Distribución de Poisson mixta

Una distribución de Poisson mixta es una distribución de probabilidad discreta univariante en estocástica. Resulta de suponer que la distribución condicional de una variable aleatoria, dado el valor del parámetro de tasa, es una distribución de Poisson , y que el parámetro de tasa en sí se considera una variable aleatoria. Por lo tanto, es un caso especial de una distribución de probabilidad compuesta . Las distribuciones de Poisson mixtas se pueden encontrar en las matemáticas actuariales como un enfoque general para la distribución del número de reclamaciones y también se examinan como un modelo epidemiológico . ^[1] No debe confundirse con la distribución de Poisson compuesta o el proceso de Poisson compuesto . ^[2]

Una variable aleatoria X satisface la distribución mixta de Poisson con densidad π ( λ ) si tiene la distribución de probabilidad ^[3]

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

Si denotamos las probabilidades de la distribución de Poisson por q _λ ( k ), entonces

${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .}$

• La varianza siempre es mayor que el valor esperado . Esta propiedad se denomina sobredispersión . Esto contrasta con la distribución de Poisson, donde la media y la varianza son iguales.
• En la práctica, casi solo se utilizan como densidades π ( λ ) las densidades de las distribuciones gamma , las distribuciones normales logarítmicas y las distribuciones gaussianas inversas . Si elegimos la densidad de la distribución gamma , obtenemos la distribución binomial negativa , lo que explica por qué también se la llama distribución gamma de Poisson.

A continuación, sea el valor esperado de la densidad y la varianza de la densidad. ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$${\displaystyle \pi (\lambda )\,}$${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$

El valor esperado de la distribución mixta de Poisson es

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.}$

Para la varianza se obtiene ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}$

La asimetría se puede representar como

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}$

La función característica tiene la forma

${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}$

¿Dónde está la función generadora de momentos de la densidad? ${\displaystyle M_{\pi }}$

Para la función generadora de probabilidad , se obtiene ^[3]

${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}$

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson mixta es

${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}$

• Jan Grandell: Procesos mixtos de Poisson. Chapman & Hall, Londres 1997, ISBN 0-412-78700-8 .
• Tom Britton: Modelos epidémicos estocásticos con inferencia. Springer, 2019, doi :10.1007/978-3-030-30900-8