Fase mínima

En teoría de control y procesamiento de señales , se dice que un sistema lineal e invariante en el tiempo es de fase mínima si el sistema y su inverso son causales y estables . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

La función de transferencia LTI causal más general puede factorizarse de forma única en una serie de un sistema paso todo y un sistema de fase mínima. La función del sistema es entonces el producto de las dos partes, y en el dominio del tiempo la respuesta del sistema es la convolución de las respuestas de ambas partes. La diferencia entre una función de transferencia de fase mínima y una función de transferencia general radica en que un sistema de fase mínima tiene todos los polos y ceros de su función de transferencia en la mitad izquierda de la representación del plano s (en tiempo discreto, respectivamente, dentro del círculo unitario del plano z ). Dado que invertir una función de sistema conlleva que los polos se conviertan en ceros y viceversa, y que los polos en el lado derecho ( línea imaginaria del plano s ) o fuera ( círculo unitario del plano z ) del plano complejo dan lugar a sistemas inestables , solo la clase de sistemas de fase mínima es cerrada bajo inversión. Intuitivamente, la parte de fase mínima de un sistema causal general implementa su respuesta de amplitud con un retardo de grupo mínimo , mientras que su parte paso todo corrige únicamente su respuesta de fase para que coincida con la función de sistema original.

El análisis en términos de polos y ceros es exacto únicamente en el caso de funciones de transferencia que pueden expresarse como cocientes de polinomios. En el caso de tiempo continuo, dichos sistemas se traducen en redes LCR convencionales e idealizadas . En tiempo discreto, se traducen convenientemente en aproximaciones de las mismas mediante suma, multiplicación y retardo unitario. Se puede demostrar que, en ambos casos, las funciones del sistema de forma racional con orden creciente pueden utilizarse para aproximar eficientemente cualquier otra función del sistema; por lo tanto, incluso las funciones del sistema que carecen de forma racional y, por consiguiente, poseen una infinidad de polos y/o ceros, pueden implementarse en la práctica con la misma eficiencia que cualquier otra.

En el contexto de sistemas causales y estables, en teoría podríamos elegir libremente si los ceros de la función del sistema se encuentran fuera del rango estable (a la derecha o fuera de él) si la condición de cierre no fuera un problema. Sin embargo, la inversión tiene una gran importancia práctica, al igual que las factorizaciones teóricamente perfectas. (Véase, por ejemplo, la descomposición espectral simétrica/antisimétrica, que conduce a las técnicas de la transformada de Hilbert ). Muchos sistemas físicos también tienden naturalmente a una respuesta de fase mínima y, en ocasiones, deben invertirse utilizando otros sistemas físicos que cumplan la misma restricción.

A continuación se explica por qué este sistema se denomina de fase mínima y por qué la idea básica se aplica incluso cuando la función del sistema no puede expresarse en una forma racional que pueda implementarse.

Sistema inverso

Un sistema $\mathbb {H}$ es invertible si podemos determinar de forma única su entrada a partir de su salida. Es decir, podemos encontrar un sistema $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ de tal manera que si aplicamos $\mathbb {H}$ seguido de $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ obtenemos el sistema de identidad $\mathbb {I}$ . (Véase Matriz inversa para un análogo de dimensión finita). Es decir, $\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .$

Supongamos que ${\tilde {x}}$ es la entrada al sistema $\mathbb {H}$ y proporciona salida ${\tilde {y}}$ : $\mathbb {H} {\tilde {x}}={\tilde {y}}.$

Aplicando el sistema inverso $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ a ${\tilde {y}}$ da $\mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.$

Entonces vemos que el sistema inverso $\mathbb {H} _{inv}$ nos permite determinar de forma única la entrada ${\tilde {x}}$ de la salida ${\tilde {y}}$ .

Ejemplo de tiempo discreto

Supongamos que el sistema $\mathbb {H}$ es un sistema lineal, invariante en el tiempo (LTI) de tiempo discreto descrito por la respuesta impulsional $h(n)$ para $n$ en $Z.$ Además, supongamos que $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ tiene respuesta impulsional $h_{\text{inv}}(n)$ La cascada de dos sistemas LTI es una convolución . En este caso, la relación anterior es la siguiente: $(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),$ dónde $\delta (n)$ es la delta de Kronecker , o el sistema identidad en el caso de tiempo discreto. (Cambiando el orden de $h_{\text{inv}}$ y $h$ (Esto está permitido debido a la conmutatividad de la operación de convolución). Tenga en cuenta que este sistema inverso $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ No tiene por qué ser único.

Sistema de fase mínima

Cuando imponemos las restricciones de causalidad y estabilidad , el sistema inverso es único; y el sistema $\mathbb {H}$ y su inversa $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ se denominan de fase mínima . Las restricciones de causalidad y estabilidad en el caso de tiempo discreto son las siguientes (para sistemas invariantes en el tiempo donde $h$ es la respuesta impulsional del sistema, y $\|{\cdot }\|_{1}$ es la norma ℓ ¹ ):

Causalidad

$h(n)=0\ \forall n<0$ y $h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.$

Estabilidad

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty$ y $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .$

Consulte el artículo sobre estabilidad para conocer las condiciones análogas para el caso de tiempo continuo.

Análisis de frecuencia

Análisis de frecuencia en tiempo discreto

Realizar un análisis de frecuencia para el caso de tiempo discreto proporcionará cierta información. La ecuación en el dominio del tiempo es $(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).$

Al aplicar la transformada Z se obtiene la siguiente relación en el dominio z : $H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.$

A partir de esta relación, nos damos cuenta de que $H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.$

Para simplificar, consideramos solo el caso de una función de transferencia racional $H$ $($ $z$ $)$ . La causalidad y la estabilidad implican que todos los polos de $H$ $($ $z$ $)$ deben estar estrictamente dentro del círculo unitario (véase estabilidad ). Supongamos que $H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},$ donde $A (z)$ y $D (z)$ son polinomios en $z . La causalidad y$ la estabilidad implican que los polos –las raíces de $D$ $($ $z$ $)$ – deben estar estrictamente dentro del círculo unitario . También sabemos que $H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},$ por lo tanto causalidad y estabilidad para $H_{\text{inv}}(z)$ Esto implica que sus polos —las raíces de $A$ $($ $z$ $)$ — deben estar dentro del círculo unitario . Estas dos restricciones implican que tanto los ceros como los polos de un sistema de fase mínima deben estar estrictamente dentro del círculo unitario.

Análisis de frecuencia en tiempo continuo

El análisis para el caso de tiempo continuo procede de manera similar, excepto que utilizamos la transformada de Laplace para el análisis de frecuencia. La ecuación en el dominio del tiempo es $(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),$ dónde $\delta (t)$ es la función delta de Dirac – el operador identidad en el caso de tiempo continuo debido a la propiedad de filtrado con cualquier señal $x$ $($ $t$ $)$ : $(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).$

Al aplicar la transformada de Laplace se obtiene la siguiente relación en el plano s : $H(s)H_{\text{inv}}(s)=1,$ de donde nos damos cuenta de que $H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.$

Nuevamente, por simplicidad, consideramos solo el caso de una función de transferencia racional $H$ $($ $s$ $)$ . La causalidad y la estabilidad implican que todos los polos de $H$ $($ $s$ $) deben estar estrictamente dentro del$ semiplano izquierdo de s (véase estabilidad ). Supongamos que $H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},$ donde $A (s)$ y $D (s)$ son polinomios en $s$ . La causalidad y la estabilidad implican que los polos – las raíces de $D$ $($ $s$ $)$ – deben estar dentro del semiplano izquierdo de s . También sabemos que $H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},$ por lo tanto causalidad y estabilidad para $H_{\text{inv}}(s)$ implican que sus polos – las raíces de $A$ $($ $s$ $)$ – deben estar estrictamente dentro del semiplano izquierdo s . Estas dos restricciones implican que tanto los ceros como los polos de un sistema de fase mínima deben estar estrictamente dentro del semiplano izquierdo s .

Relación entre la magnitud de la respuesta y la fase de la respuesta.

Un sistema de fase mínima, ya sea de tiempo discreto o continuo, tiene una propiedad útil adicional: el logaritmo natural de la magnitud de la respuesta en frecuencia (la "ganancia" medida en nepers , que es proporcional a dB ) está relacionado con el ángulo de fase de la respuesta en frecuencia (medido en radianes ) mediante la transformada de Hilbert . Es decir, en el caso de tiempo continuo, sea $H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$ $Sea H (s)$ la respuesta en frecuencia compleja del sistema . Entonces, solo para un sistema de fase mínima, la respuesta de fase de $H (s)$ está relacionada con la ganancia por $\arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},$ dónde ${\mathcal {H}}$ denota la transformada de Hilbert y, inversamente, $\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.$

Dicho de forma más concisa, dejemos $H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},$ dónde $\alpha (\omega)$ y $\phi (\omega)$ son funciones reales de una variable real. Entonces $\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}$ y $\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.$

El operador de transformada de Hilbert se define como ${\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .$

Una relación equivalente también es válida para sistemas de fase mínima en tiempo discreto.

Fase mínima en el dominio del tiempo

Para todos los sistemas causales y estables que tienen la misma magnitud de respuesta , el sistema de fase mínima tiene su energía concentrada cerca del inicio de la respuesta impulsional . Es decir, minimiza la siguiente función, que podemos considerar como el retardo de energía en la respuesta impulsional : $\sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.$

Fase mínima como retardo de grupo mínimo

Para todos los sistemas causales y estables que tienen la misma magnitud de respuesta , el sistema de fase mínima tiene el retardo de grupo mínimo . La siguiente demostración ilustra esta idea del retardo de grupo mínimo .

Supongamos que consideramos un cero $a$ de la función de transferencia $H(z)$ . Coloquemos este cero $a$ dentro del círculo unitario ( $\left|a\right|<1$ ) y vea cómo se ve afectado el retraso del grupo . $a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)$

Desde el cero $a$ contribuye el factor $1-az^{-1}$ En cuanto a la función de transferencia , la fase aportada por este término es la siguiente. ${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}$

$\phi _{a}(\omega )$ contribuye de la siguiente manera al retraso del grupo .

${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}$

El denominador y $\theta _{a}$ son invariantes al reflejar el cero $a$ fuera del círculo unitario , es decir, reemplazando $a$ con $(a^{-1})^{*}$ Sin embargo, al reflexionar $a$ fuera del círculo unitario, aumentamos la magnitud de $\left|a\right|$ en el numerador. Por lo tanto, teniendo $a$ Dentro del círculo unitario se minimiza el retardo de grupo aportado por el factor. $1-az^{-1}$ Podemos extender este resultado al caso general de más de un cero, ya que la fase de los factores multiplicativos de la forma $1-a_{i}z^{-1}$ es aditivo. Es decir, para una función de transferencia con $N$ ceros , $\operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)$

Por lo tanto, un sistema de fase mínima con todos los ceros dentro del círculo unitario minimiza el retardo de grupo, ya que se minimiza el retardo de grupo de cada cero individual .

Ilustración del cálculo anterior. Arriba y abajo hay filtros con la misma respuesta de ganancia (a la izquierda : los diagramas de Nyquist , a la derecha : respuestas de fase), pero el filtro de arriba con $a=0.8<1$ tiene la menor amplitud en la respuesta de fase.

{\displaystyle a=0.8<1} — Ilustración del cálculo anterior. Arriba y abajo hay filtros con la misma respuesta de ganancia (a la izquierda : los diagramas de Nyquist , a la derecha : respuestas de fase), pero el filtro de arriba con $a=0.8<1$ tiene la menor amplitud en la respuesta de fase.

Fase no mínima

Los sistemas causales y estables cuyos inversos son causales e inestables se conocen como sistemas de fase no mínima . Un sistema de fase no mínima dado tendrá una mayor contribución de fase que el sistema de fase mínima con una respuesta de magnitud equivalente.

Fase máxima

Un sistema de fase máxima es lo opuesto a un sistema de fase mínima. Un sistema LTI causal y estable es un sistema de fase máxima si su inverso es causal e inestable. Es decir,

Los ceros del sistema de tiempo discreto están fuera del círculo unitario .
Los ceros del sistema de tiempo continuo se encuentran en el lado derecho del plano complejo .

Dicho sistema se denomina sistema de fase máxima porque presenta el mayor retardo de grupo entre los sistemas con la misma magnitud de respuesta. En este conjunto de sistemas con igual magnitud de respuesta, el sistema de fase máxima tendrá el mayor retardo de energía.

Por ejemplo, los dos sistemas LTI de tiempo continuo descritos por las funciones de transferencia ${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$

Ambos sistemas presentan respuestas de magnitud equivalente; sin embargo, el segundo sistema contribuye mucho más al desfase. Por lo tanto, en este conjunto, el segundo sistema es el de fase máxima y el primero, el de fase mínima. Estos sistemas también se conocen como sistemas de fase no mínima, que plantean numerosos problemas de estabilidad en el control. Una solución reciente para estos sistemas consiste en trasladar los ceros del semiplano derecho al semiplano izquierdo mediante el método PFCD. ^{[ 3 ]}

Fase mixta

Un sistema de fase mixta tiene algunos de sus ceros dentro del círculo unitario y otros fuera de él . Por lo tanto, su retardo de grupo no es ni mínimo ni máximo, sino que se encuentra entre el retardo de grupo del sistema equivalente de fase mínima y máxima.

Por ejemplo, el sistema LTI de tiempo continuo descrito por la función de transferencia ${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$ es estable y causal; sin embargo, tiene ceros tanto en el lado izquierdo como en el derecho del plano complejo . Por lo tanto, es un sistema de fase mixta . Para controlar las funciones de transferencia que incluyen estos sistemas, se proponen algunos métodos como el controlador de modelo interno (IMC), ^{[ 4 ]} el predictor generalizado de Smith (GSP) ^{[ 5 ]} y el control de prealimentación paralelo con derivada (PFCD) ^{[ 6 ]} .

Fase lineal

Un sistema de fase lineal tiene retardo de grupo constante . Los sistemas de fase lineal no triviales o de fase casi lineal también son de fase mixta.

Véase también

Filtro paso todo : un caso especial de fase no mínima.
Relación de Kramers-Kronig : sistema de fase mínima en física

Referencias

↑ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000). Estimación lineal . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. pág. 193. ISBN 0-13-022464-2.
↑ JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio (edición de septiembre de 2007).
↑ Noury, K. (2019). "Estudio estadístico analítico de compensadores lineales paralelos de prealimentación para sistemas de fase no mínima". Estudio estadístico analítico de compensadores lineales paralelos de prealimentación para sistemas de fase no mínima . doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .
↑ Morari, Manfred (2002). Control robusto de procesos . PTR Prentice Hall. ISBN 0137821530OCLC 263718708
↑ Ramanathan, S.; Curl, RL; Kravaris, C. (1989). "Dinámica y control de sistemas cuasiracionales". AIChE Journal . 35 (6): 1017– 1028. Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .
↑ Noury, K. (2019). "Clase de compensadores de prealimentación paralelos estabilizadores para sistemas de fase no mínima". Clase de compensadores de prealimentación paralelos estabilizadores para sistemas de fase no mínima . doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

Lecturas adicionales

Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Procesamiento estadístico y adaptativo de señales , págs. 54-56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
Boaz Porat : Un curso de procesamiento digital de señales , págs. 261-263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6

[1] Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000). Estimación lineal . Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. pág. 193. ISBN 0-13-022464-2.

[2] JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio (edición de septiembre de 2007).

[3] Noury, K. (2019). "Estudio estadístico analítico de compensadores lineales paralelos de prealimentación para sistemas de fase no mínima". Estudio estadístico analítico de compensadores lineales paralelos de prealimentación para sistemas de fase no mínima . doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .

[4] Morari, Manfred (2002). Control robusto de procesos . PTR Prentice Hall. ISBN 0137821530OCLC 263718708

[5] Ramanathan, S.; Curl, RL; Kravaris, C. (1989). "Dinámica y control de sistemas cuasiracionales". AIChE Journal . 35 (6): 1017– 1028. Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .

[6] Noury, K. (2019). "Clase de compensadores de prealimentación paralelos estabilizadores para sistemas de fase no mínima". Clase de compensadores de prealimentación paralelos estabilizadores para sistemas de fase no mínima . doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]