Base cuaternaria imaginaria

El sistema de numeración cuaternario es un sistema de numeración propuesto por primera vez por Donald Knuth en 1960. A diferencia de los sistemas de numeración estándar, que utilizan un número entero (como 10 en decimal o 2 en binario) como base , utiliza el número imaginario (equivalente a ) como base. Es capaz de representar (casi) de forma única cada número complejo utilizando solo los dígitos 0, 1, 2 y 3. ^[1] Los números menores que cero, que se representan ordinariamente con un signo menos, se pueden representar como cadenas de dígitos en notación cuaternaria; por ejemplo, el número −1 se representa como "103" en notación cuaternaria. ${\displaystyle 2i}$${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$

En un sistema posicional con base , ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots }$

representa${\displaystyle \dots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}+d_{-1}\cdot b^{-1}+d_{-2}\cdot b^{-2}+d_{-3}\cdot b^{-3}\dots }$

En este sistema numérico, , ${\displaystyle b=2i}$

y debido a que , toda la serie de potencias se puede separar en dos series diferentes, de modo que se simplifica a para dígitos pares (dígitos que se simplifican al valor del dígito multiplicado por una potencia de -4), y para aquellos dígitos que todavía tienen un factor imaginario. Al sumar estas dos series se obtiene el valor total del número. ${\displaystyle (2i)^{2}=-4}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}[\dots +d_{4}\cdot (-4)^{2}+d_{2}\cdot (-4)^{1}+d_{0}+d_{-2}\cdot (-4)^{-1}+\dots ]\end{aligned}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}2i\cdot [\dots +d_{3}\cdot (-4)^{1}+d_{1}+d_{-1}\cdot (-4)^{-1}+d_{-3}\cdot (-4)^{-2}+\dots ]\end{aligned}}}$

Debido a la separación de estas dos series, las partes reales e imaginarias de los números complejos se expresan fácilmente en base −4 como y respectivamente. ${\displaystyle \ldots d_{4}d_{2}d_{0}.d_{-2}\ldots }$${\displaystyle 2\cdot (\ldots d_{5}d_{3}d_{1}.d_{-1}d_{-3}\ldots )}$

Para convertir una cadena de dígitos del sistema cuádruple imaginario al sistema decimal, se puede utilizar la fórmula estándar para sistemas de numeración posicional. Esta dice que una cadena de dígitos en base b se puede convertir a un número decimal utilizando la fórmula ${\displaystyle \ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}$

${\displaystyle \cdots +d_{3}\cdot b^{3}+d_{2}\cdot b^{2}+d_{1}\cdot b+d_{0}}$

Para el sistema cuaternario, . ${\displaystyle b=2i}$

Además, para una cadena dada en la forma , la fórmula siguiente se puede utilizar para una longitud de cadena dada en base${\displaystyle d}$${\displaystyle d_{w-1},d_{w-2},\dots d_{0}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle Q2D_{w}{\vec {d}}\equiv \sum _{k=0}^{w-1}d_{k}\cdot b^{k}}$

Para convertir la cadena en un número decimal, complete la fórmula anterior: ${\displaystyle 1101_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{3}+1\cdot (2i)^{2}+0\cdot (2i)^{1}+1\cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i}$

Otro ejemplo más largo: en base 10 es ${\displaystyle 1030003_{2i}}$

${\displaystyle 1\cdot (2i)^{6}+3\cdot (2i)^{4}+3\cdot (2i)^{0}=-64+3\cdot 16+3=-13}$

También es posible convertir un número decimal en un número en el sistema cuaternario. Todo número complejo (todo número de la forma a + bi ) tiene una representación cuaternaria. La mayoría de los números tienen una representación cuaternaria única, pero así como 1 tiene las dos representaciones 1 = 0. 9 en notación decimal, entonces, debido a 0. 0001 _{2 i} = ⁠1/15⁠ , el número ⁠1/5⁠ tiene las dos representaciones cuaternarias 0. 0003 _{2 i} = 3· ⁠1/15⁠ = ⁠1/5⁠ = 1 + 3· ⁠–4/15⁠ = 1. 0300 _{2 yo} .

Para convertir un número complejo arbitrario en cuádruple imaginario, es suficiente dividir el número en sus componentes real e imaginario, convertir cada uno de ellos por separado y luego sumar los resultados intercalando los dígitos. Por ejemplo, dado que −1+4 i es igual a −1 más 4 i , la representación cuádruple imaginaria de −1+4 i es la representación cuádruple imaginaria de −1 (es decir, 103) más la representación cuádruple imaginaria de 4 i (es decir, 20), lo que da un resultado final de −1+4 i = 123 _{2 i} .

Para hallar la representación cuaternaria de la componente imaginaria, basta con multiplicar dicha componente por 2 i , lo que da un número real; luego hallar la representación cuaternaria de ese número real, y finalmente desplazar la representación un lugar hacia la derecha (dividiendo por 2 i ). Por ejemplo, la representación cuaternaria de 6 i se calcula multiplicando 6 i × 2 i = −12, que se expresa como 300 _{2 i} , y luego desplazando un lugar hacia la derecha, obteniendo: 6 i = 30 _{2 i} .

La búsqueda de la representación cuaternaria imaginaria de un número entero real arbitrario se puede realizar manualmente resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas , como se muestra a continuación, pero existen métodos más rápidos tanto para números enteros reales como imaginarios, como se muestra en el artículo sobre base negativa .

Como ejemplo de un número entero podemos intentar encontrar la contraparte cuádruple imaginaria del número decimal 7 (o 7 ₁₀ ya que la base del sistema decimal es 10). Como es difícil predecir exactamente qué tan larga será la cadena de dígitos para un número decimal dado, es seguro asumir que se trata de una cadena bastante grande. En este caso, se puede elegir una cadena de seis dígitos. Cuando una estimación inicial del tamaño de la cadena finalmente resulta insuficiente, se puede utilizar una cadena más grande.

Para encontrar la representación, primero escriba la fórmula general y agrupe los términos:

${\displaystyle {\begin{aligned}7_{10}&=d_{0}+d_{1}\cdot b+d_{2}\cdot b^{2}+d_{3}\cdot b^{3}+d_{4}\cdot b^{4}+d_{5}\cdot b^{5}\\&=d_{0}+2id_{1}-4d_{2}-8id_{3}+16d_{4}+32id_{5}\\&=d_{0}-4d_{2}+16d_{4}+i(2d_{1}-8d_{3}+32d_{5})\\\end{aligned}}}$

Como 7 es un número real, se puede concluir que d ₁ , d ₃ y d ₅ deben ser cero. Ahora se debe encontrar el valor de los coeficientes d ₀ , d ₂ y d _{4 . Como d 0} − 4 d ₂ + 16 d ₄ = 7 y como, por la naturaleza del sistema cuaternario, los coeficientes solo pueden ser 0, 1, 2 o 3, se puede encontrar el valor de los coeficientes. Una posible configuración podría ser: d ₀ = 3, d ₂ = 3 y d ₄ = 1. Esta configuración da la cadena de dígitos resultante para 7 ₁₀ .

${\displaystyle 7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.}$

Encontrar una representación cuádruple imaginaria de un número entero puramente imaginario ∈ i Z es análogo al método descrito anteriormente para un número real. Por ejemplo, para encontrar la representación de 6 i , es posible utilizar la fórmula general. Entonces todos los coeficientes de la parte real tienen que ser cero y la parte compleja debe ser 6. Sin embargo, para 6 i se ve fácilmente al observar la fórmula que si d ₁ = 3 y todos los demás coeficientes son cero, obtenemos la cadena deseada para 6 i . Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}6i_{10}=30_{2i}\end{aligned}}}$

Para los números reales, la representación cuaternaria es la misma que la cuaternaria negativa (base −4). Un número complejo x + iy se puede convertir en cuaternario negativo convirtiendo x e y /2 por separado en cuaternario negativo. Si tanto x como y son fracciones binarias finitas, podemos utilizar el siguiente algoritmo utilizando la división euclidiana repetida :

Por ejemplo: 35+23i=121003.2 _2i

                35 23i/2i=11,5 11=12−0,5
            35÷(−4)=−8, resto 3 12/(−4)=−3, resto 0 (−0,5)×(−4)=2
            −8÷(−4)= 2, resto 0 −3/(−4)= 1, resto 1
             2÷(−4)= 0, resto 2 1/(−4)= 0, resto 1
               2 0 0 0 3 + 1 0 1 0 0 0                          + 0,2 = 121003,2
                         32i+16×2−8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

En el sistema decimal, el punto decimal es el . (punto) habitual, que marca la separación entre la parte entera y la parte fraccionaria del número. En el sistema cuádruple imaginario, también se puede utilizar un punto decimal. En una cadena de dígitos, el punto decimal marca la separación entre potencias no negativas y negativas de b . Si se utiliza el punto decimal, la fórmula general se convierte en: ${\displaystyle \dots d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}\dots }$

${\displaystyle d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{-1}b^{-1}+d_{-2}b^{-2}+d_{-3}b^{-3}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{\frac {i}{2}}d_{-1}-{\frac {1}{4}}d_{-2}+{\frac {i}{8}}d_{-3}\end{aligned}}}$

Si se debe hallar la representación cuaternaria de la unidad compleja i , la fórmula sin punto de base no será suficiente. Por lo tanto, se debe utilizar la fórmula anterior. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{\frac {1}{2i}}d_{-1}+{\frac {1}{-4}}d_{-2}+{\frac {1}{-8i}}d_{-3}\\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{\frac {1}{2}}d_{-1}+{\frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{\frac {1}{4}}d_{-2}\\\end{aligned}}}$

Para ciertos coeficientes d _k . Entonces, como la parte real tiene que ser cero: d ₄ = d ₂ = d ₀ = d ₋₂ = 0. Para la parte imaginaria, si d ₅ = d ₃ = d ₋₃ = 0 y cuando d ₁ = 1 y d ₋₁ = 2, se puede encontrar la cadena de dígitos. Usando los coeficientes anteriores en la cadena de dígitos, el resultado es:

${\displaystyle i=10.2_{2i}.}$

Es posible sumar y restar números en el sistema cuaternario. Para ello, hay que tener en cuenta dos reglas básicas:

1. Siempre que un número sea mayor que 3, reste 4 y "lleve" −1 dos lugares a la izquierda.
2. Siempre que un número caiga por debajo de 0, agregue 4 y "lleve" +1 dos lugares a la izquierda.

O, para abreviar: "Si sumas cuatro, llevas +1 . Si restas cuatro, llevas -1 ". Esto es lo opuesto a la suma larga normal, en la que un "llevar" en la columna actual requiere sumar 1 a la siguiente columna a la izquierda, y un "tomar prestado" requiere restar. En la aritmética cuádruple-imaginaria, un "llevar" resta de la penúltima columna, y un "tomar prestado" suma .

A continuación se muestran dos ejemplos de adición en el sistema cuaternario:

   1 − 2i 1031          
   1 − 2i 1031          
   ------ + <=> ---- +       
   2 − 4i 1022          


   3 − 4i 1023
   1 − 8i 1001
   ------ + <=> ----- +
   4 −12i 12320

En el primer ejemplo, empezamos sumando los dos 1 de la primera columna (la "columna de los unos"), lo que da 2. Luego sumamos los dos 3 de la segunda columna (la " columna de los 2 "), lo que da 6; 6 es mayor que 3, por lo que restamos 4 (dando 2 como resultado en la segunda columna) y llevamos −1 a la cuarta columna. Sumando los 0 de la tercera columna obtenemos 0; y finalmente sumando los dos 1 y el −1 llevado a la cuarta columna obtenemos 1.

En el segundo ejemplo, primero sumamos 3+1, lo que da 4; 4 es mayor que 3, por lo que restamos 4 (lo que da 0) y llevamos −1 a la tercera columna (la "columna de −4"). Luego, sumamos 2+0 en la segunda columna, lo que da 2. En la tercera columna, tenemos 0+0+(−1), debido al acarreo; −1 es menor que 0, por lo que sumamos 4 (lo que da 3 como resultado en la tercera columna) y "tomamos prestado" +1 en la quinta columna. En la cuarta columna, 1+1 es 2; y el acarreo en la quinta columna da 1, para un resultado de . ${\displaystyle 12320_{2i}}$

La resta es análoga a la suma en el sentido de que utiliza las mismas dos reglas descritas anteriormente. A continuación se muestra un ejemplo:

         − 2 − 8i 1102
           1 − 6i 1011
           ------- <=> -----
         − 3 − 2i 1131

En este ejemplo tenemos que restar de . El dígito más a la derecha es 2−1 = 1. El segundo dígito desde la derecha se convertiría en −1, por lo que sumamos 4 para obtener 3 y luego llevamos +1 dos lugares a la izquierda. El tercer dígito desde la derecha es 1−0 = 1. Luego, el dígito más a la izquierda es 1−1 más 1 del acarreo, lo que da 1. Esto da una respuesta final de . ${\displaystyle 1011_{2i}}$${\displaystyle 1102_{2i}}$${\displaystyle 1131_{2i}}$

Para la multiplicación larga en el sistema imaginario cuádruple, también se utilizan las dos reglas mencionadas anteriormente. Al multiplicar números, se multiplica la primera cadena por cada dígito de la segunda cadena consecutivamente y se suman las cadenas resultantes. En cada multiplicación, un dígito de la segunda cadena se multiplica por el primero. La multiplicación comienza con el dígito más a la derecha de la segunda cadena y luego se desplaza hacia la izquierda en un dígito, multiplicando cada dígito por la primera cadena. Luego se suman los productos parciales resultantes, donde cada uno se desplaza hacia la izquierda en un dígito. Un ejemplo:

              11201
              20121 ×
        ---------------
              11201 ←––– 1 × 11201
             12002 ←––– 2 × 11201
            11201 ←––– 1 × 11201
           00000 ←––– 0 × 11201
          12002 + ←––– 2 × 11201
        ---------------
          120231321

Esto corresponde a una multiplicación de . ${\displaystyle (9-8i)\cdot (29+4i)=293-196i}$

A continuación se muestra una tabla de algunos números decimales y complejos y sus contrapartes cuaternarias.

A continuación se presentan algunos otros ejemplos de conversiones de números decimales a números cuaternarios.

${\displaystyle 5=16+(3\cdot -4)+1=10301_{2i}}$

${\displaystyle i=2i+2\left(-{\frac {1}{2}}i\right)=10.2_{2i}}$

${\displaystyle 7{\frac {3}{4}}-7{\frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3\left(-{\frac {1}{2}}i\right)+1\left(-{\frac {1}{4}}\right)=11210.31_{2i}}$

La representación

${\displaystyle z=\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}}$

de un número complejo arbitrario con da lugar a una aplicación inyectiva${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{k}\in \{0,1,2,3\}}$

${\displaystyle \textstyle {\begin{array}{llcl}\varphi \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {R} \\&\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot (2i)^{-k}&\mapsto &\sum _{k\geq n}z_{k}\cdot r^{-k}\\\end{array}}}$

con algunos adecuados . Aquí no se puede tomar como base debido a ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle r=4}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{k>0}3\cdot (2i)^{-k}={\tfrac {-3-6i}{5}}\;\;\;\;\neq \;\;\;\;1=\sum _{k>0}3\cdot 4^{-k}.}$

La imagen es un conjunto de Cantor que permite ordenar linealmente de forma similar a una curva de orden Z. Como la imagen está desconectada, no es continua . ${\displaystyle \varphi (\mathbb {C} )\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \varphi }$

• Sistema de numeración cuaternario
• Sistema de base compleja
• Base negativa

• Knuth, Donald Ervin . "Sistemas de números posicionales". El arte de la programación informática . Vol. 2 (3.ª ed.). Addison-Wesley . pág. 205.
• Warren Jr., Henry S. (2013) [2002]. Hacker's Delight (2.ª edición). Addison Wesley - Pearson Education, Inc. pág. 309. ISBN 978-0-321-84268-8. 0-321-84268-5.