Función de correlación (mecánica estadística)

{\displaystyle T_{\text{Curie}}} — Funciones de correlación de espín esquemáticas de tiempo igual para materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos tanto por encima como por debajo de $T_{\text{Curie}}$ frente a la distancia normalizada por la longitud de correlación, $\xi$ En todos los casos, las correlaciones son más fuertes cerca del origen, lo que indica que un espín tiene la mayor influencia sobre sus vecinos más cercanos. Todas las correlaciones decaen gradualmente a medida que aumenta la distancia al espín en el origen. Por encima de la temperatura de Curie, la correlación entre espines tiende a cero a medida que la distancia entre ellos se vuelve muy grande. Por el contrario, por debajo de la temperatura de Curie, la correlación entre espines tiende a cero a medida que la distancia entre ellos se vuelve muy grande. En contraste, por debajo de la temperatura de Curie, la correlación entre espines tiende a cero a medida que la distancia entre ellos se vuelve muy grande. Por el contrario, por debajo de la temperatura de Curie, la correlación entre espines tiende a cero a medida que la distancia entre ellos se vuelve muy grande. $T_{\text{Curie}}$ La correlación entre los espines no tiende a cero a grandes distancias, sino que decae hasta un nivel consistente con el orden de largo alcance del sistema. La diferencia en estos comportamientos de decaimiento, donde las correlaciones entre variables aleatorias microscópicas se vuelven cero o distintas de cero a grandes distancias, es una forma de definir el orden de corto y largo alcance.

En mecánica estadística , la función de correlación es una medida del orden en un sistema, caracterizado por una función de correlación matemática . Las funciones de correlación describen cómo se relacionan las variables microscópicas, como el espín y la densidad, en diferentes posiciones o momentos. Más específicamente, las funciones de correlación miden cuantitativamente hasta qué punto las variables microscópicas fluctúan conjuntamente, en promedio, en el espacio y/o el tiempo. Es importante tener en cuenta que la correlación no implica automáticamente causalidad. Por lo tanto, incluso si existe una correlación distinta de cero entre dos puntos en el espacio o el tiempo, no significa que exista un vínculo causal directo entre ellos. A veces, puede existir una correlación sin ninguna relación causal. Esto podría ser pura coincidencia o deberse a otros factores subyacentes, conocidos como variables de confusión , que provocan que ambos puntos covarien (estadísticamente).

Un ejemplo clásico de correlación espacial se observa en los materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos. En estos materiales, los espines atómicos tienden a alinearse en configuraciones paralelas y antiparalelas con sus contrapartes adyacentes, respectivamente. La figura de la derecha representa visualmente esta correlación espacial entre los espines en dichos materiales.

Definiciones

La definición más común de una función de correlación es el promedio canónico de conjunto (térmico) del producto escalar de dos variables aleatorias, $s_{1}$ y $s_{2}$ , en posiciones $R$ y $R+r$ y tiempos $t$ y $t+\tau$ : $C(r,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle \,.$

Aquí los corchetes, $\langle \cdot \rangle$ , indican el promedio térmico mencionado anteriormente. Sin embargo, es importante señalar aquí que, si bien los corchetes se denominan promedio, se calculan como un valor esperado , no como un valor promedio. Es una cuestión de convención si se resta el producto promedio no correlacionado de $s_{1}$ y $s_{2}$ , $\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle$ del producto correlacionado, $\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t+\tau )\rangle$ , con la convención que difiere entre campos. Los usos más comunes de las funciones de correlación son cuando $s_{1}$ y $s_{2}$ describen la misma variable, como una función de correlación espín-espín o una función de correlación posición-posición de partículas en un líquido elemental o un sólido (a menudo llamada función de distribución radial o función de correlación de pares). Las funciones de correlación entre la misma variable aleatoria son funciones de autocorrelación . Sin embargo, en mecánica estadística, no todas las funciones de correlación son funciones de autocorrelación. Por ejemplo, en fases condensadas multicomponentes, la función de correlación de pares entre diferentes elementos suele ser de interés. Estas funciones de correlación de pares de elementos mixtos son un ejemplo de funciones de correlación cruzada , ya que las variables aleatorias $s_{1}$ y $s_{2}$ representan las variaciones promedio de densidad en función de la posición para dos elementos distintos.

Funciones de correlación (espacial) de equilibrio a tiempo igual

A menudo, uno está interesado únicamente en la influencia espacial de una variable aleatoria dada, digamos la dirección de un giro, sobre su entorno local, sin considerar tiempos posteriores, $\tau$ . En este caso, despreciamos la evolución temporal del sistema, por lo que la definición anterior se reescribe con $\tau =0$ . Esto define la función de correlación de tiempo igual , $C(r,0)$ Se escribe así: $C(r,0)=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R+r,t)\rangle \,.$

A menudo se omite el tiempo de referencia, $t$ y radio de referencia, $R$ , asumiendo el equilibrio (y por lo tanto la invariancia temporal del conjunto) y promediando sobre todas las posiciones de la muestra, se obtiene: $C(r)=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (r)\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (r)\rangle$ donde, nuevamente, la decisión de restar o no las variables no correlacionadas difiere entre los distintos campos. La función de distribución radial es un ejemplo de función de correlación de tiempo igual, donde generalmente no se resta la referencia no correlacionada. En esta página se muestran otras funciones de correlación espín-espín de tiempo igual para diversos materiales y condiciones.

Funciones de correlación de equilibrio de igual posición (temporal)

También podría interesarle la evolución temporal de las variables microscópicas. En otras palabras, cómo cambia el valor de una variable microscópica en una posición y un momento determinados. $R$ y $t$ , influye en el valor de la misma variable microscópica en un momento posterior, $t+\tau$ (y generalmente en la misma posición). Estas correlaciones temporales se cuantifican mediante funciones de correlación de posición igual , $C(0,\tau )$ Se definen de forma análoga a las funciones de correlación de tiempo igual anteriores, pero ahora despreciamos las dependencias espaciales estableciendo $r=0$ , lo que produce: $C(0,\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\cdot \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (R,t)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (R,t+\tau )\rangle \,.$

Suponiendo el equilibrio (y por lo tanto la invariancia temporal del conjunto) y promediando sobre todos los sitios de la muestra, se obtiene una expresión más simple para la función de correlación de posición igual que para la función de correlación de tiempo igual: $C(\tau )=\langle \mathbf {s_{1}} (0)\cdot \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \ -\langle \mathbf {s_{1}} (0)\rangle \langle \mathbf {s_{2}} (\tau )\rangle \,.$

La suposición anterior puede parecer poco intuitiva al principio: ¿cómo puede un conjunto invariante en el tiempo tener una función de correlación temporal no uniforme? Las correlaciones temporales siguen siendo relevantes en los sistemas en equilibrio porque un conjunto macroscópico invariante en el tiempo puede presentar dinámicas temporales no triviales a nivel microscópico . Un ejemplo es la difusión. Un sistema monofásico en equilibrio tiene una composición homogénea a nivel macroscópico. Sin embargo, si se observa el movimiento microscópico de cada átomo, se producen fluctuaciones constantes en la composición debido a los movimientos cuasialeatorios que realizan los átomos individuales. La mecánica estadística permite realizar afirmaciones esclarecedoras sobre el comportamiento temporal de dichas fluctuaciones en los sistemas en equilibrio. Esto se analiza más adelante en la sección sobre la evolución temporal de las funciones de correlación y la hipótesis de regresión de Onsager .

función de correlación temporal

La función de correlación temporal juega un papel significativo en la mecánica estadística de no equilibrio, al igual que la función de partición en la mecánica estadística de equilibrio. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, los coeficientes de transporte ^{[ 2 ]} están estrechamente relacionados con las funciones de correlación temporal a través de la transformada de Fourier ; y las relaciones de Green-Kubo , ^{[ 3 ]} utilizadas para calcular los procesos de relajación y disipación en un sistema, se expresan en términos de funciones de correlación temporal de equilibrio. La función de correlación temporal de dos observables $A$ y $B$ se define como, ^{[ 4 ]} $C_{AB}(t_{1},t_{2})=\langle A(t_{1})B(t_{2})\rangle$ y esta definición se aplica tanto a la versión clásica como a la cuántica. Para un sistema estacionario (de equilibrio), el origen del tiempo es irrelevante, y $C_{AB}(\tau )=C_{AB}(t_{1},t_{2})$ , con $\tau =t_{2}-t_{1}$ como la diferencia horaria.

La expresión explícita de la función de correlación temporal clásica es: $C_{AB}(t)=\int d^{N}\mathbf {r} d^{N}\mathbf {p} f(\mathbf {r} _{0},\mathbf {p} _{0})A(\mathbf {r} _{0},\mathbf {p} _{0})B(\mathbf {r} _{t},\mathbf {p} _{t})$ dónde $A(\mathbf {r} _{0},\mathbf {p} _{0})$ es el valor de $A$ en ese momento $t=0$ , $B(\mathbf {r} _{t},\mathbf {p} _{t})$ es el valor de $B$ en ese momento $t$ dado el estado inicial $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {p} _{0})$ , y $f(\mathbf {r} _{0},\mathbf {p} _{0})$ es la función de distribución del espacio de fases para el estado inicial. Si se asume ergodicidad , entonces el promedio de conjunto es el mismo que el promedio temporal durante un largo período de tiempo; matemáticamente, $C_{AB}(\tau )=\langle A(\tau )B(0)\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T-\tau }dt\,A(t+\tau )B(t)$ escaneando diferentes ventanas de tiempo $\tau$ proporciona la función de correlación temporal. Como $t\to 0$ , la función de correlación $C_{AB}(0)=\langle AB\rangle$ , mientras que como $t\to \infty$ , podemos suponer que la correlación desaparece y $\lim _{t\to \infty }C_{AB}(t)=\langle A\rangle \langle B\rangle$ .

Correspondientemente, la función de correlación temporal cuántica es, en el conjunto canónico, ^{[ 4 ]} $C_{AB}(t)={\frac {1}{Q(N,V,T)}}{\text{Tr}}\left[e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {A}}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {B}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right]$ dónde ${\hat {A}}$ y ${\hat {B}}$ son el operador cuántico, y ${\hat {B}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {B}}(0)e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$ en la imagen de Heisenberg . Si se evalúa la función de correlación temporal cuántica (no simetrizada) expandiendo la traza a los autoestados, $C_{AB}(t)={\frac {1}{Q(N,V,T)}}\sum _{j,k}e^{\beta E_{j}}e^{i(E_{k}-E_{j})t/\hbar }A_{jk}B_{kj}$ Evaluar la función de correlación temporal cuántica mediante mecánica cuántica es muy costoso y no se puede aplicar a un sistema grande con muchos grados de libertad. Sin embargo, la representación semiclasica de valores iniciales (SC-IVR) ^{[ 5 ]} es una familia de métodos para evaluar la función de correlación temporal cuántica a partir de su definición.

Además, existen dos correlaciones de tiempo cuántico alternativas, ^{[ 6 ]} y ambas están relacionadas con la definición de la función de correlación de tiempo cuántico en el espacio de Fourier. La primera función de correlación simetrizada $G_{AB}(t)$ se define por, $G_{AB}(t)={\frac {1}{Q(N,V,T)}}{\text{Tr}}\left[{\hat {A}}e^{i{\hat {H}}\tau _{c}^{*}/\hbar }{\hat {B}}e^{-i{\hat {H}}\tau _{c}/\hbar }\right]$ con $\tau _{c}\equiv t-i\beta \hbar /2$ como una variable de tiempo compleja. $G_{AB}(t)$ está relacionado con la definición de la función de correlación de tiempo cuántico por, ${\tilde {C}}_{AB}(\omega )=e^{\beta \hbar \omega /2}{\tilde {G}}_{AB}(\omega )$ La segunda función de correlación simetrizada (transformada por Kubo) es: $K_{AB}(t)={\frac {1}{\beta Q(N,V,T)}}\int _{0}^{\beta }d\lambda \operatorname {Tr} \left[e^{-(\beta -\lambda ){\hat {H}}}{\hat {A}}e^{-\lambda {\hat {H}}}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {B}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right]$ y $K_{AB}(t)$ Se reduce a su contraparte clásica tanto en el límite de alta temperatura como en el límite armónico. $K_{AB}(t)$ está relacionado con la definición de la función de correlación de tiempo cuántico por, ${\tilde {C}}_{AB}(\omega )=\left[{\frac {\beta \hbar \omega }{1-e^{-\beta \hbar \omega }}}\right]{\tilde {K}}_{AB}(\omega )$ La función de correlación temporal cuántica simetrizada es más fácil de evaluar, y la relación transformada de Fourier la hace aplicable en el cálculo de espectros, coeficientes de transporte, etc. La función de correlación temporal cuántica se puede aproximar utilizando la dinámica molecular de integral de trayectoria .

Generalización más allá de las funciones de correlación de equilibrio

Todas las funciones de correlación anteriores se han definido en el contexto de la mecánica estadística de equilibrio. Sin embargo, es posible definir funciones de correlación para sistemas alejados del equilibrio. Examinando la definición general de $C(r,\tau )$ Es evidente que las variables aleatorias utilizadas en estas funciones de correlación, como las posiciones y los espines atómicos, pueden definirse fuera del equilibrio. Por lo tanto, su producto escalar está bien definido fuera del equilibrio. La operación que ya no está bien definida fuera del equilibrio es el promedio sobre el conjunto en equilibrio. Este proceso de promediado para sistemas fuera del equilibrio se suele sustituir por el promedio del producto escalar en toda la muestra. Esto es habitual en experimentos de dispersión y simulaciones por ordenador, y se utiliza a menudo para medir las funciones de distribución radial de los vidrios.

También se pueden definir promedios sobre estados para sistemas ligeramente perturbados del equilibrio. Véase, por ejemplo, http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vaa/node56.html Archivado el 25/12/2018 en Wayback Machine.

Medición de funciones de correlación

Las funciones de correlación se miden típicamente con experimentos de dispersión. Por ejemplo, los experimentos de dispersión de rayos X miden directamente las correlaciones electrón-electrón de tiempo igual. ^{[ 7 ]} A partir del conocimiento de los factores de estructura elementales, también se pueden medir las funciones de correlación de pares elementales. Consulte la función de distribución radial para obtener más información. Las funciones de correlación espín-espín de tiempo igual se miden con dispersión de neutrones en lugar de dispersión de rayos X. La dispersión de neutrones también puede proporcionar información sobre correlaciones de pares. Para sistemas compuestos por partículas de más de un micrómetro, la microscopía óptica se puede utilizar para medir las funciones de correlación de tiempo igual y de posición igual. Por lo tanto, la microscopía óptica es común para suspensiones coloidales, especialmente en dos dimensiones.

Evolución temporal de las funciones de correlación

En 1931, Lars Onsager propuso que la regresión de las fluctuaciones térmicas microscópicas en equilibrio sigue la ley macroscópica de relajación de pequeñas perturbaciones de no equilibrio. ^{[ 8 ]} Esto se conoce como la hipótesis de regresión de Onsager . A medida que los valores de las variables microscópicas se separan por grandes escalas de tiempo, $\tau$ Si no existe correlación más allá de lo que cabría esperar del equilibrio termodinámico , la evolución temporal de una función de correlación puede considerarse, desde un punto de vista físico, como el "olvido" gradual del sistema de las condiciones iniciales impuestas mediante la especificación de alguna variable microscópica. De hecho, existe una conexión intuitiva entre la evolución temporal de las funciones de correlación y la evolución temporal de los sistemas macroscópicos: en promedio, la función de correlación evoluciona en el tiempo de la misma manera que si un sistema se preparara en las condiciones especificadas por el valor inicial de la función de correlación y se le permitiera evolucionar. ^{[ 7 ]}

Las fluctuaciones de equilibrio del sistema pueden relacionarse con su respuesta a perturbaciones externas mediante el teorema de fluctuación-disipación .

La conexión entre las transiciones de fase y las funciones de correlación

{\displaystyle C(r,\tau =0)} — Funciones de correlación de tiempo igual, $C(r,\tau =0)$ , en función del radio para un sistema de espín ferromagnético por encima, en y por debajo de su temperatura crítica, $T_{C}$ . Arriba $T_{C}$ , $C(r,\tau =0)$ presenta una dependencia combinada exponencial y de ley de potencias con respecto a la distancia: $C(r,\tau =0)\propto r^{-\vartheta }e^{-r/\xi (T)}$ . La dependencia de ley de potencias domina a distancias cortas en relación con la longitud de correlación, $\xi$ , mientras que la dependencia exponencial domina a distancias grandes en relación con $\xi$ . En $T_{C}$ , la longitud de correlación diverge, $\xi (T_{C})=\infty$ , lo que resulta en un comportamiento exclusivamente de ley de potencias: $C(r,\tau =0)\propto r^{-(d-2+\eta )}$ . $T_{C}$ Se distingue por la extrema no localidad de las correlaciones espaciales entre valores microscópicos del parámetro de orden relevante sin orden de largo alcance. A continuación $T_{C}$ , los espines exhiben ordenamiento espontáneo, es decir, orden de largo alcance, y longitud de correlación infinita. Las transiciones continuas de orden-desorden pueden entenderse como el proceso de la longitud de correlación, $\xi$ , pasando de ser infinito en el estado ordenado de baja temperatura, a infinito en el punto crítico, y luego finito en un estado desordenado de alta temperatura.

Las transiciones de fase continuas, como las transiciones de orden-desorden en aleaciones metálicas y las transiciones ferromagnéticas-paramagnéticas, implican una transición de un estado ordenado a uno desordenado. En términos de funciones de correlación, la función de correlación de tiempo igual es distinta de cero para todos los puntos de la red por debajo de la temperatura crítica, y no es despreciable solo para un radio bastante pequeño por encima de la temperatura crítica. Como la transición de fase es continua, la longitud sobre la cual las variables microscópicas están correlacionadas, $\xi$ Debe transitar continuamente de infinito a finito cuando el material se calienta por encima de su temperatura crítica. Esto da lugar a una dependencia de ley de potencias de la función de correlación en función de la distancia en el punto crítico. Esto se muestra en la figura de la izquierda para el caso de un material ferromagnético, con los detalles cuantitativos descritos en la sección sobre magnetismo.

Aplicaciones

Magnetismo

En un sistema de espines , la función de correlación de tiempo igual está especialmente bien estudiada. Describe el promedio canónico de conjunto (térmico) del producto escalar de los espines en dos puntos de la red sobre todos los posibles ordenamientos: $C(r)=\langle \mathbf {s} (R)\cdot \mathbf {s} (R+r)\rangle \ -\langle \mathbf {s} (R)\rangle \langle \mathbf {s} (R+r)\rangle \,.$ Aquí, los corchetes indican el promedio térmico mencionado anteriormente. A la izquierda se muestran gráficos esquemáticos de esta función para un material ferromagnético por debajo, en y por encima de su temperatura de Curie .

Incluso en una fase magnéticamente desordenada, los espines en diferentes posiciones están correlacionados, es decir, si la distancia r es muy pequeña (en comparación con alguna escala de longitud). $\xi$ ), la interacción entre los espines hará que se correlacionen. La alineación que surgiría naturalmente como resultado de la interacción entre los espines se destruye por efectos térmicos. A altas temperaturas se observan correlaciones que decaen exponencialmente con el aumento de la distancia, y la función de correlación viene dada asintóticamente por

C(r)\approx {\frac {1}{r^{\vartheta }}}\exp {\left(-{\frac {r}{d}}\right)}\,,

donde r es la distancia entre espines, y d es la dimensión del sistema, y $\vartheta$ es un exponente, cuyo valor depende de si el sistema se encuentra en la fase desordenada (es decir, por encima del punto crítico) o en la fase ordenada (es decir, por debajo del punto crítico). A altas temperaturas, la correlación decae exponencialmente a cero con la distancia entre los espines. El mismo decaimiento exponencial en función de la distancia radial también se observa por debajo de $T_{c}$ , pero con el límite a grandes distancias siendo la magnetización media $\langle M^{2}\rangle$ Precisamente en el punto crítico se observa un comportamiento algebraico.

C(r)\approx {\frac {1}{r^{(d-2+\eta )}}}\,,

dónde $\eta$ es un exponente crítico , que no tiene ninguna relación simple con el exponente no crítico. $\vartheta$ introducido anteriormente. Por ejemplo, la solución exacta del modelo de Ising bidimensional (con interacciones ferromagnéticas de corto alcance) da precisamente en el punto crítico $\eta ={\frac {1}{4}}$ pero por encima de la criticidad $\vartheta ={\frac {1}{2}}$ y por debajo del nivel crítico $\vartheta =2$ . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

A medida que disminuye la temperatura, disminuye el desorden térmico, y en una transición de fase continua la longitud de correlación diverge, ya que la longitud de correlación debe transitar continuamente desde un valor finito por encima de la transición de fase, hasta un valor infinito por debajo de la transición de fase:

\xi \propto |T-T_{c}|^{-\nu }\,,

con otro exponente crítico $\nu$ .

Esta correlación de ley de potencias es responsable de la escala observada en estas transiciones. Todos los exponentes mencionados son independientes de la temperatura. De hecho, son universales , es decir, se encuentran iguales en una amplia variedad de sistemas.

Funciones de distribución radial

Una función de correlación común es la función de distribución radial , que se observa frecuentemente en mecánica estadística y mecánica de fluidos . La función de correlación se puede calcular en modelos exactamente solubles (gas de Bose unidimensional, cadenas de espín, modelo de Hubbard) mediante el método de dispersión inversa cuántica y el ansatz de Bethe . En un modelo XY isotrópico, Its, Korepin, Izergin y Slavnov evaluaron las correlaciones de tiempo y temperatura. ^{[ 11 ]}

Funciones de correlación de orden superior

Las funciones de correlación de orden superior implican múltiples puntos de referencia y se definen mediante una generalización de la función de correlación anterior, tomando el valor esperado del producto de más de dos variables aleatorias:

C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .

Sin embargo, estas funciones de correlación de orden superior son relativamente difíciles de interpretar y medir. Por ejemplo, para medir los análogos de orden superior de las funciones de distribución de pares, se necesitan fuentes de rayos X coherentes. Tanto la teoría de este análisis ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} como la medición experimental de las funciones de correlación cruzada de rayos X necesarias ^{[ 14 ]} son áreas de investigación activa.

Véase también

ecuación de Ornstein-Zernike

Referencias

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