Método de dispersión inversa cuántica

En física cuántica , el método de dispersión inversa cuántica , similar al ansatz de Bethe algebraico estrechamente relacionado , es un método para resolver modelos integrables en 1+1 dimensiones, introducido por Leon Takhtajan y LD Faddeev en 1979. ^{[ 1 ]}

Puede considerarse una versión cuantizada del método clásico de dispersión inversa, desarrollado por Norman Zabusky y Martin Kruskal ^{[ 2 ],} que se utilizó para investigar la ecuación de Korteweg-de Vries y, posteriormente, otras ecuaciones diferenciales parciales integrables . En ambos casos, la matriz de Lax desempeña un papel fundamental y los datos de dispersión se utilizan para construir soluciones al sistema original.

Mientras que el método clásico de dispersión inversa se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales parciales integrables que modelan medios continuos (por ejemplo, la ecuación de KdV modela las olas de aguas poco profundas), el método cuántico de dispersión inversa se utiliza para resolver sistemas cuánticos de muchos cuerpos , a veces conocidos como cadenas de espín , de las cuales la cadena de espín de Heisenberg es el ejemplo más estudiado y famoso. Estos son típicamente sistemas discretos, con partículas fijas en diferentes puntos de una red, pero los límites de los resultados obtenidos por el método cuántico de dispersión inversa pueden dar predicciones incluso para teorías de campo definidas en un continuo, como el modelo cuántico de seno-Gordon .

El método de dispersión inversa cuántica relaciona dos enfoques diferentes:

1. El ansatz de Bethe , un método para resolver modelos cuánticos integrables en una dimensión espacial y una dimensión temporal. ^{[ 3 ]}
2. La transformada de dispersión inversa , un método para resolver ecuaciones diferenciales integrables clásicas de tipo evolutivo. ^{[ 4 ]}

Este método condujo a la formulación de grupos cuánticos , en particular el Yangian . ^{[ 5 ]} El centro del Yangian, dado por el determinante cuántico , juega un papel destacado en el método. ^{[ 6 ]}

Un concepto importante en la transformada de dispersión inversa es la representación de Lax . El método de dispersión inversa cuántica comienza con la cuantización de la representación de Lax y reproduce los resultados del ansatz de Bethe. De hecho, permite escribir el ansatz de Bethe en una nueva forma: el ansatz de Bethe algebraico . ^{[ 7 ]} Esto condujo a un mayor progreso en la comprensión de los sistemas cuánticos integrables , como el modelo de Heisenberg cuántico , la ecuación de Schrödinger no lineal cuántica (también conocida como el modelo de Lieb-Liniger o el gas de Tonks-Girardeau ) y el modelo de Hubbard . ^{[ 8 ]}

Se desarrolló la teoría de las funciones de correlación , que relaciona las representaciones determinantes, las descripciones mediante ecuaciones diferenciales y el problema de Riemann-Hilbert . En 1991 se evaluó el comportamiento asintótico de las funciones de correlación que incluyen la dependencia espacial, temporal y de temperatura. ^{[ 8 ]}

En 1989 se obtuvieron expresiones explícitas para las leyes de conservación superiores de los modelos integrables. ^{[ 9 ]}

Se lograron avances esenciales en el estudio de modelos de tipo hielo : la energía libre global del modelo de seis vértices depende de las condiciones de contorno incluso en el límite termodinámico . ^{[ 9 ]}

Los pasos se pueden resumir de la siguiente manera (según Evgeny Sklyanin ): ^{[ 9 ]}

1. Toma una matriz R que resuelva la ecuación de Yang-Baxter .
2. Toma una representación de un álgebra${\displaystyle {\mathcal {T}}_{R}}$que satisfacen las relaciones RTT. ^{[ 10 ]}
3. Halla el espectro de la función generadora.${\displaystyle t(u)}$del centro de${\displaystyle {\mathcal {T}}_{R}}$.
4. Encontrar correlaciones.

• Faddeev, L. (1995). "Historia instructiva del método de dispersión inversa cuántica". Acta Applicandae Mathematicae . 39 (1): 69– 84. doi : 10.1007/BF00994626 . SEÑOR 1329554 . S2CID 120648929 .