Distribución de Poisson

Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Poisson con parámetro${\displaystyle \lambda >0}$si tiene una función de masa de probabilidad dada por: ^{[ 2 ] : 60}$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$ dónde

• k es el número de ocurrencias (${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$)
• e es el número de Euler (${\displaystyle e=2.71828\ldots }$)
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1) es el factorial .

El número real positivo λ es igual al valor esperado de X y también a su varianza . ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

La distribución de Poisson se puede aplicar a sistemas con un gran número de eventos posibles, cada uno de los cuales es poco frecuente . El número de dichos eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo fijo es, en las circunstancias adecuadas, un número aleatorio con una distribución de Poisson.

La ecuación se puede adaptar si, en lugar del número promedio de eventos${\displaystyle \lambda ,}$Se nos da la tasa promedio${\displaystyle r}$en el que ocurren los eventos. Entonces${\displaystyle \lambda =rt,}$y: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle P(k{\text{ eventos en el intervalo }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

La distribución de Poisson puede ser útil para modelar eventos como:

• el número de meteoritos de más de un metro de diámetro que impactan la Tierra en un año;
• el número de fotones láser que inciden en un detector en un intervalo de tiempo determinado;
• el número de estudiantes que obtienen una calificación baja y alta en un examen; y
• Ubicación de defectos y dislocaciones en los materiales.

Ejemplos de la aparición de puntos aleatorios en el espacio son: las ubicaciones de los impactos de asteroides con la Tierra (2 dimensiones), las ubicaciones de imperfecciones en un material (3 dimensiones) y las ubicaciones de los árboles en un bosque (2 dimensiones). ^{[ 15 ]}

La distribución de Poisson es un modelo apropiado si se cumplen las siguientes suposiciones:

• k , un número entero no negativo, es la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo.
• La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de un segundo evento.
• La tasa promedio a la que ocurren los eventos es independiente de cualquier suceso.
• Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.

Si se cumplen estas condiciones, entonces k es una variable aleatoria de Poisson; la distribución de k es una distribución de Poisson.

La distribución de Poisson es también el límite de una distribución binomial , para la cual la probabilidad de éxito en cada ensayo es${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$, dónde${\displaystyle \lambda }$es la expectativa y${\displaystyle n}$es el número de ensayos, en el límite que${\displaystyle n\to \infty }$con${\displaystyle \lambda }$se mantuvo constante ^{[ 16 ] [ 17 ]} (ver Distribuciones relacionadas ):

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

La distribución de Poisson también puede derivarse de las ecuaciones diferenciales ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

con condiciones iniciales${\displaystyle P_{k}(0)=\delta _{k0}}$y evaluado en${\displaystyle t=1}$

Es probable que el número de estudiantes que llegan al centro estudiantil por minuto no siga una distribución de Poisson, ya que la tasa no es constante (tasa baja durante las clases, tasa alta entre clases) y las llegadas de los estudiantes no son independientes (los estudiantes tienden a venir en grupos). La tasa de llegada no constante puede modelarse como una distribución de Poisson mixta , y la llegada de grupos en lugar de estudiantes individuales como un proceso de Poisson compuesto .

El número de  terremotos de magnitud 5 por año en un país puede no seguir una distribución de Poisson si un gran terremoto aumenta la probabilidad de réplicas de magnitud similar.

Los ejemplos en los que se garantiza al menos un evento no siguen una distribución de Poisson, pero pueden modelarse utilizando una distribución de Poisson truncada en cero .

Las distribuciones de conteo en las que el número de intervalos con cero eventos es mayor que el predicho por un modelo de Poisson pueden modelarse utilizando un modelo con inflación de ceros .

• El valor esperado de una variable aleatoria de Poisson es λ .
• La varianza de una variable aleatoria de Poisson también es λ .
• El coeficiente de variación es${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$mientras que el índice de dispersión es  1. ^{[ 8 ] : 163}
• La desviación absoluta media con respecto a la media es ^{[ 8 ] : 163}$${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$$ !}}.}
• La moda de una variable aleatoria con distribución de Poisson con λ no entero es igual a${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$que es el mayor entero menor o igual que λ . Esto también se escribe como floor ( λ ) . Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1 . 
• Todos los cumulantes de la distribución de Poisson son iguales al valor esperado λ . El n -ésimo momento factorial de la distribución de Poisson es λ ⁿ . 
• El valor esperado de un proceso de Poisson a veces se descompone en el producto de la intensidad y la exposición (o, de forma más general, se expresa como la integral de una "función de intensidad" en el tiempo o el espacio, a veces descrita como "exposición"). ^{[ 22 ]}

Límites para la mediana (${\displaystyle \nu }$) de la distribución son conocidas y son nítidas : ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

Los momentos no centrados de orden superior m _k de la distribución de Poisson son polinomios de Touchard en λ : $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$donde las llaves { } denotan números de Stirling de segunda especie . ^{[ 24 ] [ 1 ] : 6} En otras palabras, $${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$ Cuando el valor esperado se establece en λ = 1 , la fórmula de Dobinski implica que el n -ésimo momento es igual al número de particiones de un conjunto de tamaño n .

Un límite superior simple es: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

Si${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$para${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$son independientes , entonces${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$^{[ 26 ] : 65}Un recíproco esel teorema de Raikov, que dice que si la suma de dos variables aleatorias independientes tiene una distribución de Poisson, entonces también la tienen cada una de esas dos variables aleatorias independientes. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

Es una distribución de máxima entropía dentro del conjunto de distribuciones binomiales generalizadas.${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$con significa${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle n\to \infty }$, ^{[ 29 ]} donde una distribución binomial generalizada se define como una distribución de la suma de N variables de Bernoulli independientes pero no idénticamente distribuidas.

• Las distribuciones de Poisson son distribuciones de probabilidad infinitamente divisibles . ^{[ 30 ] : 233 [ 8 ] : 164}
• La divergencia dirigida de Kullback-Leibler de${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$de${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$es dado por$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• Si${\displaystyle \lambda \geq 1}$es un número entero, entonces${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$Satisface${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$y${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$^{[ 31 ]}
• Límites para las probabilidades de cola de una variable aleatoria de Poisson${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$puede derivarse utilizando un argumento de cota de Chernoff . ^{[ 32 ] : 97-98}$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• La probabilidad de la cola superior se puede ajustar (por un factor de al menos dos) de la siguiente manera: ^{[ 33 ]}$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$dónde${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$es la divergencia de Kullback-Leibler de${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$de${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$.
• Desigualdades que relacionan la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria de Poisson.${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$a la función de distribución acumulativa${\displaystyle \Phi }$Las características de la distribución normal estándar son las siguientes: ^{[ 34 ]}

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$dónde${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$es la divergencia de Kullback-Leibler de${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$de${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$y${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$es la divergencia de Kullback-Leibler de${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$de${\displaystyle P}$.

Dejar${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$y${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$sean variables aleatorias independientes, con${\displaystyle \lambda <\mu ,}$entonces tenemos eso $${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

La cota superior se demuestra utilizando una cota de Chernoff estándar.

El límite inferior se puede demostrar observando que${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$es la probabilidad de que${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$dónde${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$que está delimitado por debajo${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$dónde${\displaystyle D}$es la entropía relativa (consulte la entrada sobre límites en las colas de las distribuciones binomiales para obtener más detalles). Además, cabe señalar que${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$y calculando una cota inferior para la probabilidad incondicional se obtiene el resultado. Se pueden encontrar más detalles en el apéndice de Kamath et al. ^{[ 35 ].}

La distribución de Poisson se puede derivar como un caso límite de la distribución binomial cuando el número de ensayos tiende a infinito y el número esperado de éxitos permanece fijo (véase la ley de eventos raros más adelante). Por lo tanto, se puede utilizar como una aproximación de la distribución binomial si n es suficientemente grande y p es suficientemente pequeño. La distribución de Poisson es una buena aproximación de la distribución binomial si n es al menos  20 y p es menor o igual a  0,05, y una excelente aproximación si n ≥ 100 y np ≤ 10. ^{[ 36 ]} Dejando${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$y${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$Sean las respectivas funciones de densidad acumulada de las distribuciones binomial y de Poisson, se tiene: $${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ Una derivación de esto utiliza funciones generadoras de probabilidad . ^{[ 37 ]} Consideremos un ensayo de Bernoulli (lanzamiento de moneda) cuya probabilidad de un éxito (o número esperado de éxitos) es${\displaystyle \lambda \leq 1}$dentro de un intervalo dado. Divida el intervalo en n partes y realice un ensayo en cada subintervalo con probabilidad${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$La probabilidad de k éxitos de n ensayos en todo el intervalo viene dada por la distribución binomial. $${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ cuya función generadora es: $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$ Tomando el límite cuando n tiende a infinito (con x fijo) y aplicando la definición de límite de producto de la función exponencial , esto se reduce a la función generadora de la distribución de Poisson: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• Si${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$y${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$son independientes, entonces la diferencia${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$sigue una distribución de Skellam .
• Si${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$y${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$son independientes, entonces la distribución de${\displaystyle X_{1}}$condicionado a${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$es una distribución binomial .
  Específicamente, si${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$entonces${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  De forma más general, si X ₁ , X ₂ , ..., X _n son variables aleatorias de Poisson independientes con parámetros λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n entonces
  dado${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$resulta que${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$De hecho,${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• Si${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$y la distribución de${\displaystyle Y}$condicional a X = k es una distribución binomial ,${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$Entonces, la distribución de Y sigue una distribución de Poisson.${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$De hecho, si, condicionado a${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$sigue una distribución multinomial ,${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$entonces cada uno${\displaystyle Y_{i}}$sigue una distribución de Poisson independiente${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• La distribución de Poisson es un caso especial de la distribución de Poisson compuesta discreta (o distribución de Poisson tartamudeante) con un solo parámetro. ^{[ 38 ] [ 39 ]} La distribución de Poisson compuesta discreta se puede deducir de la distribución límite de la distribución multinomial univariada. También es un caso especial de una distribución de Poisson compuesta .
• Para valores suficientemente grandes de λ (por ejemplo, λ > 1000 ), la distribución normal con media λ y varianza λ (desviación estándar )${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$) es una excelente aproximación a la distribución de Poisson. Si λ es mayor que aproximadamente 10, entonces la distribución normal es una buena aproximación si se realiza una corrección de continuidad apropiada, es decir, si P( X ≤ x ) , donde x es un entero no negativo, se reemplaza por P( X ≤ x + 0.5) . $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• Transformación estabilizadora de la varianza : Si${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$entonces ^{[ 8 ] : 168}$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$y ^{[ 40 ] : 196}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$Bajo esta transformación, la convergencia a la normalidad (como${\displaystyle \lambda }$Los incrementos) son mucho más rápidos que la variable sin transformar. Existen otras transformaciones estabilizadoras de la varianza, ligeramente más complejas, ^{[ 8 ] : 168} una de las cuales es la transformación de Anscombe . ^{[ 41 ]} Véase Transformación de datos (estadística) para usos más generales de las transformaciones.
• Si para cada t > 0 el número de llegadas en el intervalo de tiempo [ 0, t ] sigue una distribución de Poisson con media λt , entonces la secuencia de tiempos entre llegadas son variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas con media 1/ λ . ^{[ 42 ] : 317–319} 
• Las funciones de distribución acumulativa de las distribuciones de Poisson y chi-cuadrado se relacionan de las siguientes maneras: ^{[ 8 ] : 167}$${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$y ^{[ 8 ] : 158}$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

Asumir${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$dónde${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$entonces ^{[ 43 ]}${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$se distribuye multinomialmente${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$condicionado a${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

Esto significa ^{[ 32 ] : 101-102} , entre otras cosas, que para cualquier función no negativa${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ si${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$es multinomialmente distribuida, entonces $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ dónde${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

El factor de${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$puede ser reemplazado por  2 si${\displaystyle f}$Además, se supone que es monótonamente creciente o decreciente.

Esta distribución se ha extendido al caso bivariado . ^{[ 44 ]} La función generadora para esta distribución es $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$ con $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

Las distribuciones marginales son Poisson( θ ₁ ) y Poisson( θ ₂ ) y el coeficiente de correlación está limitado al rango $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

Una forma sencilla de generar una distribución de Poisson bivariada${\displaystyle X_{1},X_{2}}$es tomar tres distribuciones de Poisson independientes${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$con medios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$y luego configurar${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$La función de probabilidad de la distribución de Poisson bivariada es $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

La distribución de Poisson libre ^{[ 45 ]} con tamaño de salto${\displaystyle \alpha }$y tasa${\displaystyle \lambda }$surge en la teoría de la probabilidad libre como el límite de la convolución libre repetida.$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$ cuando N → ∞ .

En otras palabras, dejemos${\displaystyle X_{N}}$sean variables aleatorias de modo que${\displaystyle X_{N}}$tiene valor${\displaystyle \alpha }$con probabilidad${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$y valor  0 con la probabilidad restante. Supongamos también que la familia${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$son libremente independientes . Entonces el límite como${\displaystyle N\to \infty }$de la ley de${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$viene dada por la ley de Poisson libre con parámetros${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

Esta definición es análoga a una de las formas en que se obtiene la distribución de Poisson clásica a partir de un proceso de Poisson (clásico).

La medida asociada a la ley de Poisson libre viene dada por ^{[ 46 ].}$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$ dónde $${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$ y tiene apoyo${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

Esta ley también surge en la teoría de matrices aleatorias como la ley de Marchenko-Pastur . Sus cumulantes libres son iguales a${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

Dado un conjunto de n valores medidos${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$Para i = 1, ..., n , deseamos estimar el valor del parámetro λ de la población de Poisson de la que se extrajo la muestra. La estimación de máxima verosimilitud es ^{[ 48 ].}

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

Dado que cada observación tiene una esperanza λ , también la tiene la media muestral. Por lo tanto, la estimación de máxima verosimilitud es un estimador insesgado de λ . También es un estimador eficiente ya que su varianza alcanza la cota inferior de Cramér-Rao (CRLB). ^{[ 49 ]} Por consiguiente, es insesgado de mínima varianza . Además, se puede demostrar que la suma (y por lo tanto la media muestral, ya que es una función biyectiva de la suma) es una estadística completa y suficiente para λ .

Para demostrar la suficiencia podemos utilizar el teorema de factorización . Consideremos la partición de la función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson conjunta para la muestra en dos partes: una que depende únicamente de la muestra.${\displaystyle \mathbf {x} }$, llamado${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$y uno que depende del parámetro${\displaystyle \lambda }$y la muestra${\displaystyle \mathbf {x} }$solo a través de la función${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$Entonces${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$es una estadística suficiente para${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

El primer término${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$depende únicamente de${\displaystyle \mathbf {x} }$El segundo término${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$depende de la muestra únicamente a través de${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$De este modo,${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$es suficiente.

Para hallar el parámetro λ que maximiza la función de probabilidad para la población de Poisson, podemos utilizar el logaritmo de la función de verosimilitud:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

Tomamos la derivada de${\displaystyle \ell }$con respecto a λ y compararlo con cero:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

Al despejar λ se obtiene un punto estacionario.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

Entonces, λ es el promedio de los valores k _i . Obtener el signo de la segunda derivada de L en el punto estacionario determinará qué tipo de valor extremo es λ .

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

Al evaluar la segunda derivada en el punto estacionario se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

que es el negativo de n veces el recíproco del promedio de los k _i . Esta expresión es negativa cuando el promedio es positivo. Si se cumple esta condición, entonces el punto estacionario maximiza la función de probabilidad.

Para mayor exhaustividad , se dice que una familia de distribuciones es completa si y solo si${\displaystyle E(g(T))=0}$implica que${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$a pesar de${\displaystyle \lambda .}$Si el individuo${\displaystyle X_{i}}$son iid${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$entonces${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$Conociendo la distribución que queremos investigar, es fácil ver que la estadística está completa.

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

Para que esta igualdad se mantenga,${\displaystyle g(t)}$debe ser  0. Esto se deduce del hecho de que ninguno de los otros términos será  0 para todos${\displaystyle t}$en la suma y para todos los valores posibles de${\displaystyle \lambda .}$Por eso,${\displaystyle E(g(T))=0}$a pesar de${\displaystyle \lambda }$implica que${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$y se ha demostrado que la estadística es completa.

El intervalo de confianza para la media de una distribución de Poisson se puede expresar utilizando la relación entre las funciones de distribución acumulativa de las distribuciones de Poisson y chi-cuadrado . La distribución chi-cuadrado está estrechamente relacionada con la distribución gamma , lo que conduce a una expresión alternativa. Dada una observación k de una distribución de Poisson con media μ , un intervalo de confianza para μ con un nivel de confianza de 1 – α es

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

o equivalentemente,

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

dónde${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$es la función cuantil (que corresponde a un área de cola inferior p ) de la distribución chi-cuadrado con n grados de libertad y${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$es la función cuantil de una distribución gamma con parámetro de forma n y parámetro de escala  1. ^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]} Este intervalo es ' exacto ' en el sentido de que su probabilidad de cobertura nunca es menor que el nominal 1 – α .

Cuando no se dispone de cuantiles de la distribución gamma, se ha propuesto una aproximación precisa a este intervalo exacto (basada en la transformación de Wilson-Hilferty ): ^{[ 51 ]}$${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$ dónde${\displaystyle z_{\alpha /2}}$denota la desviación normal estándar con área de cola superior α / 2 .

Para la aplicación de estas fórmulas en el mismo contexto que el anterior (dada una muestra de n valores medidos k _i cada uno extraído de una distribución de Poisson con media λ ), se establecería

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$ Calcula un intervalo para μ = nλ y luego deriva el intervalo para λ .

En la inferencia bayesiana , la distribución a priori conjugada para el parámetro de tasa λ de la distribución de Poisson es la distribución gamma . ^{[ 52 ]} Sea

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

denotamos que λ se distribuye según la densidad gamma g parametrizada en términos de un parámetro de forma α y un parámetro de escala inversa β :

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

Entonces, dado el mismo conjunto de n valores medidos k _i que antes , y una distribución a priori de Gamma( α , β ) , la distribución a posteriori es

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

Nótese que la media posterior es lineal y viene dada por $${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$ Se puede demostrar que la distribución gamma es la única distribución a priori que induce la linealidad de la media condicional. Además, existe un resultado recíproco que establece que si la media condicional está cerca de una función lineal en la${\displaystyle L_{2}}$La distancia que la distribución previa de λ debe estar cerca de la distribución gamma en la distancia de Levy . ^{[ 53 ]}

La media posterior E[ λ ] se aproxima a la estimación de máxima verosimilitud.${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$en el límite como${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$lo cual se deduce inmediatamente de la expresión general de la media de la distribución gamma .

La distribución predictiva posterior para una sola observación adicional es una distribución binomial negativa , ^{[ 54 ] : 53} a veces llamada distribución gamma-Poisson.

Suponer${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$es un conjunto de variables aleatorias independientes de un conjunto de${\displaystyle p}$Distribuciones de Poisson, cada una con un parámetro${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$y nos gustaría estimar estos parámetros. Luego, Clevenson y Zidek muestran que bajo la pérdida de error cuadrático normalizado${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$cuando${\displaystyle p>1,}$Luego, de forma similar al ejemplo de Stein para las medias normales, el estimador MLE${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$es inadmisible . ^{[ 55 ]}

En este caso, se proporciona una familia de estimadores minimax para cualquier${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$y${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$como ^{[ 56 ]}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

La frecuencia de un evento está relacionada con la probabilidad de que ocurra en un subintervalo pequeño (de tiempo, espacio o cualquier otro tipo). En el caso de la distribución de Poisson, se supone que existe un subintervalo suficientemente pequeño para el cual la probabilidad de que un evento ocurra dos veces es insignificante. Con esta suposición, se puede derivar la distribución de Poisson a partir de la binomial, conociendo únicamente el número esperado de eventos totales en todo el intervalo.

Sea el número total de eventos en todo el intervalo denotado por${\displaystyle \lambda .}$Divide todo el intervalo en${\displaystyle n}$subintervalos${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$de igual tamaño, de tal manera que${\displaystyle n>\lambda }$(dado que solo nos interesan porciones muy pequeñas del intervalo, esta suposición es significativa). Esto significa que el número esperado de eventos en cada uno de los n subintervalos es igual a${\displaystyle \lambda /n.}$

Ahora suponemos que la ocurrencia de un evento en todo el intervalo puede verse como una secuencia de n ensayos de Bernoulli , donde${\displaystyle i}$-El ensayo de Bernoulli corresponde a observar si un evento ocurre en el subintervalo.${\displaystyle I_{i}}$con probabilidad${\displaystyle \lambda /n.}$El número esperado de eventos totales en${\displaystyle n}$tales juicios serían${\displaystyle \lambda ,}$el número esperado de eventos totales en todo el intervalo. Por lo tanto, para cada subdivisión del intervalo, hemos aproximado la ocurrencia del evento como un proceso de Bernoulli de la forma${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$Como hemos señalado anteriormente, queremos considerar solo subintervalos muy pequeños. Por lo tanto, tomamos el límite cuando${\displaystyle n}$va hasta el infinito.

En este caso, la distribución binomial converge a lo que se conoce como la distribución de Poisson según el teorema del límite de Poisson .

En varios de los ejemplos anteriores, como el número de mutaciones en una secuencia de ADN determinada, los eventos que se cuentan son en realidad los resultados de ensayos discretos y se modelarían con mayor precisión utilizando la distribución binomial , es decir $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

En tales casos , n es muy grande y p es muy pequeño (por lo que la esperanza np es de magnitud intermedia). Entonces, la distribución puede aproximarse mediante la distribución de Poisson, que es menos compleja. $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

Esta aproximación se conoce a veces como la ley de eventos raros , ^{[ 72 ] : 5} ya que cada uno de los n eventos individuales de Bernoulli ocurre raramente.

El nombre "ley de los eventos raros" puede resultar engañoso, ya que el número total de eventos exitosos en un proceso de Poisson no tiene por qué ser raro si el parámetro np no es pequeño. Por ejemplo, el número de llamadas telefónicas a una centralita ocupada en una hora sigue una distribución de Poisson, donde los eventos parecen frecuentes para el operador, pero son raros desde el punto de vista del miembro promedio de la población, quien tiene muy pocas probabilidades de llamar a esa centralita en esa hora.

La varianza de la distribución binomial es 1 − p veces la de la distribución de Poisson, por lo que es casi igual cuando p es muy pequeño.

La palabra ley se usa a veces como sinónimo de distribución de probabilidad , y convergencia en ley significa convergencia en distribución . Por consiguiente, la distribución de Poisson se denomina a veces «ley de los números pequeños» porque es la distribución de probabilidad del número de ocurrencias de un evento que sucede raramente pero tiene muchísimas posibilidades de ocurrir. La ley de los números pequeños es un libro de Ladislaus Bortkiewicz sobre la distribución de Poisson, publicado en  1898. ^{[ 12 ] [ 73 ]}

La distribución de Poisson surge como el número de puntos de un proceso puntual de Poisson ubicados en alguna región finita. Más específicamente, si D es algún espacio de región, por ejemplo el espacio euclidiano R ^d , para el cual | D | , el área, el volumen o, más generalmente, la medida de Lebesgue de la región es finito, y si N ( D ) denota el número de puntos en D , entonces

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

La regresión de Poisson y la regresión binomial negativa son útiles para análisis donde la variable dependiente (respuesta) es el recuento (0, 1, 2, ... ) del número de eventos u ocurrencias en un intervalo.

El experimento de Luria-Delbrück se puso a prueba contra la hipótesis de la evolución lamarckiana, que debería dar como resultado una distribución de Poisson.

Katz y Miledi midieron el potencial de membrana con y sin la presencia de acetilcolina (ACh). ^{[ 74 ]} Cuando la ACh está presente, los canales iónicos de la membrana se abren aleatoriamente durante una pequeña fracción del tiempo. Como hay un gran número de canales iónicos, cada uno abierto durante una pequeña fracción del tiempo, el número total de canales iónicos abiertos en cualquier momento sigue una distribución de Poisson. Cuando la ACh no está presente, efectivamente no hay canales iónicos abiertos. El potencial de membrana es${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$Al restar el efecto del ruido, Katz y Miledi encontraron que la media y la varianza del potencial de membrana eran:${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$y${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$respectivamente, dando${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$. (págs.  94-95 ^{[ 75 ]} )

Durante cada evento de replicación celular, el número de mutaciones se distribuye aproximadamente según una distribución de Poisson. ^{[ 76 ]} Por ejemplo, el virus del VIH tiene  10 000 pares de bases y una tasa de mutación de aproximadamente  1 por cada  30 000 pares de bases, lo que significa que el número de mutaciones por evento de replicación se distribuye como${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$(pág.  64 ^{[ 75 ]} )

En un proceso de Poisson, el número de ocurrencias observadas fluctúa alrededor de su media λ con una desviación estándar.${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$Estas fluctuaciones se denominan ruido de Poisson o (particularmente en electrónica) ruido de disparo .

La correlación entre la media y la desviación estándar al contar sucesos discretos independientes es útil científicamente. Al monitorear cómo varían las fluctuaciones con la señal media, se puede estimar la contribución de un solo suceso, incluso si esa contribución es demasiado pequeña para ser detectada directamente . Por ejemplo, la carga e en un electrón se puede estimar correlacionando la magnitud de una corriente eléctrica con su ruido de disparo . Si N electrones pasan por un punto en un tiempo dado t en promedio, la corriente media es${\displaystyle I=eN/t}$; ya que las fluctuaciones actuales deberían ser del orden${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$(es decir, la desviación estándar del proceso de Poisson ), la carga${\displaystyle e}$puede estimarse a partir de la relación${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

Un ejemplo cotidiano es la granulosidad que aparece al ampliar las fotografías; esta granulosidad se debe a las fluctuaciones de Poisson en la cantidad de granos de plata reducidos , no a los granos individuales en sí. Al correlacionar la granulosidad con el grado de ampliación, se puede estimar la contribución de cada grano (que, de otro modo, sería demasiado pequeño para ser visible a simple vista).

En la teoría de conjuntos causales, los elementos discretos del espacio-tiempo siguen una distribución de Poisson en el volumen.

La distribución de Poisson también aparece en la mecánica cuántica , especialmente en la óptica cuántica . En concreto, para un sistema oscilador armónico cuántico en estado coherente , la probabilidad de medir un nivel de energía determinado sigue una distribución de Poisson.

Computación${\displaystyle P(k;\lambda )}$para dado${\displaystyle k}$y${\displaystyle \lambda }$es una tarea trivial que se puede realizar utilizando la definición estándar de${\displaystyle P(k;\lambda )}$en términos de funciones exponenciales, de potencia y factoriales. Sin embargo, la definición convencional de la distribución de Poisson contiene dos términos que pueden desbordarse fácilmente en las computadoras: λ ^k y k ! . La fracción de λ ^k a k ! también puede producir un error de redondeo muy grande en comparación con e ^{− λ} , y por lo tanto dar un resultado erróneo. Por lo tanto, para la estabilidad numérica, la función de masa de probabilidad de Poisson debe evaluarse como $${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$$ que es matemáticamente equivalente pero numéricamente estable. El logaritmo natural de la función Gamma se puede obtener utilizando la lgammafunción de la biblioteca estándar de C (versión C99) o R , la gammalnfunción de MATLAB o SciPy , o la log_gammafunción de Fortran  2008 y posteriores.

Algunos lenguajes de programación proporcionan funciones integradas para evaluar la distribución de Poisson, a saber:

• R : función dpois(x, lambda);
• Excel : función POISSON( x, mean, cumulative), con un indicador para especificar la distribución acumulativa;
• Mathematica : distribución de Poisson univariada como , ^{[ 77 ]} distribución de Poisson bivariada como ,. ^{[ 78 ]}PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}]

La tarea menos trivial consiste en extraer una variable aleatoria entera de la distribución de Poisson con un valor dado.${\displaystyle \lambda .}$

Las soluciones son proporcionadas por:

• R : función rpois(n, lambda);
• Biblioteca Científica GNU (GSL): función gsl_ran_poisson

Knuth ha proporcionado un algoritmo sencillo para generar números aleatorios con distribución de Poisson ( muestreo de números pseudoaleatorios ) : ^{[ 79 ] : 137-138}

Algoritmo de números aleatorios de Poisson (Knuth) : init : Sea L ← e − λ , k ← 0 y p ← 1. do : k ← k + 1. Genera un número aleatorio uniforme u en [0,1] y haz p ← p × u. mientras p > L. devuelve k − 1.

La complejidad es lineal con respecto al valor devuelto k , que es λ en promedio. Existen muchos otros algoritmos para mejorarlo. Algunos se describen en Ahrens y Dieter; véase la sección  Referencias a continuación.

Para valores grandes de λ , el valor de L = e ^{− λ} puede ser tan pequeño que resulta difícil de representar. Esto se puede solucionar modificando el algoritmo, utilizando un parámetro adicional STEP de tal manera que e ^−STEP no produzca un desbordamiento negativo:

Algoritmo de números aleatorios de Poisson (Junhao, basado en Knuth) : init : Sea λ Left ← λ , k ← 0 y p ← 1. do : k ← k + 1. Generar un número aleatorio uniforme u en (0,1) y sea p ← p × u. mientras p < 1 y λ Left > 0: si λ Left > STEP: p ← p × e PASO λ Izquierda ← λ Izquierda − PASO en caso contrario : p ← p × e λ Izquierda λ Izquierda ← 0 mientras p > 1. devolver k − 1.

La elección de STEP depende del umbral de desbordamiento. Para el formato de punto flotante de doble precisión, el umbral está cerca de e ⁷⁰⁰ , por lo que 500 debería ser un STEP  seguro .

Otras soluciones para valores grandes de λ incluyen el muestreo por rechazo y el uso de la aproximación gaussiana.

El muestreo por transformada inversa es simple y eficiente para valores pequeños de λ , y requiere solo un número aleatorio uniforme u por muestra. Las probabilidades acumuladas se examinan sucesivamente hasta que una supera a u .

Algoritmo generador de Poisson basado en la inversión por búsqueda secuencial : [ 80 ] : 505 init : Sea x ← 0, p ← e − λ , s ← p. Generar un número aleatorio uniforme u en [0,1]. mientras u > s hacer : x ← x + 1. p ← p × λ / x. s ← s + p. devolver x.