Teoría de campo medio

En física y teoría de la probabilidad , la teoría de campo medio ( MFT ) o teoría de campo autoconsistente estudia el comportamiento de modelos aleatorios ( estocásticos ) de alta dimensión mediante el estudio de un modelo más simple que se aproxima al original promediando sobre los grados de libertad (el número de valores en el cálculo final de una estadística que pueden variar libremente). Dichos modelos consideran muchos componentes individuales que interactúan entre sí.

La idea principal de la MFT es reemplazar todas las interacciones de un solo cuerpo con una interacción promedio o efectiva, a veces llamada campo molecular . ^{[ 1 ]} Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema efectivo de un solo cuerpo . La facilidad para resolver problemas de MFT implica que se puede obtener información sobre el comportamiento del sistema con un menor costo computacional.

Desde entonces, la MFT se ha aplicado a una amplia gama de campos fuera de la física, incluyendo inferencia estadística , modelos gráficos , neurociencia , ^{[ 2 ]} inteligencia artificial , modelos epidémicos , ^{[ 3 ]} teoría de colas , ^{[ 4 ]} rendimiento de redes informáticas y teoría de juegos , ^{[ 5 ]} como en el equilibrio de respuesta cuántica .

Orígenes

La idea apareció por primera vez en física ( mecánica estadística ) en el trabajo de Pierre Curie ^{[ 6 ]} y Pierre Weiss para describir transiciones de fase . ^{[ 7 ]} La MFT se ha utilizado en la aproximación de Bragg-Williams, modelos en la red de Bethe , la teoría de Landau , la ley de Curie-Weiss para la susceptibilidad magnética , la teoría de soluciones de Flory-Huggins y la teoría de Scheutjens-Fleer .

Los sistemas con muchos (a veces infinitos) grados de libertad suelen ser difíciles de resolver con exactitud o de calcular en forma analítica cerrada, salvo en algunos casos sencillos (por ejemplo, ciertas teorías de campos aleatorios gaussianos, el modelo de Ising unidimensional ). A menudo surgen problemas combinatorios que dificultan el cálculo de la función de partición de un sistema. La teoría de campos mínimos (MFT) es un método de aproximación que suele hacer que el problema original sea resoluble y susceptible de cálculo, y en algunos casos puede proporcionar aproximaciones muy precisas.

En teoría de campos , el hamiltoniano puede expandirse en términos de la magnitud de las fluctuaciones alrededor de la media del campo. En este contexto, la teoría de campos medios (MFT) puede considerarse como la expansión de "orden cero" del hamiltoniano en términos de fluctuaciones. Físicamente, esto significa que un sistema MFT no presenta fluctuaciones, lo cual coincide con la idea de reemplazar todas las interacciones por un "campo medio".

Con frecuencia, la teoría de campos medios (MFT) proporciona un punto de partida conveniente para estudiar fluctuaciones de orden superior. Por ejemplo, al calcular la función de partición , el estudio de la combinatoria de los términos de interacción en el hamiltoniano a veces puede, en el mejor de los casos, producir resultados de perturbación o diagramas de Feynman que corrijan la aproximación de campo medio.

Validez

En general, la dimensionalidad desempeña un papel fundamental a la hora de determinar si un enfoque de campo medio funcionará para un problema concreto. A veces existe una dimensión crítica por encima de la cual el método de campo medio es válido y por debajo de la cual no lo es.

Heurísticamente, en la teoría de campo medio (MFT) muchas interacciones se reemplazan por una interacción efectiva. Por lo tanto, si el campo o la partícula presentan muchas interacciones aleatorias en el sistema original, estas tienden a cancelarse entre sí, lo que resulta en una interacción efectiva media y una MFT más precisas. Esto se cumple en casos de alta dimensionalidad, cuando el hamiltoniano incluye fuerzas de largo alcance o cuando las partículas son extendidas (por ejemplo, polímeros ). El criterio de Ginzburg es la expresión formal de cómo las fluctuaciones hacen que la MFT sea una aproximación deficiente, dependiendo a menudo del número de dimensiones espaciales del sistema en cuestión.

Enfoque formal (hamiltoniano)

La base formal de la teoría de campo medio es la desigualdad de Bogoliubov . Esta desigualdad establece que la energía libre de un sistema con hamiltoniano

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

tiene el siguiente límite superior:

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0},

dónde $S_{0}$ es la entropía y $F$ y $F_{0}$ son energías libres de Helmholtz . El promedio se toma sobre el conjunto de equilibrio del sistema de referencia con hamiltoniano ${\mathcal {H}}_{0}$ . En el caso especial de que el hamiltoniano de referencia sea el de un sistema no interactuante y, por lo tanto, pueda escribirse como

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}(\xi _{i}),

dónde $\xi _{i}$ son los grados de libertad de los componentes individuales de nuestro sistema estadístico (átomos, espines, etc.), se puede considerar afinar el límite superior minimizando el lado derecho de la desigualdad. El sistema de referencia minimizado es entonces la "mejor" aproximación al sistema verdadero utilizando grados de libertad no correlacionados y se conoce como la aproximación de campo medio .

Para el caso más común en el que el hamiltoniano objetivo contiene solo interacciones por pares, es decir,

{\mathcal {H}}=\sum _ {(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j}),

dónde ${\mathcal {P}}$ es el conjunto de pares que interactúan, el procedimiento de minimización se puede llevar a cabo formalmente. Definir $\operatorname {Tr} _{i}f(\xi _{i})$ como la suma generalizada de los observables $f$ sobre los grados de libertad del único componente (suma para variables discretas, integrales para variables continuas). La energía libre aproximada viene dada por

{\begin{aligned}F_{0}&=\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}{\mathcal {H}}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\\&+kT\,\operatorname {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N}),\end{aligned}}

dónde $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ es la probabilidad de encontrar el sistema de referencia en el estado especificado por las variables $(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{N})$ Esta probabilidad viene dada por el factor de Boltzmann normalizado.

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{aligned}}

dónde $Z_{0}$ es la función de partición . Por lo tanto

{\begin{aligned}F_{0}&=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}\operatorname {Tr} _{i,j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j})\\&+kT\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

Para minimizar, tomamos la derivada con respecto a las probabilidades de un solo grado de libertad. $P_{0}^{(i)}$ utilizando un multiplicador de Lagrange para asegurar una normalización adecuada. El resultado final es el conjunto de ecuaciones de autoconsistencia.

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2,\ldots ,N,

donde el campo medio viene dado por

h_{i}^{\text{MF}}(\xi _{i})=\sum _{\{j\mid (i,j)\in {\mathcal {P}}\}}\operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Aplicaciones

La teoría del campo medio se puede aplicar a varios sistemas físicos para estudiar fenómenos como las transiciones de fase . ^{[ 8 ]}

modelo de Ising

Derivación formal

La desigualdad de Bogoliubov, mostrada arriba, se puede utilizar para encontrar la dinámica de un modelo de campo medio de la red de Ising bidimensional . Se puede calcular una función de magnetización a partir de la energía libre aproximada resultante . ^{[ 9 ]} El primer paso es elegir una aproximación más manejable del hamiltoniano verdadero. Usando un hamiltoniano de campo efectivo o no interactuante,

-m\sum _{i}s_{i}

,

la energía libre variacional es

F_{V}=F_{0}+\left\langle \left(-J\sum s_{i}s_{j}-h\sum s_{i}\right)-\left(-m\sum s_{i}\right)\right\rangle _{0}.

Según la desigualdad de Bogoliubov, simplificar esta cantidad y calcular la función de magnetización que minimiza la energía libre variacional produce la mejor aproximación a la magnetización real. El minimizador es

m=J\sum \langle s_{j}\rangle _{0}+h,

que es el promedio de conjunto del espín. Esto se simplifica a

m={\text{tanh}}(zJ\beta m+h

).

Igualar el campo efectivo que experimentan todos los espines a un valor medio de espín relaciona el enfoque variacional con la supresión de fluctuaciones. La interpretación física de la función de magnetización es, por tanto, un campo de valores medios para espines individuales.

Aproximación de espines no interactuantes

Consideremos el modelo de Ising en un $d$ Red de -dimensiones. El hamiltoniano viene dado por

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i},

donde el $\sum _{\langle i,j\rangle }$ indica la suma sobre el par de vecinos más cercanos $\langle i,j\rangle$ , y $s_{i},s_{j}=\pm 1$ son giros de Ising vecinos.

Transformemos nuestra variable de espín introduciendo la fluctuación respecto a su valor medio. $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$ Podemos reescribir el hamiltoniano como

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _{i}s_{i},

donde definimos $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i}$ ; esta es la fluctuación del espín.

Si desarrollamos el lado derecho, obtenemos un término que depende completamente de los valores medios de los espines y es independiente de las configuraciones de espín. Este es el término trivial, que no afecta las propiedades estadísticas del sistema. El siguiente término es el producto del valor medio del espín y el valor de fluctuación. Finalmente, el último término es el producto de dos valores de fluctuación.

La aproximación de campo medio consiste en despreciar este término de fluctuación de segundo orden:

H\approx H^{\text{MF}}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}.

Estas fluctuaciones se acentúan en dimensiones bajas, lo que convierte a la MFT en una mejor aproximación para dimensiones altas.

Nuevamente, el sumando puede ser reexpandido. Además, esperamos que el valor medio de cada espín sea independiente del sitio, ya que la cadena de Ising es invariante traslacionalmente. Esto produce

H^{\text{MF}}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }{\big (}m^{2}+2m(s_{i}-m){\big )}-h\sum _{i}s_{i}.

La suma sobre espines vecinos se puede reescribir como $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i)}$ , dónde $nn(i)$ significa "vecino más cercano de $i$ ", y el $1/2$ El prefactor evita el doble conteo, ya que cada enlace participa en dos espines. La simplificación conduce a la expresión final.

H^{\text{MF}}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\text{eff.}}}\sum _{i}s_{i},

dónde $z$ es el número de coordinación . En este punto, el hamiltoniano de Ising se ha desacoplado en una suma de hamiltonianos de un cuerpo con un campo medio efectivo. $h^{\text{eff.}}=h+Jzm$ , que es la suma del campo externo $h$ y del campo medio inducido por los espines vecinos. Cabe destacar que este campo medio depende directamente del número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, de la dimensión del sistema (por ejemplo, para una red hipercúbica de dimensión $d$ , $z=2d$ ).

Sustituyendo este hamiltoniano en la función de partición y resolviendo el problema efectivo 1D, obtenemos

Z=e^{-{\frac {\beta Jm^{2}Nz}{2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},

dónde $N$ es el número de sitios de la red. Esta es una expresión cerrada y exacta para la función de partición del sistema. Podemos obtener la energía libre del sistema y calcular los exponentes críticos . En particular, podemos obtener la magnetización. $m$ como función de $h^{\text{eff.}}$ .

Tenemos, por lo tanto, dos ecuaciones entre $m$ y $h^{\text{eff.}}$ , lo que nos permite determinar $m$ en función de la temperatura. Esto lleva a la siguiente observación:

Para temperaturas superiores a un cierto valor $T_{\text{c}}$ , la única solución es $m=0$ El sistema es paramagnético .
Para $T<T_{\text{c}}$ Hay dos soluciones distintas de cero: $m=\pm m_{0}$ El sistema es ferromagnético .

$T_{\text{c}}$ viene dada por la siguiente relación: $T_{\text{c}}={\frac {Jz}{k_{B}}}$ .

Esto demuestra que la MFT puede explicar la transición de fase ferromagnética.

Aplicación a otros sistemas

De manera similar, la MFT se puede aplicar a otros tipos de hamiltonianos, como en los siguientes casos:

Para estudiar la transición metal- superconductor . En este caso, el análogo de la magnetización es la brecha superconductora. $\Delta$ .
El campo molecular de un cristal líquido que surge cuando el laplaciano del campo director es distinto de cero.
Para determinar el empaquetamiento óptimo de la cadena lateral de aminoácidos dada una estructura principal de proteína fija en la predicción de la estructura de proteínas (véase Campo medio autoconsistente (biología) ).
Para determinar las propiedades elásticas de un material compuesto.

La minimización variacional, al igual que la teoría del campo medio, también puede utilizarse en la inferencia estadística.

Extensión a campos medios dependientes del tiempo

En la teoría de campo medio, el campo medio que aparece en el problema de un solo sitio es una magnitud escalar o vectorial independiente del tiempo. Sin embargo, esto no siempre es así: en una variante de la teoría de campo medio denominada teoría de campo medio dinámico (DMFT), el campo medio se convierte en una magnitud dependiente del tiempo. Por ejemplo, la DMFT se puede aplicar al modelo de Hubbard para estudiar la transición metal-aislante de Mott.

Véase también

Referencias

↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC (2007). Principios de física de la materia condensada (4.ª ed. impresa). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.
↑ Parr, Thomas; Sajid, Noor; Friston, Karl (2020). " ¿Módulos o campos medios?" (PDF) . Entropía . 22 (552): 552. Bibcode : 2020Entrp..22..552P . doi : 10.3390/e22050552 . PMC 7517075. PMID 33286324. Recuperado el 22 de mayo de 2020 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "Un resultado genérico de convergencia de campo medio para sistemas de objetos interactuantes". Cuarta Conferencia Internacional sobre la Evaluación Cuantitativa de Sistemas (QEST 2007) (PDF) . pág. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi : 10.1109/QEST.2007.8 . ISBN 978-0-7695-2883-0. S2CID 15007784 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, FI; Kelbert, MY; Puhalskii, AA; Rybko, AN; Suhov, YM (1992). "Un límite de campo medio para una clase de redes de colas". Journal of Statistical Physics . 66 ( 3– 4): 803. Bibcode : 1992JSP....66..803B . doi : 10.1007/BF01055703 . S2CID 120840517 .
↑ Lasry, JM; Lions, PL (2007). "Mean field games" (PDF) . Japanese Journal of Mathematics . 2 : 229–260 . doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 . S2CID 1963678 .
↑ Kadanoff, LP (2009). "Más es lo mismo; transiciones de fase y teorías de campo medio". Journal of Statistical Physics . 137 ( 5– 6): 777– 797. arXiv : 0906.0653 . Bibcode : 2009JSP...137..777K . doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . S2CID 9074428 .
^ Weiss, Pierre (1907). "La hipótesis del campeón molecular y la propiedad ferromagnética" . J. Física. Teor. Aplica . 6 (1): 661– 690. doi : 10.1051/jphystap:019070060066100 .
↑ Stanley, HE (1971). "Teoría del campo medio de las transiciones de fase magnéticas". Introducción a las transiciones de fase y los fenómenos críticos . Oxford University Press. ISBN 0-19-505316-8.
↑ Sakthivadivel, Dalton AR (enero de 2022). "Magnetización y teoría del campo medio en el modelo de Ising" . SciPost Physics Lecture Notes . 35 35: 1– 16. arXiv : 2102.00960 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 . S2CID 237623181 .

[1] Chaikin, PM; Lubensky, TC (2007). Principios de física de la materia condensada (4.ª ed. impresa). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3.

[2] Parr, Thomas; Sajid, Noor; Friston, Karl (2020). " ¿Módulos o campos medios?" (PDF) . Entropía . 22 (552): 552. Bibcode : 2020Entrp..22..552P . doi : 10.3390/e22050552 . PMC 7517075. PMID 33286324. Recuperado el 22 de mayo de 2020 .

[3] Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). "Un resultado genérico de convergencia de campo medio para sistemas de objetos interactuantes". Cuarta Conferencia Internacional sobre la Evaluación Cuantitativa de Sistemas (QEST 2007) (PDF) . pág. 3. CiteSeerX 10.1.1.110.2612 . doi : 10.1109/QEST.2007.8 . ISBN 978-0-7695-2883-0. S2CID 15007784 .

[4] Baccelli, F.; Karpelevich, FI; Kelbert, MY; Puhalskii, AA; Rybko, AN; Suhov, YM (1992). "Un límite de campo medio para una clase de redes de colas". Journal of Statistical Physics . 66 ( 3– 4): 803. Bibcode : 1992JSP....66..803B . doi : 10.1007/BF01055703 . S2CID 120840517 .

[5] Lasry, JM; Lions, PL (2007). "Mean field games" (PDF) . Japanese Journal of Mathematics . 2 : 229–260 . doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 . S2CID 1963678 .

[6] Kadanoff, LP (2009). "Más es lo mismo; transiciones de fase y teorías de campo medio". Journal of Statistical Physics . 137 ( 5– 6): 777– 797. arXiv : 0906.0653 . Bibcode : 2009JSP...137..777K . doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . S2CID 9074428 .

[7] Weiss, Pierre (1907). "La hipótesis del campeón molecular y la propiedad ferromagnética" . J. Física. Teor. Aplica . 6 (1): 661– 690. doi : 10.1051/jphystap:019070060066100 .

[Stanley-8] Stanley, HE (1971). "Teoría del campo medio de las transiciones de fase magnéticas". Introducción a las transiciones de fase y los fenómenos críticos . Oxford University Press. ISBN 0-19-505316-8.

[9] Sakthivadivel, Dalton AR (enero de 2022). "Magnetización y teoría del campo medio en el modelo de Ising" . SciPost Physics Lecture Notes . 35 35: 1– 16. arXiv : 2102.00960 . doi : 10.21468/SciPostPhysLectNotes.35 . S2CID 237623181 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]