Truco de réplica

En la física estadística de vidrios de espín y otros sistemas con desorden congelado , el truco de réplica es una técnica matemática basada en la aplicación de la fórmula: $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{Z^{n}-1 \over n}}$$ o: $${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\frac {\partial Z^{n}}{\partial n}}}$$ dónde ${\displaystyle Z}$Lo más común es la función de partición o una función termodinámica similar.

Se utiliza normalmente para simplificar el cálculo de${\displaystyle {\overline {\ln Z}}}$, el valor esperado de${\displaystyle \ln Z}$, reduciendo el problema a calcular el promedio del desorden${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}}$dónde${\displaystyle n}$Se supone que es un número entero. Esto es físicamente equivalente a promediar sobre${\displaystyle n}$copias o réplicas del sistema, de ahí su nombre.

El quid de la cuestión del truco de réplica es que, si bien el promedio del desorden se realiza asumiendo${\displaystyle n}$para ser un número entero, para recuperar el logaritmo promediado por desorden se debe enviar${\displaystyle n}$continuamente a cero. Esta aparente contradicción en el corazón del truco de réplica nunca se ha resuelto formalmente; sin embargo, en todos los casos en que el método de réplica se puede comparar con otras soluciones exactas, los métodos conducen a los mismos resultados. (Una prueba natural suficientemente rigurosa de que el truco de réplica funciona sería comprobar que se cumplen los supuestos del teorema de Carlson , especialmente que la razón${\displaystyle (Z^{n}-1)/n}$es de tipo exponencial menor que π .)

En ocasiones es necesario requerir la propiedad adicional de ruptura de simetría de réplica (RSB) para obtener resultados físicos, lo cual está asociado con la ruptura de la ergodicidad .

Generalmente se utiliza para cálculos que involucran funciones analíticas (que pueden expandirse en series de potencias).

Expandir ${\displaystyle f(z)}$usando su serie de poder : en poderes de${\displaystyle z}$o en otras palabras réplicas de${\displaystyle z}$y realizar el mismo cálculo que se debe realizar en${\displaystyle f(z)}$, usando los poderes de${\displaystyle z}$.

Un caso particular que es de gran utilidad en física es el de promediar la energía libre termodinámica ,

${\displaystyle F=-k_{\rm {B}}T\ln Z[J_{ij}],}$

sobre valores de${\displaystyle J_{ij}}$con una determinada distribución de probabilidad , típicamente gaussiana. ^{[ 1 ]}

La función de partición viene dada por

${\displaystyle Z[J_{ij}]\sim e^{-\beta J_{ij}}.}$

Nótese que si estuviéramos calculando solo${\displaystyle Z[J_{ij}]}$(o más generalmente, cualquier poder de${\displaystyle J_{ij}}$) y no su logaritmo, que era lo que queríamos promediar, la integral resultante (suponiendo una distribución gaussiana) es simplemente

${\displaystyle \int dJ_{ij}\,e^{-\beta J-\alpha J^{2}},}$

una integral gaussiana estándar que se puede calcular fácilmente (por ejemplo, completando el cuadrado ).

Para calcular la energía libre, utilizamos el truco de las réplicas:$${\displaystyle \ln Z=\lim _{n\to 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}}$$lo que reduce la complicada tarea de promediar el logaritmo a resolver una integral gaussiana relativamente simple, siempre que${\displaystyle n}$es un número entero. ^{[ 2 ]} El truco de la réplica postula que si${\displaystyle Z^{n}}$se puede calcular para todos los enteros positivos${\displaystyle n}$entonces esto puede ser suficiente para permitir el comportamiento limitante como${\displaystyle n\to 0}$por calcular.

Claramente, tal argumento plantea muchas preguntas matemáticas, y el formalismo resultante para realizar el límite${\displaystyle n\to 0}$Por lo general, introduce muchas sutilezas. ^{[ 3 ]}

Al utilizar la teoría de campo medio para realizar los cálculos, tomar este límite a menudo requiere introducir parámetros de orden adicionales, una propiedad conocida como " ruptura de la simetría de réplica ", que está estrechamente relacionada con la ruptura de la ergodicidad y la dinámica lenta dentro de los sistemas desordenados.

El método de réplicas se utiliza para determinar los estados fundamentales de sistemas mecánicos estadísticos, en la aproximación de campo medio . Normalmente, para sistemas en los que la determinación del estado fundamental es sencilla, se pueden analizar las fluctuaciones cerca de dicho estado. En caso contrario, se utiliza el método de réplicas. ^{[ artículos sobre vidrios de espín 1 ]} Un ejemplo es el caso de un desorden congelado en un sistema como un vidrio de espín con diferentes tipos de enlaces magnéticos entre espines, lo que da lugar a muchas configuraciones diferentes de espines con la misma energía.

Fuera de la física de la materia condensada, el método de réplica se ha utilizado como herramienta analítica heurística en la teoría de la información y el procesamiento de señales . Algunos ejemplos incluyen análisis estadístico-mecánicos de códigos correctores de errores y restauración de imágenes, ^{[ 4 ] [ 5 ]} detección multiusuario CDMA de sistemas grandes, ^{[ 6 ]} y detección comprimida . ^{[ 7 ]}

En la física estadística de sistemas con desorden congelado, dos estados cualesquiera con la misma realización del desorden (o, en el caso de los vidrios de espín, con la misma distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) se denominan réplicas entre sí. ^{[ artículos sobre vidrios de espín 2 ]} Para sistemas con desorden congelado, se espera que las cantidades macroscópicas se auto-promedien , de modo que cualquier cantidad macroscópica para una realización específica del desorden sea indistinguible de la misma cantidad calculada promediando sobre todas las realizaciones posibles del desorden. La introducción de réplicas permite realizar este promedio sobre diferentes realizaciones del desorden.

En el caso de un vidrio de espín, esperamos que la energía libre por espín (o cualquier cantidad de auto-promediación) en el límite termodinámico sea independiente de los valores particulares de los acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos entre sitios individuales, a lo largo de la red. Por lo tanto, encontramos explícitamente la energía libre como una función del parámetro de desorden (en este caso, parámetros de la distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) y promediamos la energía libre sobre todas las realizaciones del desorden (todos los valores del acoplamiento entre sitios, cada uno con su probabilidad correspondiente, dada por la función de distribución). Como la energía libre toma la forma:

${\displaystyle F={\overline {F[J_{ij}]}}=-k_{B}T\,{\overline {\ln Z[J]}}}$

dónde${\displaystyle J_{ij}}$describe el desorden (para los vidrios de espín, describe la naturaleza de la interacción magnética entre cada uno de los sitios individuales)${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$) y estamos tomando el promedio sobre todos los valores de los acoplamientos descritos en${\displaystyle J}$, ponderado con una distribución dada. Para realizar el promedio sobre la función logaritmo, el truco de réplica resulta útil, reemplazando el logaritmo con su forma límite mencionada anteriormente. En este caso, la cantidad${\displaystyle Z^{n}}$representa la función de partición conjunta de${\displaystyle n}$sistemas idénticos.

El modelo de energía aleatoria (REM) es uno de los modelos más sencillos de mecánica estadística de sistemas desordenados y, probablemente, el más sencillo para demostrar el significado y el poder del truco de réplicas al nivel 1 de ruptura de simetría de réplicas . Este modelo es especialmente adecuado para esta introducción porque se conoce un resultado exacto mediante un procedimiento diferente, y el truco de réplicas puede demostrarse mediante la verificación cruzada de resultados.

El método de cavidad es un método alternativo, a menudo más sencillo de usar que el método de réplica, para estudiar problemas de campo medio desordenados. Ha sido diseñado para tratar modelos en grafos localmente arbóreos .

Otro método alternativo es el método supersimétrico . El uso del método de supersimetría proporciona una alternativa matemáticamente rigurosa al truco de las réplicas, pero solo en sistemas no interactuantes. Véase, por ejemplo, el libro: ^{[ otros enfoques 1 ]}

Además, se ha demostrado ^{[ otros enfoques 2 ]} que el formalismo de Keldysh proporciona una alternativa viable al enfoque de réplica.

La primera de las identidades anteriores se entiende fácilmente mediante la expansión de Taylor :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {Z^{n}-1}{n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {e^{n\ln Z}-1}{n}}\\&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {n\ln Z+{1 \over 2!}(n\ln Z)^{2}+\cdots }{n}}\\&=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Para la segunda identidad, simplemente se utiliza la definición de la derivada.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial Z^{n}}{\partial n}}&=\lim _{n\rightarrow 0}{\dfrac {\partial e^{n\ln Z}}{\partial n}}\\[5pt]&=\lim _{n\rightarrow 0}Z^{n}\ln Z\\[5pt]&=Z^{0}\ln Z=\ln Z~~.\end{aligned}}}$

Euler utilizó una versión del truco de réplica en su estudio de la función W de Lambert . ^{[ 8 ]}

• S. Edwards (1971), "Mecánica estadística del caucho". En Redes poliméricas: propiedades estructurales y mecánicas (eds. A.J. Chompff y S. Newman). Nueva York: Plenum Press, ISBN 978-1-4757-6210-5.
• Mézard, Marc; Parisi, Giorgio; Virasoro, Miguel Ángel (1987). Teoría del vidrio de espín y más allá: una introducción al método de réplica y sus aplicaciones . Apuntes de clase de física de World Scientific. Teaneck, NJ, EE. UU.: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0116-7.
• Charbonneau, Patrick (2022-11-03). "Del truco de la réplica a la técnica de ruptura de simetría de réplica". arXiv : 2211.01802 [ physics.hist-ph ].