Distribución de Poisson truncada en cero

En teoría de la probabilidad , la distribución de Poisson truncada en cero ( distribución ZTP ) es una distribución de probabilidad discreta cuyo soporte es el conjunto de los enteros positivos. Esta distribución también se conoce como distribución de Poisson condicional ^{[ 1 ]} o distribución de Poisson positiva ^{[ 2 ]} . Es la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria con distribución de Poisson , dado que el valor de la variable aleatoria no es cero. Por lo tanto, es imposible que una variable aleatoria ZTP sea cero. Consideremos, por ejemplo, la variable aleatoria del número de artículos en la cesta de la compra de un cliente en la cola de un supermercado. Presumiblemente, un cliente no hace cola sin nada que comprar (es decir, la compra mínima es de 1 artículo), por lo que este fenómeno puede seguir una distribución ZTP ^{[ 3 ] .}

Dado que la ZTP es una distribución truncada con el truncamiento estipulado como k > 0 , se puede derivar la función de masa de probabilidad g ( k ; λ ) a partir de una distribución de Poisson estándar f ( k ; λ ) de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle g(k;\lambda )=P(X=k\mid X>0)={\frac {f(k;\lambda )}{1-f(0;\lambda )}}={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!\left(1-e^{-\lambda }\right)}}={\frac {\lambda ^{k}}{(e^{\lambda }-1)k!}}}$

La media es

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\lambda }{1-e^{-\lambda }}}={\frac {\lambda e^{\lambda }}{e^{\lambda }-1}}}$

y la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]={\frac {\lambda +\lambda ^{2}}{1-e^{-\lambda }}}-{\frac {\lambda ^{2}}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}=\operatorname {E} [X](1+\lambda -\operatorname {E} [X])}$

Estimador del método de los momentos${\displaystyle {\widehat {\lambda }}}$para el parámetro${\displaystyle \lambda }$se obtiene resolviendo

${\displaystyle {\frac {\widehat {\lambda }}{1-e^{-{\widehat {\lambda }}}}}={\bar {x}}}$

dónde${\displaystyle {\bar {x}}}$es la media de la muestra . ^{[ 1 ]}

Esta ecuación tiene una solución en términos de la función W de Lambert . En la práctica, se puede encontrar una solución utilizando métodos numéricos.

Las variables aleatorias muestreadas de la distribución de Poisson truncada en cero pueden obtenerse utilizando algoritmos derivados de algoritmos de muestreo de la distribución de Poisson. ^{[ 5 ]}

init : Sea k ← 1, t ← e −λ / (1 - e −λ ) * λ, s ← t. Generar un número aleatorio uniforme u en [0,1]. mientras s < u hacer : k ← k + 1. t ← t * λ / k. s ← s + t. devolver k.

El costo del procedimiento anterior es lineal en k , que puede ser grande para valores grandes de${\displaystyle \lambda }$Dado el acceso a un muestreador eficiente para variables aleatorias de Poisson no truncadas, un enfoque no iterativo implica el muestreo de una distribución exponencial truncada que representa el tiempo del primer evento en un proceso puntual de Poisson , condicionado a la existencia de dicho evento. ^{[ 6 ]} Una implementación simple en Python con NumPy es:

def sample_zero_truncated_poisson ( rate ): u = np . random . uniform ( np . exp ( - rate ), 1 ) t = - np . log ( u ) return 1 + np . random . poisson ( rate - t )