Proceso de puntos determinantes

En matemáticas , un proceso puntual determinante es un proceso puntual estocástico , cuya distribución de probabilidad se caracteriza como determinante de alguna función. Dichos procesos surgen como herramientas importantes en la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , la física , ^[1] el aprendizaje automático , ^[2] y el modelado de redes inalámbricas. ^{[3] [4] [5]}

Sea un espacio polaco localmente compacto y una medida de Radon en . Además, considere una función medible . ${\estilo de visualización \Lambda}$ ${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización \Lambda}$ ${\displaystyle K:\Lambda ^{2}\to \mathbb {C} }$

Decimos que es un proceso puntual determinante con núcleo si es un proceso puntual simple con una intensidad conjunta o función de correlación (que es la densidad de su medida de momento factorial ) dada por ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \Lambda}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización \Lambda}$

${\displaystyle \rho_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\det[K(x_{i},x_{j})]_{1\leq i,j\leq n}}$

para cada n ≥ 1 y x ₁ , ..., x _n ∈ Λ. ^[6]

Las dos condiciones siguientes son necesarias y suficientes para la existencia de un proceso puntual aleatorio determinante con intensidades ρ _k .

• Simetría: ρ _k es invariante bajo la acción del grupo simétrico S _k . Por lo tanto:$${\displaystyle \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\quad \forall \sigma \in S_{k},k}$$
• Positividad: Para cualquier N , y cualquier colección de funciones mensurables y acotadas , k = 1, ..., N con soporte compacto :${\displaystyle \varphi _{k}:\Lambda ^{k}\to \mathbb {R} }$
  Si Entonces ^[7]$${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0{\text{ para todo }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$ $${\displaystyle \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\int _{\Lambda ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0{\text{ para todo }}k,(x_{i})_{i=1}^{k}}$$

Una condición suficiente para la unicidad de un proceso aleatorio determinante con intensidades conjuntas ρ _k es para cada Borel acotado A ⊆ Λ. ^[7]$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=\infty }$$

Los valores propios de una matriz hermítica aleatoria m  ×  m extraída del conjunto unitario gaussiano (GUE) forman un proceso puntual determinante con núcleo ${\displaystyle \mathbb {R}}$

${\displaystyle K_{m}(x,y)=\sum _{k=0}^{m-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y)}$

¿Dónde está la función de onda del oscilador definida por? ${\displaystyle \psi_{k}(x)}$${\estilo de visualización k}$

$${\displaystyle \psi_{k}(x)={\frac {1}{\sqrt {{\sqrt {2n}}n!}}}H_{k}(x)e^{-x^{2}/4}}$$

y es el polinomio de Hermite . ^[8]$Estilo de visualización H_{k}(x)}$${\estilo de visualización k}$

La medida de Plancherel poissonizada en la partición entera (y por lo tanto en los diagramas de Young ) desempeña un papel importante en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. El proceso puntual correspondiente a un diagrama de Young aleatorio, expresado en coordenadas de Frobenius modificadas, es un proceso puntual determinante en + 1 ⁄ 2 con el núcleo de Bessel discreto, dado por: ${\displaystyle \mathbb {Z}}$

$${\displaystyle K(x,y)={\begin{casos}{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{+}(|x|,|y|)}{|x|-| y|}}&{\text{if }}xy>0,\\[12pt]{\sqrt {\theta }}\,{\dfrac {k_{-}(|x|,|y|)}{ xy}}&{\text{if }}xy<0,\end{cases}}}$$ donde para J la función de Bessel de primer tipo, y θ la media utilizada en la poissonización. ^[9]$${\displaystyle k_{+}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})-J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }}),}$$ $${\displaystyle k_{-}(x,y)=J_{x-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y-{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})+J_{x+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})J_{y+{\frac {1}{2}}}(2{\sqrt {\theta }})}$$

Esto sirve como ejemplo de un proceso puntual determinante bien definido con núcleo no hermítico (aunque su restricción al semieje positivo y negativo es hermítico). ^[7]

Sea G un grafo finito, no dirigido y conexo , con un conjunto de aristas E. Defina I ^e : E  →  ℓ ² (E) de la siguiente manera: primero elija un conjunto arbitrario de orientaciones para las aristas E, y para cada arista resultante orientada e , defina I ^e como la proyección de un flujo unitario a lo largo de e sobre el subespacio de ℓ ² (E) abarcado por flujos en estrella. ^{[10] Entonces, el} árbol de expansión uniformemente aleatorio de G es un proceso puntual determinante en E , con núcleo

${\displaystyle K(e,f)=\langle I^{e},I^{f}\rangle ,\quad e,f\in E}$. ^[6]