Distribución discreta estable

Las distribuciones discretas estables ^{[ 1 ]} son ​​una clase de distribuciones de probabilidad con la propiedad de que la suma de varias variables aleatorias de dicha distribución bajo un escalamiento apropiado se distribuye según la misma familia. Son el análogo discreto de las distribuciones continuas estables .

Las distribuciones discretas estables se han utilizado en numerosos campos, en particular en redes libres de escala como internet y las redes sociales ^{[ 2 ]} o incluso redes semánticas . ^{[ 3 ]}

Tanto las clases discretas como continuas de distribuciones estables poseen propiedades tales como divisibilidad infinita , colas de ley de potencias y unimodalidad .

La distribución estable discreta más conocida es el caso especial de la distribución de Poisson . ^{[ 4 ]} Es la única distribución estable discreta para la cual la media y todos los momentos de orden superior son finitos.

Las distribuciones discretas estables se definen ^{[ 5 ]} a través de su función generadora de probabilidad.

${\displaystyle G(s|\nu ,a)=\sum _{n=0}^{\infty }P(N|\nu ,a)(1-s)^{N}=\exp(-as^{\nu }).}$

En lo anterior,${\displaystyle a>0}$es un parámetro de escala y${\displaystyle 0<\nu \leq 1}$describe el comportamiento de ley de potencias tal que cuando${\displaystyle 0<\nu <1}$,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }P(N|\nu ,a)\sim {\frac {1}{N^{\nu +1}}}.}$

Cuando${\displaystyle \nu =1}$, la distribución se convierte en la conocida distribución de Poisson con media${\displaystyle a}$.

La función característica de una distribución discreta-estable tiene la forma ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \varphi (t;a,\nu )=\exp \left[a\left(e^{it}-1\right)^{\nu }\right]}$, con${\displaystyle a>0}$y${\displaystyle 0<\nu \leq 1}$.

De nuevo, cuando${\displaystyle \nu =1}$, la distribución se convierte en la distribución de Poisson con media${\displaystyle a}$.

La distribución original se recupera mediante la diferenciación repetida de la función generadora:

${\displaystyle P(N|\nu ,a)=\left.{\frac {(-1)^{N}}{N!}}{\frac {d^{N}G(s|\nu ,a)}{ds^{N}}}\right|_{s=1}.}$

No se conoce una expresión de forma cerrada que utilice funciones elementales para la distribución de probabilidad de las distribuciones discretas estables, excepto en el caso de Poisson en el que

${\displaystyle \!P(N|\nu =1,a)={\frac {a^{N}e^{-a}}{N!}}.}$

Sin embargo, existen expresiones que utilizan funciones especiales para este caso.${\displaystyle \nu =1/2}$^{[ 7 ]} (en términos defunciones de Bessel) y${\displaystyle \nu =1/3}$^{[ 8 ]} (en términos defunciones hipergeométricas).

Toda la clase de distribuciones discretas estables se puede formar como una distribución de probabilidad compuesta de Poisson donde la media,${\displaystyle \lambda }$La media de una distribución de Poisson se define como una variable aleatoria con una función de densidad de probabilidad (FDP). Cuando la FDP de la media es una distribución continua y estable unilateral con el parámetro de estabilidad${\displaystyle 0<\alpha <1}$y parámetro de escala${\displaystyle c}$, la distribución resultante es ^{[ 9 ]} discreta-estable con índice${\displaystyle \nu =\alpha }$y parámetro de escala${\displaystyle a=c\sec(\alpha \pi /2)}$.

Formalmente, esto está escrito

${\displaystyle P(N|\alpha ,c\sec(\alpha \pi /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|1,\lambda )p(\lambda$ ;\alpha ,1,c,0)\,d\lambda }

dónde${\displaystyle p(x;\alpha ,1,c,0)}$es la función de densidad de probabilidad de una distribución continua-estable unilateral con parámetro de simetría${\displaystyle \beta =1}$y parámetro de ubicación${\displaystyle \mu =0}$.

Un resultado más general ^{[ 8 ]} establece que se puede formar una distribución compuesta a partir de cualquier distribución discreta-estable con índice${\displaystyle \nu }$con una distribución continua-estable unilateral con índice${\displaystyle \alpha }$da como resultado una distribución discreta-estable con índice${\displaystyle \nu \cdot \alpha }$y reduce el índice de ley de potencias de la distribución original por un factor de${\displaystyle \alpha }$.

En otras palabras,

${\displaystyle P(N|\nu \cdot \alpha ,c\sec(\pi \alpha /2))=\int _{0}^{\infty }P(N|\alpha ,\lambda )p(\lambda$ ;\nu ,1,c,0)\,d\lambda .}

En el límite${\displaystyle \nu \rightarrow 1}$, las distribuciones discretas estables se comportan ^{[ 9 ]} como una distribución de Poisson con media${\displaystyle a\sec(\nu \pi /2)}$para pequeños${\displaystyle N}$pero para${\displaystyle N\gg 1}$, la cola de ley de potencias predomina.

La convergencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con colas de ley de potencias.${\displaystyle P(N)\sim 1/N^{1+\nu }}$a una distribución discreta-estable es extraordinariamente lento ^{[ 10 ]} cuando${\displaystyle \nu \approx 1}$, siendo el límite la distribución de Poisson cuando${\displaystyle \nu >1}$y${\displaystyle P(N|\nu ,a)}$cuando${\displaystyle \nu \leq 1}$.

• Distribución estable
• Distribución de Poisson

• Feller, W. (1971) Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , Volumen 2. Wiley. ISBN 0-471-25709-5
• Gnedenko, BV ; Kolmogorov, AN (1954). Distribuciones límite para sumas de variables aleatorias independientes . Addison-Wesley.
• Ibragimov, I.; Linnik, Yu (1971). Secuencias independientes y estacionarias de variables aleatorias . Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, Países Bajos.