Función generadora de momentos factoriales

En teoría de la probabilidad y estadística , la función generadora de momentos factoriales (FMGF) de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real X se define como

M_{X}(t)=\operatorname {E} {\bigl [}t^{X}{\bigr ]}

para todos los números complejos t para los que existe este valor esperado . Este es el caso al menos para todos los t en el círculo unitario. $|t|=1$ , véase la función característica . Si X es una variable aleatoria discreta que toma valores solo en el conjunto {0,1, ...} de enteros no negativos , entonces $M_{X}$ También se denomina función generadora de probabilidad (FGP) de X y $M_{X}(t)$ está bien definido al menos para todo t en el disco de la unidad cerrada $|t|\leq 1$ .

La función generadora de momentos factoriales genera los momentos factoriales de la distribución de probabilidad . Siempre que $M_{X}$ existe en un entorno de t = 1, el n- ésimo momento factorial viene dado por ^{[ 1 ]}

\operatorname {E} [(X)_{n}]=M_{X}^{(n)}(1)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=1}M_{X}(t),

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\,

(Muchos matemáticos, especialmente en el campo de las funciones especiales , utilizan la misma notación para representar el factorial creciente ).

Ejemplos

Supongamos que X tiene una distribución de Poisson con valor esperado λ, entonces su función generadora de momentos factoriales es

M_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }t^{k}\underbrace {\operatorname {P} (X=k)} _{=\,\lambda ^{k}e^{-\lambda }/k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(t\lambda )^{k}}{k!}}=e^{\lambda (t-1)},\qquad t\in \mathbb {C} ,

(utilizando la definición de la función exponencial ) y por lo tanto tenemos

\operatorname {E} [(X)_{n}]=\lambda ^{n}.

^ Néri, Breno de Andrade Pinheiro (23 de mayo de 2005). «Funciones Generadoras» (PDF) . nyu.edu . Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2012.