convolución libre

La convolución libre es el análogo de probabilidad libre de la noción clásica de convolución de medidas de probabilidad . Debido a la naturaleza no conmutativa de la teoría de la probabilidad libre, es necesario hablar por separado de la convolución libre aditiva y multiplicativa, que surgen de la suma y la multiplicación de variables aleatorias libres (véase más adelante; en el caso clásico, lo que sería el análogo de la convolución multiplicativa libre puede reducirse a la convolución aditiva pasando a los logaritmos de las variables aleatorias). Estas operaciones tienen algunas interpretaciones en términos de medidas espectrales empíricas de matrices aleatorias . ^{[ 1 ]}

La noción de convolución libre fue introducida por Dan-Virgil Voiculescu . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Dejar${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$Sean dos medidas de probabilidad en la recta real, y supongamos que${\displaystyle X}$es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativo con ley${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle Y}$es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativo con ley${\displaystyle \nu }$. Supongamos finalmente que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son libremente independientes . Entonces la convolución aditiva libre${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$es la ley de${\displaystyle X+Y}$. Interpretación de matrices aleatorias : si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son algunos independientes${\displaystyle n}$por${\displaystyle n}$Matrices aleatorias hermíticas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tales que las medidas espectrales empíricas de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$tienden respectivamente a${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$como${\displaystyle n}$tiende a infinito, entonces la medida espectral empírica de${\displaystyle A+B}$tiende a${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$. ^{[ 4 ]}

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad.${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$explícitamente mediante el uso de técnicas analíticas complejas y la transformada R de las medidas${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$.

Existe una relación funcional precisa entre la convolución libre y la convolución clásica de medidas de probabilidad con soporte compacto: la esperanza de${\displaystyle f}$sobre la convolución libre${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$ es como máximo la expectativa de${\displaystyle f}$sobre la convolución clásica, siempre que la cuarta derivada de${\displaystyle f}$es no negativo. La no negatividad de la cuarta derivada es también una condición necesaria para que la comparación sea válida para todos los sistemas con soporte compacto.${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$. ^{[ 5 ]}

La convolución aditiva libre rectangular (con relación${\displaystyle c}$)${\displaystyle \boxplus _{c}}$También ha sido definida en el marco de probabilidad no conmutativa por Benaych-Georges ^{[ 6 ]} y admite la siguiente interpretación de matrices aleatorias . Para${\displaystyle c\in [0,1]}$, para ${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son algunos independientes${\displaystyle n}$por${\displaystyle p}$matrices aleatorias complejas (resp. reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo la multiplicación por la izquierda y por la derecha por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tales que la distribución empírica de valores singulares de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$tienden respectivamente a${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$como${\displaystyle n}$y${\displaystyle p}$tienden al infinito de tal manera que${\displaystyle n/p}$tiende a${\displaystyle c}$, entonces la distribución de valores singulares empíricos de${\displaystyle A+B}$tiende a${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$. ^{[ 7 ]}

En muchos casos, es posible calcular la medida de probabilidad.${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$explícitamente mediante el uso de técnicas analíticas complejas y la transformada rectangular R con razón${\displaystyle c}$de las medidas${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$.

Dejar${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$sean dos medidas de probabilidad en el intervalo${\displaystyle [0,+\infty )}$y suponemos que${\displaystyle X}$es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad no conmutativo con ley${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle Y}$es una variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad no conmutativo con ley${\displaystyle \nu }$. Supongamos finalmente que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son libremente independientes . Entonces la convolución multiplicativa libre${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$es la ley de${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$(o, equivalentemente, la ley de${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$. Interpretación de matrices aleatorias : si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son algunos independientes${\displaystyle n}$por${\displaystyle n}$Matrices aleatorias hermíticas no negativas (resp. simétricas reales) tales que al menos una de ellas es invariante, en ley, bajo conjugación por cualquier matriz unitaria (resp. ortogonal) y tales que las medidas espectrales empíricas de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$tienden respectivamente a${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$como${\displaystyle n}$tiende a infinito, entonces la medida espectral empírica de${\displaystyle AB}$tiende a${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$. ^{[ 8 ]}

Se puede hacer una definición similar en el caso de las leyes.${\displaystyle \mu ,\nu }$apoyado en el círculo unitario${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$, con una interpretación de matrices aleatorias ortogonales o unitarias .

Los cálculos explícitos de convolución libre multiplicativa pueden llevarse a cabo utilizando técnicas analíticas complejas y la transformada S.

• La convolución libre puede utilizarse para dar una demostración del teorema del límite central libre .
• La convolución libre puede utilizarse para calcular las leyes y los espectros de sumas o productos de variables aleatorias libres. Algunos ejemplos son: operadores de paseo aleatorio en grupos libres (medidas de Kesten) y la distribución asintótica de los valores propios de sumas o productos de matrices aleatorias independientes .

Gracias a sus aplicaciones a matrices aleatorias, la convolución libre tiene fuertes conexiones con otros trabajos sobre la estimación G de Girko.

Las aplicaciones en comunicaciones inalámbricas , finanzas y biología han proporcionado un marco útil cuando el número de observaciones es del mismo orden que las dimensiones del sistema.

• Circunvolución
• Probabilidad libre
• Matriz aleatoria

• "Desconvolución gratuita para aplicaciones de procesamiento de señales", O. Ryan y M. Debbah, ISIT 2007, págs.  1846–1850
• James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias . Fields Institute Monographs, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.
• D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Probabilidad libre y álgebras de operadores , Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016

• Silla Alcatel Lucent en radio flexible
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• Artículos de revisión de Roland Speicher sobre probabilidad libre.