Matriz aleatoria

En física nuclear , Eugene Wigner introdujo matrices aleatorias para modelar los núcleos de átomos pesados. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Wigner postuló que los espaciamientos entre las líneas en el espectro de un núcleo de átomo pesado deberían asemejarse a los espaciamientos entre los valores propios de una matriz aleatoria, y deberían depender solo de la clase de simetría de la evolución subyacente. ^{[ 5 ]} En física del estado sólido , las matrices aleatorias modelan el comportamiento de hamiltonianos desordenados grandes en la aproximación de campo medio .

En el caos cuántico , la conjetura de Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS) afirma que las estadísticas espectrales de los sistemas cuánticos cuyas contrapartes clásicas exhiben un comportamiento caótico se describen mediante la teoría de matrices aleatorias. ^{[ 3 ]}

En óptica cuántica , las transformaciones descritas por matrices unitarias aleatorias son cruciales para demostrar la ventaja de la computación cuántica sobre la clásica (véase, por ejemplo, el modelo de muestreo de bosones ). ^{[ 6 ]} Además, dichas transformaciones unitarias aleatorias pueden implementarse directamente en un circuito óptico, asignando sus parámetros a componentes del circuito óptico (es decir, divisores de haz y desfasadores). ^{[ 7 ]}

En estadística multivariante , John Wishart introdujo las matrices aleatorias , buscando estimar matrices de covarianza de muestras grandes. ^{[ 8 ]} Las desigualdades de tipo Chernoff , Bernstein y Hoeffding pueden reforzarse típicamente cuando se aplican al valor propio máximo (es decir, el valor propio de mayor magnitud) de una suma finita de matrices hermíticas aleatorias . ^{[ 9 ]} La teoría de matrices aleatorias se utiliza para estudiar las propiedades espectrales de matrices aleatorias, como las matrices de covarianza muestrales, lo cual es de particular interés en estadística de alta dimensión . La teoría de matrices aleatorias también tuvo aplicaciones en redes neuronales ^{[ 10 ]} y aprendizaje profundo , con trabajos recientes que utilizan matrices aleatorias para demostrar que los ajustes de hiperparámetros pueden transferirse de manera económica entre grandes redes neuronales sin necesidad de reentrenamiento. ^{[ 11 ]}

En análisis numérico , las matrices aleatorias se han utilizado desde el trabajo de John von Neumann y Herman Goldstine ^{[ 12 ]} para describir errores de cálculo en operaciones como la multiplicación de matrices . Aunque las entradas aleatorias son entradas "genéricas" tradicionales para un algoritmo, la concentración de la medida asociada con las distribuciones de matrices aleatorias implica que las matrices aleatorias no probarán grandes porciones del espacio de entrada de un algoritmo. ^{[ 13 ]}

En teoría de números , la distribución de ceros de la función zeta de Riemann (y otras funciones L ) se modela mediante la distribución de autovalores de ciertas matrices aleatorias. ^{[ 14 ]} Esta conexión fue descubierta por primera vez por Hugh Montgomery y Freeman Dyson . Está relacionada con la conjetura de Hilbert-Pólya .

La relación de la probabilidad libre con las matrices aleatorias ^{[ 15 ]} es una razón clave para el amplio uso de la probabilidad libre en otros campos. Voiculescu introdujo el concepto de libertad alrededor de 1983 en un contexto de álgebra de operadores; al principio no existía ninguna relación con las matrices aleatorias. Esta conexión fue revelada posteriormente en 1991 por Voiculescu ^{[ 16 ]} ; su motivación radicaba en que la distribución límite que halló en su teorema del límite central libre había aparecido previamente en la ley del semicírculo de Wigner en el contexto de las matrices aleatorias.

En el campo de la neurociencia computacional, las matrices aleatorias se utilizan cada vez más para modelar la red de conexiones sinápticas entre neuronas en el cerebro. Se ha demostrado que los modelos dinámicos de redes neuronales con matriz de conectividad aleatoria exhiben una transición de fase al caos ^{[ 17 ]} cuando la varianza de los pesos sinápticos cruza un valor crítico, en el límite de un tamaño de sistema infinito. Los resultados sobre matrices aleatorias también han demostrado que la dinámica de los modelos de matriz aleatoria es insensible a la fuerza de conexión media. En cambio, la estabilidad de las fluctuaciones depende de la variación de la fuerza de conexión ^{[ 18 ] [ 19 ]} y el tiempo de sincronización depende de la topología de la red. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

En el análisis de grandes volúmenes de datos, como los de fMRI , se ha aplicado la teoría de matrices aleatorias para realizar la reducción de dimensionalidad. Al aplicar un algoritmo como PCA , es importante poder seleccionar el número de componentes significativos. Los criterios para seleccionar componentes pueden ser múltiples (basados ​​en la varianza explicada, el método de Kaiser, el valor propio, etc.). La teoría de matrices aleatorias en este contexto tiene como representante la distribución de Marchenko-Pastur , que garantiza los límites teóricos superior e inferior de los valores propios asociados a una matriz de covarianza de variable aleatoria. Esta matriz, calculada de esta manera, se convierte en la hipótesis nula que permite encontrar los valores propios (y sus vectores propios) que se desvían del rango aleatorio teórico. Los componentes así excluidos conforman el espacio de dimensión reducida (véanse ejemplos en fMRI ^{[ 22 ] [ 23 ]} ).

En la teoría de control óptimo , la evolución de n variables de estado a lo largo del tiempo depende en cada momento de sus propios valores y de los valores de k variables de control. Con evolución lineal, aparecen matrices de coeficientes en la ecuación de estado (ecuación de evolución). En algunos problemas, los valores de los parámetros en estas matrices no se conocen con certeza, en cuyo caso hay matrices aleatorias en la ecuación de estado y el problema se conoce como uno de control estocástico . ^{[ 24 ] : cap. 13 [ 25 ]} Un resultado clave en el caso del control lineal-cuadrático con matrices estocásticas es que el principio de equivalencia de certeza no se aplica: mientras que en ausencia de incertidumbre del multiplicador (es decir, con solo incertidumbre aditiva) la política óptima con una función de pérdida cuadrática coincide con lo que se decidiría si se ignorara la incertidumbre, la política óptima puede diferir si la ecuación de estado contiene coeficientes aleatorios.

En mecánica computacional , las incertidumbres epistémicas subyacentes a la falta de conocimiento sobre la física del sistema modelado dan lugar a operadores matemáticos asociados al modelo computacional, que son deficientes en cierto sentido. Dichos operadores carecen de ciertas propiedades vinculadas a la física no modelada. Cuando estos operadores se discretizan para realizar simulaciones computacionales, su precisión se ve limitada por la física faltante. Para compensar esta deficiencia del operador matemático, no basta con hacer que los parámetros del modelo sean aleatorios, sino que es necesario considerar un operador matemático que sea aleatorio y que pueda generar familias de modelos computacionales con la esperanza de que alguno de ellos capture la física faltante. Las matrices aleatorias se han utilizado en este sentido, ^{[ 26 ]} con aplicaciones en vibroacústica, propagación de ondas, ciencia de materiales, mecánica de fluidos, transferencia de calor, etc.

La teoría de matrices aleatorias se puede aplicar a los esfuerzos de investigación en ingeniería eléctrica y de comunicaciones para estudiar, modelar y desarrollar sistemas de radio de entrada múltiple y salida múltiple ( MIMO ) masivos.

Las distribuciones de matrices aleatorias más estudiadas son los conjuntos gaussianos: GOE, GUE y GSE. Suelen denotarse por su índice de Dyson : β  =  1 para GOE, β  =  2 para GUE y β  =  4 para GSE. Este índice indica el número de componentes reales por elemento de la matriz.

Distribución espectral

La densidad de probabilidad conjunta para los valores propios λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n de GUE/GOE/GSE viene dada por

donde Z _{β , n} es una constante de normalización que puede calcularse explícitamente, véase la integral de Selberg . En el caso de GUE ( β  =  2), la fórmula (1) describe un proceso puntual determinante . Los autovalores se repelen ya que la densidad de probabilidad conjunta tiene un cero (de${\displaystyle \beta }$orden n) para autovalores coincidentes${\displaystyle \lambda _{j}=\lambda _{i}}$, y${\displaystyle Z_{2,n}=(2\pi )^{n/2}\prod _{k=1}^{n}k!}$.

De forma más concisa,$${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\beta ,n}}}e^{-{\frac {\beta }{4}}\|\lambda \|_{2}^{2}}|\Delta _{n}(\lambda )|^{\beta }}$$dónde${\displaystyle \Delta _{n}}$es el determinante de Vandermonde .

La distribución del mayor valor propio para GOE y GUE se puede resolver explícitamente. ^{[ 27 ]} Convergen a la distribución de Tracy-Widom después de un desplazamiento y escalado apropiados.

El espectro, dividido por${\displaystyle {\sqrt {N\sigma ^{2}}}}$converge en distribución a la distribución semicircular en el intervalo${\displaystyle [-2,+2]}$:${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}}$. Aquí${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza de los elementos fuera de la diagonal. La varianza de los elementos sobre la diagonal no importa.

Las matrices de Wishart son matrices aleatorias de n  × n de la forma H = X X ^* , donde X es una matriz aleatoria de n × m ( m ≥ n ) con entradas independientes, y X ^* es su transpuesta conjugada . En el caso especial importante considerado por Wishart, las entradas de X son variables aleatorias gaussianas idénticamente distribuidas (ya sean reales o complejas).     

El límite de la medida espectral empírica de las matrices de Wishart fue hallado ^{[ 28 ]} por Vladimir Marchenko y Leonid Pastur .

Las matrices de banda aleatoria son matrices aleatorias con la propiedad de que todas las entradas fuera de una banda determinada son cero. ^{[ 29 ]} Se pueden usar para modelar de forma aproximada sistemas de partículas interactuantes dispuestas aproximadamente en una cuadrícula, de modo que cada partícula solo puede interactuar con sus vecinas, lo que supone una mejora respecto al modelo de campo medio. ^{[ 29 ]}

En una dimensión, esto significa que${\textstyle H_{ij}=0}$si${\textstyle |i-j|>W}$donde W es el ancho de banda. Físicamente, esto significa que la cantidad por la cual las partículas i y j interactúan es 0 si su separación es mayor que W. En más de una dimensión, i y j ya no son enteros sino vectores n d con componentes enteras, y${\textstyle H_{ij}=0}$si${\displaystyle |i-j|_{L^{1}}}$, dónde${\displaystyle |\cdot |_{L^{1}}}$indica la distancia en taxi entre las dos ubicaciones.${\textstyle H_{ij}=H_{ji}}$para todos los valores i,j y distintos de cero de${\textstyle H_{ij}}$tienen variaciones${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}}$del mismo orden de magnitud, normalizado de tal manera que${\textstyle \sum _{j}\sigma _{ij}^{2}=1}$para cada valor de j. ^{[ 29 ]}

La medida espectral empírica${\displaystyle \mu _{H}}$de${\displaystyle H}$se define por$${\displaystyle \mu _{H}(A)={\frac {1}{n}}\,\#\left\{{\text{eigenvalues of }}H{\text{ in }}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R} .}$$ o más sucintamente, si${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$son los valores propios de${\displaystyle H}$$${\displaystyle \mu _{H}(d\lambda )={\frac {1}{n}}\sum _{i}\delta _{\lambda _{i}}(d\lambda ).}$$

Por lo general, el límite de${\displaystyle \mu _{H}}$es una medida determinista; este es un caso particular de auto-promediación . La función de distribución acumulativa de la medida límite se llama densidad integrada de estados y se denota N ( λ ). Si la densidad integrada de estados es diferenciable, su derivada se llama densidad de estados y se denota ρ ( λ ). 

Dado un conjunto de matrices, decimos que sus medidas espectrales convergen débilmente a${\displaystyle \rho }$si y solo si para cualquier conjunto medible${\displaystyle A}$, el promedio del conjunto converge:$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {E} _{H}[\mu _{H}(A)]=\rho (A)}$$Convergencia débilmente casi segura : Si tomamos muestras${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$independientemente del conjunto, entonces con probabilidad 1,$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$$para cualquier conjunto medible${\displaystyle A}$.

En otro sentido , la convergencia débil casi segura significa que tomamos muestras.${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3},\dots }$, no de forma independiente, sino mediante un "crecimiento" (un proceso estocástico ), entonces con probabilidad 1,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{H_{n}}(A)=\rho (A)}$para cualquier conjunto medible${\displaystyle A}$.

Por ejemplo, podemos "generar" una secuencia de matrices a partir del conjunto gaussiano de la siguiente manera:

• Muestre una secuencia infinita doblemente infinita de variables aleatorias estándar.${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,3,\dots }}$.
• Defina cada uno${\displaystyle H_{n}=(G_{n}+G_{n}^{T})/{\sqrt {2n}}}$dónde${\displaystyle G_{n}}$es la matriz compuesta por entradas${\displaystyle \{G_{i,j}\}_{i,j=1,2,\dots ,n}}$.

Cabe señalar que los conjuntos de matrices genéricas no nos permiten crecer, pero la mayoría de los conjuntos comunes, como los tres conjuntos gaussianos, sí nos permiten crecer.

En el régimen global , uno está interesado en la distribución de estadísticas lineales de la forma${\displaystyle N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)}$.

Eugene Wigner describió el límite de la medida espectral empírica para matrices de Wigner ; véase la distribución semicircular de Wigner y la conjetura de Wigner . En lo que respecta a las matrices de covarianza muestrales, Marčenko y Pastur desarrollaron una teoría . ^{[ 28 ] [ 31 ]}

El límite de la medida espectral empírica de conjuntos de matrices invariantes se describe mediante una cierta ecuación integral que surge de la teoría del potencial . ^{[ 32 ]}

^{[ 36 ] [ 37 ]} El enunciado típico de la ley semicircular de Wigner es equivalente al siguiente enunciado: Para cadaintervalofijo${\displaystyle [\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}$centrado en un punto${\displaystyle \lambda _{0}}$, como${\displaystyle N}$, el número de dimensiones del conjunto gaussiano aumenta, la proporción de los valores propios que caen dentro del intervalo converge a${\displaystyle \int _{[\lambda _{0}-\Delta \lambda ,\lambda _{0}+\Delta \lambda ]}\rho (t)dt}$, dónde${\displaystyle \rho (t)}$es la densidad de la distribución semicircular.

Si${\displaystyle \Delta \lambda }$se puede permitir que disminuya a medida que${\displaystyle N}$A medida que aumenta, obtenemos teoremas estrictamente más fuertes, denominados "leyes locales" o "régimen mesoscópico".

El régimen mesoscópico es intermedio entre el local y el global. En el régimen mesoscópico , uno está interesado en la distribución límite de los valores propios en un conjunto que se contrae a cero, pero lo suficientemente lento, de modo que el número de valores propios dentro${\displaystyle \to \infty }$.

Por ejemplo, el conjunto de Ginibre tiene una ley mesoscópica: Para cualquier secuencia de discos que se contraen con áreas${\displaystyle u}$dentro del disco unitario, si los discos tienen área${\displaystyle A_{n}=O(n^{-1+\epsilon })}$La distribución condicional del espectro dentro de los discos también converge a una distribución uniforme. Es decir, si recortamos los discos que se contraen junto con el espectro que cae dentro de ellos, y luego ampliamos los discos a un área unitaria, veríamos que los espectros convergen a una distribución plana en los discos. ^{[ 37 ]}

En el régimen local , uno está interesado en la distribución límite de los valores propios en un conjunto que se contrae tan rápido que el número de valores propios permanece${\displaystyle O(1)}$.

Normalmente, esto implica el estudio de las distancias entre los autovalores y, más generalmente, de la distribución conjunta de los autovalores en un intervalo de longitud del orden de 1/ n . Se distingue entre la estadística global , que se refiere a los intervalos dentro del soporte de la medida espectral límite, y la estadística de borde , que se refiere a los intervalos cercanos al límite del soporte.

El fenómeno de rigidez espectral establece que los autovalores de la mayoría de los conjuntos de matrices de uso común tienden a distribuirse de forma más uniforme que si se muestrearan de forma independiente y aleatoria. Es decir, se agrupan menos que en un proceso puntual de Poisson puro . También se denomina rigidez de autovalores o repulsión de niveles .

De forma más cuantitativa, supongamos que un conjunto de matrices tiene una medida de densidad espectral límite.${\displaystyle \mu }$. Arreglar algún subconjunto${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle 0<\mu (S)<1}$. Esta es la proporción de valores propios que se encuentra dentro de${\displaystyle S}$en el límite de grande${\displaystyle N}$, por lo que el número esperado de valores propios que caen dentro${\displaystyle S}$es${\displaystyle N\mu (S)}$Ahora bien, un proceso de puntos de Poisson puro habría significado que el número real de${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}})}$, desde${\displaystyle {\sqrt {N\mu (S)(1-\mu (S))}}}$es la desviación estándar del número de puntos que caen dentro${\displaystyle S}$cuando los puntos son completamente independientes entre sí. Por el contrario, si los puntos son completamente rígidos, entonces el número real sería igual a${\displaystyle N\mu (S)}$sin fluctuación. Ahora bien, resulta que en muchos conjuntos de matrices, el número de puntos que caen dentro${\displaystyle S}$es${\displaystyle N\mu (S)+O({\sqrt {\ln N}})}$, es decir, no completamente rígido, pero muy cercano a ello. ^{[ 43 ] [ 44 ]} Se ha observado numéricamente rigidez espectral en los ceros de la función zeta de Riemann . ^{[ 45 ]}

La densidad de probabilidad conjunta de los valores propios de${\displaystyle n\times n}$matrices hermíticas aleatorias${\displaystyle M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}$, con funciones de partición de la forma $${\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in \mathbf {H} ^{n\times n}}d\mu _{0}(M)e^{{\text{tr}}(V(M))}}$$ dónde $${\displaystyle V(x):=\sum _{j=1}^{\infty }v_{j}x^{j}}$$ y${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$es la medida estándar de Lebesgue en el espacio${\displaystyle \mathbf {H} ^{n\times n}}$de Hermitiano${\displaystyle n\times n}$matrices, se da por $${\displaystyle p_{n,V}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{Z_{n,V}}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}e^{-\sum _{i}V(x_{i})}.}$$ El${\displaystyle k}$Las funciones de correlación de -puntos (o distribuciones marginales ) se definen como $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\cdots \int _{\mathbb {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$$ que son funciones antisimétricas de sus variables. En particular, la función de correlación de un punto, o densidad de estados , es $${\displaystyle R_{n,V}^{(1)}(x_{1})=n\int _{\mathbb {R} }dx_{2}\cdots \int _{\mathbf {R} }dx_{n}\,p_{n,V}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$$ Su integral sobre un conjunto de Borel${\displaystyle B\subset \mathbf {R} }$da el número esperado de valores propios contenidos en${\displaystyle B}$: $${\displaystyle \int _{B}R_{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{{\text{eigenvalues in }}B\}\right).}$$

El siguiente resultado expresa estas funciones de correlación como determinantes de las matrices formadas al evaluar el núcleo integral apropiado en los pares.${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$de puntos que aparecen dentro del correlador.

Teorema [Dyson-Mehta] Para cualquier ${\displaystyle k}$,${\displaystyle 1\leq k\leq n}$el${\displaystyle k}$función de correlación de puntos${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}}$puede escribirse como un determinante $${\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})=\det _{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j})\right),}$$ dónde${\displaystyle K_{n,V}(x,y)}$es el${\displaystyle n}$El núcleo de Christoffel-Darboux $${\displaystyle K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),}$$ asociado a${\displaystyle V}$, escrito en términos de los cuasipolinomios $${\displaystyle \psi _{k}(x)={1 \over {\sqrt {h_{k}}}}\,p_{k}(z)\,e^{-V(z)/2},}$$ dónde${\displaystyle \{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }}$es una secuencia completa de polinomios mónicos, de los grados indicados, que satisfacen las condiciones de ortogonalidad. $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)dx=\delta _{jk}.}$$

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