Dimensión crítica

En el análisis del grupo de renormalización de las transiciones de fase en física , una dimensión crítica es la dimensionalidad del espacio en la que cambia el carácter de la transición de fase. Por debajo de la dimensión crítica inferior no hay transición de fase. Por encima de la dimensión crítica superior, los exponentes críticos de la teoría se vuelven iguales a los de la teoría de campo medio . Un criterio elegante para obtener la dimensión crítica dentro de la teoría de campo medio se debe a V. Ginzburg .

Dado que el grupo de renormalización establece una relación entre una transición de fase y una teoría cuántica de campos , esto tiene implicaciones para esta última y para nuestra comprensión general de la renormalización. Por encima de la dimensión crítica superior, la teoría cuántica de campos que pertenece al modelo de la transición de fase es una teoría de campos libres . Por debajo de la dimensión crítica inferior, no existe ninguna teoría de campos que corresponda al modelo.

En el contexto de la teoría de cuerdas, el significado es más restringido: la dimensión crítica es aquella en la que la teoría de cuerdas es consistente, asumiendo un fondo de dilatón constante sin permutaciones adicionales que dificulten la comprensión debido a los efectos de la radiación de fondo. El número preciso puede determinarse mediante la cancelación requerida de la anomalía conforme en la hoja de mundo ; es 26 para la teoría de cuerdas bosónicas y 10 para la teoría de supercuerdas .

Determinar la dimensión crítica superior de una teoría de campos es una cuestión de álgebra lineal . Conviene formalizar el procedimiento porque proporciona la aproximación de orden más bajo para el escalamiento y datos esenciales para el grupo de renormalización . Además, revela las condiciones necesarias para tener un modelo crítico.

Un lagrangiano puede escribirse como una suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una integral sobre un monomio de coordenadas.${\displaystyle x_{i}}$y campos${\displaystyle \phi _{i}}$Los ejemplos son el estándar${\displaystyle \phi ^{4}}$-modelo y el punto tricrítico isotrópico de Lifshitz con lagrangianos

${\displaystyle \displaystyle S=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla \phi \right)^{2}+u\phi ^{4}\right\},}$

${\displaystyle \displaystyle S_{LTP}=\int d^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}+u\phi ^{3}\nabla ^{2}\phi +w\phi ^{6}\right\},}$

Véase también la figura de la derecha. Esta estructura simple puede ser compatible con una invariancia de escala bajo un reescalado de las coordenadas y los campos con un factor.${\displaystyle b}$de acuerdo a

${\displaystyle \displaystyle x_{i}\rightarrow x_{i}b^{\left[x_{i}\right]},\phi _{i}\rightarrow \phi _{i}b^{\left[\phi _{i}\right]}.}$

El tiempo no se destaca aquí  , es solo otra coordenada: si el lagrangiano contiene una variable de tiempo, entonces esta variable debe reescalarse como${\displaystyle t\rightarrow tb^{-z}}$con algún exponente constante${\displaystyle z=-[t]}$El objetivo es determinar el conjunto de exponentes.${\displaystyle N=\{[x_{i}],[\phi _{i}]\}}$.

Un exponente, por ejemplo${\displaystyle [x_{1}]}$puede elegirse arbitrariamente, por ejemplo${\displaystyle [x_{1}]=-1}$En el lenguaje del análisis dimensional, esto significa que los exponentes${\displaystyle N}$factores de vector de onda de conteo (una longitud recíproca${\displaystyle k=1/L_{1}}$). Cada monomio del lagrangiano conduce así a una ecuación lineal homogénea.${\displaystyle \sum E_{i,j}N_{j}=0}$para los exponentes${\displaystyle N}$. Si hay${\displaystyle M}$coordenadas y campos (no equivalentes) en el lagrangiano, entonces${\displaystyle M}$Estas ecuaciones constituyen una matriz cuadrada. Si esta matriz fuera invertible, solo existiría la solución trivial.${\displaystyle N=0}$.

La condición${\displaystyle \det(E_{i,j})=0}$Para una solución no trivial se obtiene una ecuación entre las dimensiones del espacio, y esto determina la dimensión crítica superior.${\displaystyle d_{u}}$(siempre que haya una sola dimensión variable)${\displaystyle d}$en el lagrangiano). Una redefinición de las coordenadas y los campos ahora muestra que determinar los exponentes de escala${\displaystyle N}$es equivalente a un análisis dimensional con respecto al vector de onda.${\displaystyle k}$, con todas las constantes de acoplamiento que aparecen en el lagrangiano adimensionalizadas. Las constantes de acoplamiento adimensionales son el sello distintivo técnico de la dimensión crítica superior.

El escalamiento ingenuo a nivel del lagrangiano no se corresponde directamente con el escalamiento físico porque se requiere un límite para dar sentido a la teoría de campos y a la integral de trayectoria . Cambiar la escala de longitud también cambia el número de grados de libertad. Esta complicación se tiene en cuenta mediante el grupo de renormalización . El resultado principal en la dimensión crítica superior es que la invariancia de escala sigue siendo válida para factores grandes.${\displaystyle b}$pero con información adicional${\displaystyle ln(b)}$factores en el escalado de las coordenadas y los campos.

¿Qué sucede abajo o arriba?${\displaystyle d_{u}}$Depende de si uno está interesado en distancias largas ( teoría estadística de campos ) o distancias cortas ( teoría cuántica de campos ). Las teorías cuánticas de campos son triviales (convergentes) por debajo de${\displaystyle d_{u}}$y no renormalizable por encima de${\displaystyle d_{u}}$. ^{[ 1 ]} Las teorías de campos estadísticos son triviales (convergentes) arriba${\displaystyle d_{u}}$y renormalizable por debajo${\displaystyle d_{u}}$En este último caso surgen contribuciones "anómalas" a los exponentes de escala ingenuos.${\displaystyle N}$Estas contribuciones anómalas a los exponentes críticos efectivos desaparecen en la dimensión crítica superior.

Resulta instructivo observar cómo la invariancia de escala en la dimensión crítica superior se convierte en una invariancia de escala por debajo de esta dimensión. Para vectores de onda externos pequeños, las funciones de vértice${\displaystyle \Gamma }$adquirir exponentes adicionales, por ejemplo${\displaystyle \Gamma _{2}(k)\thicksim k^{2-\eta (d)}}$Si estos exponentes se insertan en una matriz${\displaystyle A(d)}$(que solo tiene valores en la primera columna) la condición para la invariancia de escala se convierte en${\displaystyle \det(E+A(d))=0}$Esta ecuación solo puede satisfacerse si los exponentes anómalos de las funciones de vértice cooperan de alguna manera. De hecho, las funciones de vértice dependen jerárquicamente entre sí. Una forma de expresar esta interdependencia son las ecuaciones de Schwinger-Dyson .

Escalado ingenuo en${\displaystyle d_{u}}$Por lo tanto, es importante como aproximación de orden cero. El escalamiento ingenuo en la dimensión crítica superior también clasifica los términos del lagrangiano como relevantes, irrelevantes o marginales. Un lagrangiano es compatible con el escalamiento si${\displaystyle x_{i}}$- y${\displaystyle \phi _{i}}$-exponentes${\displaystyle E_{i,j}}$se encuentran en un hiperplano , para ver ejemplos, consulte la figura anterior.${\displaystyle N}$es un vector normal de este hiperplano.

La dimensión crítica inferior${\displaystyle d_{L}}$de una transición de fase de una clase de universalidad dada es la última dimensión para la cual esta transición de fase no ocurre si la dimensión se incrementa comenzando con${\displaystyle d=1}$.

La estabilidad termodinámica de una fase ordenada depende de la entropía y la energía. Cuantitativamente, esto depende del tipo de paredes de dominio y sus modos de fluctuación. No parece existir un método formal genérico para derivar la dimensión crítica inferior de una teoría de campos. Se pueden obtener límites inferiores mediante argumentos de mecánica estadística .

Consideremos primero un sistema unidimensional con interacciones de corto alcance. La creación de una pared de dominio requiere una cantidad fija de energía.${\displaystyle \epsilon }$. Extraer esta energía de otros grados de libertad disminuye la entropía en${\displaystyle \Delta S=-\epsilon /T}$. Este cambio de entropía debe compararse con la entropía de la pared de dominio misma. ^{[ 2 ]} En un sistema de longitud${\displaystyle L}$hay${\displaystyle L/a}$posiciones para la pared de dominio, lo que conduce (según el principio de Boltzmann ) a una ganancia de entropía${\displaystyle \Delta S=k_{B}\log(L/a)}$Para temperaturas distintas de cero${\displaystyle T}$y${\displaystyle L}$lo suficientemente grande como para que la ganancia de entropía siempre domine, y por lo tanto no hay transición de fase en sistemas unidimensionales con interacciones de corto alcance en${\displaystyle T>0}$. Dimensión espacial${\displaystyle d_{1}=1}$Por lo tanto, es un límite inferior para la dimensión crítica inferior de dichos sistemas.

Un límite inferior más estricto${\displaystyle d_{L}=2}$puede derivarse con la ayuda de argumentos similares para sistemas con interacciones de corto alcance y un parámetro de orden con una simetría continua. En este caso, el teorema de Mermin-Wagner establece que el valor esperado del parámetro de orden se anula en${\displaystyle d=2}$en${\displaystyle T>0}$y, por lo tanto, no hay ninguna transición de fase del tipo habitual en${\displaystyle d_{L}=2}$y abajo.

Para sistemas con desorden congelado, podría ser relevante un criterio propuesto por Imry y Ma ^{[ 3 ]} . Estos autores utilizaron dicho criterio para determinar la dimensión crítica inferior de imanes de campo aleatorio.

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