald Knuth en 1955 ^{[1] [2]} ) o complejo (propuesto por S. Khmelnik en 1964 ^[3] y Walter F. Penney en 1965 ^{[4] [5] [6]} ).

Sea un dominio integral , y el valor absoluto (arquimediano) en él. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subset \mathbb {C} }$${\displaystyle |\cdot |}$

Un número en un sistema de numeración posicional se representa como una expansión ${\displaystyle X\in D}$

${\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}$

dónde

La cardinalidad se llama nivel de descomposición . ${\displaystyle R:=|Z|}$

Un sistema de numeración posicional o sistema de codificación es un par

${\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }$

con base y conjunto de dígitos , y escribimos el conjunto estándar de dígitos con dígitos como ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}$

Son deseables sistemas de codificación con las características:

• Cada número en , por ejemplo los enteros , los enteros gaussianos o los enteros , es únicamente representable como un código finito , posiblemente con un signo ±.${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}]}$
• Todo número del cuerpo de fracciones , que posiblemente se complete para la métrica dada dando o , es representable como una serie infinita que converge bajo para , y la medida del conjunto de números con más de una representación es 0. Esto último requiere que el conjunto sea mínimo, es decir para números reales y para números complejos.${\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle K:=\mathbb {R} }$${\displaystyle K:=\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \nu \to -\infty }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle R=|\rho |}$${\displaystyle R=|\rho |^{2}}$

En esta notación, nuestro esquema de codificación decimal estándar se denota por

${\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}$

El sistema binario estándar es

${\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}$

El sistema negabinario es

${\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}$

y el sistema ternario equilibrado ^[2] es

${\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}$

Todos estos sistemas de codificación tienen las características mencionadas para y , y los dos últimos no requieren signo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los sistemas de numeración posicional más conocidos para los números complejos incluyen los siguientes ( siendo la unidad imaginaria ): ${\displaystyle \mathrm {i} }$

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }$, por ejemplo ^[1] y${\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }$, ^[2] la base cuaternaria , propuesta por Donald Knuth en 1955.

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }$y

${\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }$^{[3] [5]} (véase también la sección Base −1 ± i a continuación).

• ${\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }$, donde , y es un entero positivo que puede tomar múltiples valores en un determinado . ^[7] Para y este es el sistema${\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}$${\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}$${\displaystyle \beta _{}^{}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle R=2}$

${\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }$. ^[8]
• ${\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }$, donde el conjunto consta de números complejos y números , por ejemplo${\displaystyle A_{R}^{2}}$${\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }$${\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}$

${\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle .}$^[8]

• ${\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }$, donde ^[9]${\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}$ 

Los sistemas de codificación binaria de números complejos, es decir, sistemas con los dígitos , son de interés práctico. ^[9] A continuación se enumeran algunos sistemas de codificación (todos son casos especiales de los sistemas anteriores) y códigos correspondientes para los números (decimales) −1, 2, −2, i . También se enumeran los sistemas binario estándar (que requiere un signo, primera línea) y "negabinario" (segunda línea) para comparación. No tienen una expansión genuina para i . ${\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}$${\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }$

Como en todos los sistemas de numeración posicional con valor absoluto arquimediano , existen algunos números con representaciones múltiples . En la columna derecha de la tabla se muestran ejemplos de dichos números. Todos ellos son fracciones periódicas con la repetición marcada por una línea horizontal encima.

Si el conjunto de dígitos es mínimo, el conjunto de dichos números tiene medida 0. Esto ocurre con todos los sistemas de codificación mencionados.

El sistema cuádruple imaginario casi binario se muestra en la línea inferior a modo de comparación. Allí, la parte real y la parte imaginaria se entrelazan.

De particular interés son los sistemas de base cuaternaria (base 2 i ) y de base −1 ± i que se analizan a continuación, ambos pueden utilizarse para representar de forma finita los números enteros gaussianos sin signo.

La base −1 ± i , que utiliza los dígitos 0 y 1 , fue propuesta por S. Khmelnik en 1964 ^[3] y Walter F. Penney en 1965. ^{[4] [6]}

La región de redondeo de un entero –es decir, un conjunto de números complejos (no enteros) que comparten la parte entera de su representación en este sistema– tiene en el plano complejo una forma fractal: el dragón gemelo (ver figura). Este conjunto es, por definición, todos los puntos que se pueden escribir como con . se puede descomponer en 16 partes congruentes con . Nótese que si se gira en sentido antihorario 135°, obtenemos dos conjuntos adyacentes congruentes con , porque . El rectángulo en el centro interseca los ejes de coordenadas en sentido antihorario en los siguientes puntos: , , y , y . Por lo tanto, contiene todos los números complejos con valor absoluto ≤  ⁠${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}$${\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}$${\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}$${\displaystyle R\subset S}$${\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}$${\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}$${\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}$${\displaystyle S}$1/15⁠ . ^[12]

Como consecuencia, se produce una inyección del rectángulo complejo.

${\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }$

en el intervalo de números reales mediante el mapeo ${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}$

con . ^[13]${\displaystyle b>2}$

Además, existen dos asignaciones

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}$

ambas sobreyectivas , que dan lugar a una aplicación sobreyectiva (que, por tanto, llena el espacio)

${\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}$

que, sin embargo, no es continua y, por lo tanto, no es una curva que llena el espacio . Pero un pariente muy cercano, el dragón de Davis-Knuth , es continuo y una curva que llena el espacio.

• Curva del dragón

• "Sistemas numéricos que utilizan una base compleja" de Jarek Duda, Proyecto de demostraciones Wolfram
• "El límite de los sistemas de funciones iteradas periódicas" por Jarek Duda, Proyecto de demostraciones Wolfram
• "Sistemas numéricos en 3D" de Jarek Duda, Proyecto de Demostraciones Wolfram
• "Gran introducción a los sistemas de numeración de base compleja" con fuentes de Mathematica por Jarek Duda