Función generadora de probabilidad

Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores x en los enteros no negativos {0,1, ...}, entonces la función generadora de probabilidad de X se define como ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$$ dónde${\displaystyle p}$es la función de masa de probabilidad de${\displaystyle X}$. Tenga en cuenta que las notaciones en subíndice${\displaystyle G_{X}}$y${\displaystyle p_{X}}$Se utilizan a menudo para enfatizar que se refieren a una variable aleatoria en particular.${\displaystyle X}$y a su distribución . La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los números complejos.${\displaystyle z}$con${\displaystyle |z|<1}$; siendo el radio de convergencia a menudo mayor.

Si X = ( X ₁ ,..., X _d ) es una variable aleatoria discreta que toma valores ( x ₁ , ..., x _d ) en la red de enteros no negativos d -dimensional {0,1, ...} ^d , entonces la función generadora de probabilidad de X se define como $${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$$ donde p es la función de probabilidad de masa de X. La serie de potencias converge absolutamente al menos para todos los vectores complejos.${\displaystyle z=(z_{1},...z_{d})\in \mathbb {C} ^{d}}$con${\displaystyle {\text{max}}\{|z_{1}|,...,|z_{d}|\}\leq 1.}$

Las funciones generadoras de probabilidad obedecen todas las reglas de las series de potencias con coeficientes no negativos. En particular,${\displaystyle G(1^{-})=1}$, dónde${\displaystyle G(1^{-})=\lim _{x\to 1,x<1}G(x)}$, x aproximándose a 1 desde abajo , ya que las probabilidades deben sumar uno. Por lo tanto, el radio de convergencia de cualquier función generadora de probabilidad debe ser al menos 1, según el teorema de Abel para series de potencias con coeficientes no negativos.

Las siguientes propiedades permiten la derivación de varias cantidades básicas relacionadas con${\displaystyle X}$:

1. La función de masa de probabilidad de${\displaystyle X}$se recupera tomando derivados de${\displaystyle G}$,$${\displaystyle p(k)=\operatorname {Pr} (X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}$$
2. De la Propiedad 1 se deduce que si las variables aleatorias${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$tienen funciones generadoras de probabilidad que son iguales,${\displaystyle G_{X}=G_{Y}}$, entonces${\displaystyle p_{X}=p_{Y}}$. Es decir, si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si tienen funciones generadoras de probabilidad idénticas, entonces tienen distribuciones idénticas.
3. La normalización de la función de masa de probabilidad se puede expresar en términos de la función generadora mediante$${\displaystyle \operatorname {E} [1]=G(1^{-})=\sum _{i=0}^{\infty }p(i)=1.}$$La expectativa de${\displaystyle X}$es dado por$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=G'(1^{-}).}$$En términos más generales, el${\displaystyle k^{th}}$momento factorial ,${\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\cdots (X-k+1)]}$de${\displaystyle X}$es dado por$${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {X!}{(Xk)!}}\right]=G^{(k)}(1^{-}),\quad k\geq 0.}$$Entonces la varianza de${\displaystyle X}$es dado por$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-\left[G'(1^{-})\right]^{2}.}$$Finalmente, el k -ésimo momento bruto de X viene dado por$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\left(z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{k}G(z){\Big |}_{z=1^{-}}}$$
4. ${\displaystyle G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)}$donde X es una variable aleatoria,${\displaystyle G_{X}(t)}$es la función generadora de probabilidad (de${\displaystyle X}$) y${\displaystyle M_{X}(t)}$es la función generadora de momentos (de${\displaystyle X}$).

Las funciones generadoras de probabilidad son particularmente útiles para trabajar con funciones de variables aleatorias independientes . Por ejemplo: