Glosario de geometría riemanniana y métrica

Este es un glosario de algunos términos utilizados en la geometría riemanniana y la geometría métrica ; no abarca la terminología de la topología diferencial .

Los siguientes artículos también pueden resultar útiles; contienen vocabulario especializado o proporcionan explicaciones más detalladas de las definiciones que aparecen a continuación.

• Conexión
• Curvatura
• Espacio métrico
• variedad riemanniana

Véase también:

• Glosario de topología general
• Glosario de geometría diferencial y topología
• Lista de temas de geometría diferencial

A menos que se indique lo contrario, las letras X , Y , Z a continuación denotan espacios métricos, M , N denotan variedades riemannianas, | xy | o${\displaystyle |xy|_{X}}$denota la distancia entre los puntos x e y en X. La palabra en cursiva denota una autorreferencia a este glosario.

Una advertencia : muchos términos en geometría riemanniana y métrica, como función convexa , conjunto convexo y otros, no tienen exactamente el mismo significado que en el uso matemático general.

conexión afín

El espacio de Alexandrov es una generalización de las variedades riemannianas con límites de curvatura superiores, inferiores o integrales (este último solo funciona en dimensión 2).

colector casi plano

La isometría por arcos es lo mismo que la isometría de trayectoria .

cono asintótico

Autoparalelo es lo mismo que totalmente geodésico . ^{[ 1 ]}

Espacio Banach

Baricentro , véase centro de masa .

Mapa de Bi-Lipschitz . Un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$Se denomina bi-Lipschitz si existen constantes positivas c y C tales que para cualquier x e y en X

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}.}$

Frontera en el infinito . En general, una construcción que puede considerarse como un espacio de direcciones en el infinito. Para ejemplos geométricos, véanse, por ejemplo, frontera hiperbólica , frontera de Gromov , frontera visual , frontera de Tits y frontera de Thurston . Véase también espacio proyectivo y compactificación .

Función de Busemann dada una rayo , γ : [ 0, ∞)→ X , la función de Busemann se define por$${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t).}$$

Conexión Cartan

El espacio de Cartan-Hadamard es una variedad riemanniana completa, simplemente conexa y de curvatura no positiva.

El teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que una variedad riemanniana completa, conexa y simplemente conexa con curvatura seccional no positiva es difeomorfa a R ⁿ mediante la aplicación exponencial; para espacios métricos, la afirmación de que un espacio métrico geodésico completo, conexo y simplemente conexo con curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov es un espacio CAT(0 ) (globalmente) .

Cartan (Élie) El matemático que da nombre a las variedades de Cartan-Hadamard , las subálgebras de Cartan y las conexiones de Cartan (que no debe confundirse con su hijo Henri Cartan ).

${\textstyle CAT(\kappa )}$espacio

Centro de masas . Un punto${\textstyle q\in M}$se denomina centro de masa ^{[ 2 ]} de los puntos${\textstyle p_{1},p_{2},\dots,p_{k}}$si es un punto de mínimo global de la función

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.}$

Dicho punto es único si todas las distancias${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$son menores que el radio de convexidad .

Cheeger constante

símbolo de Christoffel

Geometría gruesa

Colector colapsado

Variedad completa Según el teorema de Hopf-Rinow de Riemann , una variedad riemanniana es completa como espacio métrico si y solo si todas las geodésicas pueden extenderse infinitamente.

Espacio métrico completo

Terminación

espacio hiperbólico complejo

Una transformación conforme es una transformación que conserva los ángulos.

Una variedad M es conformemente plana si es localmente conformemente equivalente a un espacio euclidiano; por ejemplo, una esfera estándar es conformemente plana.

Conjugar dos puntos p y q en una geodésica${\displaystyle \gamma }$se llaman conjugados si hay un campo de Jacobi en${\displaystyle \gamma }$que tiene un cero en p y q .

Conexión

Función convexa . Una función f en una variedad riemanniana es convexa si para cualquier geodésica${\displaystyle \gamma }$la función${\displaystyle f\circ \gamma }$es convexa . Una función f se llama${\displaystyle \lambda }$-convexo si para cualquier geodésica${\displaystyle \gamma }$con parámetro natural${\displaystyle t}$, la función${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$es convexa .

Convexo Un subconjunto K de una variedad riemanniana M se llama convexo si para cualesquiera dos puntos en K hay un único camino más corto que los conecta y que se encuentra completamente en K, véase también totalmente convexo .

Radio de convexidad en un punto${\textstyle p}$de una variedad riemanniana es el supremo de los radios de las bolas centradas en${\textstyle p}$que son (totalmente) convexas . El radio de convexidad de la variedad es el ínfimo de los radios de convexidad en sus puntos; para una variedad compacta, este es un número positivo. ^{[ 3 ]} A veces se exige además que la función de distancia a${\textstyle p}$en estas bolas es convexo. ^{[ 4 ]}

haz cotangente

Derivada covariante

Complejo cúbico

Locus de corte

El diámetro de un espacio métrico es el supremo de las distancias entre pares de puntos.

Una superficie desarrollable es una superficie isométrica al plano.

La dilatación es igual a la constante de Lipschitz .

Conexión Ehresmann

Múltiple de Einstein

Geometría euclidiana

Mapa exponencial Mapa exponencial (teoría de Lie) , Mapa exponencial (geometría riemanniana)

Métrica de Finsler: Una generalización de las variedades riemannianas donde el producto escalar en el espacio tangente se reemplaza por una norma.

La primera forma fundamental para una incrustación o inmersión es el retroceso del tensor métrico .

colector plano

Una geodésica es una curva que minimiza localmente la distancia .

La ecuación geodésica es la ecuación diferencial cuyas soluciones locales son las geodésicas.

El flujo geodésico es un flujo en un fibrado tangente TM de una variedad M , generado por un campo vectorial cuyas trayectorias son de la forma${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$dónde${\displaystyle \gamma }$es una geodésica .

Convergencia de Gromov-Hausdorff

Espacio métrico hiperbólico de Gromov

El espacio métrico geodésico es un espacio métrico donde cualesquiera dos puntos son los extremos de una geodésica minimizadora .

El espacio de Hadamard es un espacio completo simplemente conexo con curvatura no positiva.

Dimensión de Hausdorff

distancia de Hausdorff

Medida de Hausdorff

espacio de Hilbert

Mapa de Hölder

El grupo de holonomía es el subgrupo de isometrías del espacio tangente obtenido como transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas.

Horósfera es un conjunto de nivel de la función de Busemann .

Geometría hiperbólica (véase también espacio hiperbólico riemanniano )

Enlace hiperbólico

Radio de inyectividad El radio de inyectividad en un punto p de una variedad riemanniana es el supremo de los radios para los cuales la aplicación exponencial en p es un difeomorfismo . El radio de inyectividad de una variedad riemanniana es el ínfimo de los radios de inyectividad en todos los puntos. ^{[ 5 ]} Véase también lugar de corte .

Para variedades completas, si el radio de inyectividad en p es un número finito r , entonces o bien hay una geodésica de longitud 2 r que comienza y termina en p , o bien hay un punto q conjugado a p (véase punto conjugado más arriba) y a una distancia r de p . ^{[ 6 ]} Para una variedad riemanniana cerrada , el radio de inyectividad es la mitad de la longitud mínima de una geodésica cerrada o la distancia mínima entre puntos conjugados en una geodésica.

Infranilmanifold Dado un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N que actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda y un grupo finito de automorfismos F de N, se puede definir una acción del producto semidirecto.${\displaystyle N\rtimes F}$en N . Un espacio de órbitas de N por un subgrupo discreto de${\textstyle N\rtimes F}$Una variedad que actúa libremente sobre N se denomina infranilvariedad . Una infranilvariedad está cubierta finitamente por una nilvariedad . ^{[ 7 ]}

La incrustación isométrica es una incrustación que preserva la métrica riemanniana.

La isometría es una aplicación sobreyectiva que conserva las distancias.

Función isoperimétrica de un espacio métrico${\textstyle X}$Miden "cuán eficientemente se contraen los bucles rectificables en relación con su longitud". Para el 2-complejo de Cayley de una presentación finita, son equivalentes a la función de Dehn de la presentación del grupo. Son invariantes bajo cuasisometrías. ^{[ 8 ]}

Métrica intrínseca

Campo de Jacobi Un campo de Jacobi es un campo vectorial en una geodésica γ que se puede obtener de la siguiente manera: Tomar una familia suave de geodésicas de un parámetro${\displaystyle \gamma _{\tau }}$con${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, entonces el campo de Jacobi se describe mediante

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

Curva de Jordan

Métrica de Kähler-Einstein

Métrica de Kähler

Campo vectorial letal

Conexión Koszul

La métrica de longitud es la misma que la métrica intrínseca .

Espacio de longitud

La conexión de Levi-Civita es una forma natural de diferenciar campos vectoriales en variedades riemannianas.

Conexión lineal

Enlace

La constante de Lipschitz de una aplicación es el ínfimo de números L tales que la aplicación dada es L - Lipschitz .

Convergencia de Lipschitz: la convergencia de espacios métricos definida por la distancia de Lipschitz .

La distancia de Lipschitz entre espacios métricos es el ínfimo de números r tales que existe una aplicación bi-Lipschitz biyectiva entre estos espacios con constantes exp(- r ), exp( r ). ^{[ 9 ]}

Mapa de Lipschitz

Espacio localmente simétrico

El mapa logarítmico , o logaritmo, es la inversa derecha del mapa exponencial. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Curvatura media

Pelota métrica

Tensor métrico

espacio Minkowski

La superficie mínima es una subvariedad con curvatura media cero (o vector de curvatura media).

Rigidez de Mostow en dimensión${\textstyle \geq 3}$Las variedades hiperbólicas compactas se clasifican según su grupo fundamental.

La parametrización natural es la parametrización por longitud . ^{[ 12 ]}

Un subconjunto S de un espacio métrico X se llama${\textstyle \epsilon }$-net si para cualquier punto en X hay un punto en S en la distancia${\textstyle \leq \epsilon }$. ^{[ 13 ]} Esto es distinto de las redes topológicas que generalizan límites.

Nilmanifold : Un elemento del conjunto mínimo de manifolds que incluye un punto y tiene la siguiente propiedad: cualquier orientación${\displaystyle S^{1}}$-fibrado sobre una nilvariedad es una nilvariedad. También se puede definir como un factor de un grupo de Lie nilpotente conexo por un retículo .

Paquete normal : asociado a una incrustación de una variedad M en un espacio euclidiano ambiente.${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$, el fibrado normal es un fibrado vectorial cuya fibra en cada punto p es el complemento ortogonal (en${\textstyle {\mathbb {R} }^{N}}$) del espacio tangente${\textstyle T_{p}M}$.

Un mapa que no se expande es igual que un mapa corto.

Orbifold

El fibrado de marcos ortonormales es el fibrado de bases del espacio tangente que son ortonormales para la métrica riemanniana.

Transporte paralelo

isometría de trayectoria

Espacio pre-Hilbert

espacio polaco

Espacio poliédrico un complejo simplicial con una métrica tal que cada simplex con métrica inducida es isométrico a un simplex en el espacio euclidiano .

La curvatura principal es la suma de las curvaturas normales máxima y mínima en un punto de una superficie.

La dirección principal es la dirección de las curvaturas principales .

Métrica del producto

Producto de la variedad riemanniana

Un espacio métrico propio es un espacio métrico en el que toda bola cerrada es compacta . De forma equivalente, si todo subconjunto cerrado y acotado es compacto. Todo espacio métrico propio es completo . ^{[ 14 ]}

variedad pseudoriemanniana

Subespacio cuasiconvexo de un espacio métrico${\textstyle X}$es un subconjunto${\textstyle Y\subseteq X}$de tal manera que exista${\textstyle K\geq 0}$de tal manera que para todos${\textstyle y,y'\in Y}$, para todos los segmentos geodésicos${\textstyle [y,y']}$y para todos${\textstyle z\in [y,y']}$,${\textstyle d(z,Y)\leq K}$. ^{[ 15 ]}

Cuasigeodésico tiene dos significados; aquí damos el más común. Un mapa${\displaystyle f:I\to Y}$(dónde${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$es un subintervalo) se llama cuasigeodésica si hay constantes${\displaystyle K\geq 1}$y${\displaystyle C\geq 0}$de tal manera que para cada${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

Cabe señalar que una curva cuasigeodésica no es necesariamente una curva continua.

Cuasi-isometría . Un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$Se denomina cuasi-isometría si existen constantes.${\displaystyle K\geq 1}$y${\displaystyle C\geq 0}$de tal manera que

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

y cada punto en Y tiene una distancia como máximo C de algún punto de f ( X ). Nótese que una cuasi-isometría no se asume que sea continua. Por ejemplo, cualquier aplicación entre espacios métricos compactos es una cuasi-isometría. Si existe una cuasi-isometría de X a Y, entonces se dice que X e Y son cuasi-isométricos .

El radio del espacio métrico es el ínfimo de los radios de las bolas métricas que contienen completamente el espacio. ^{[ 16 ]}

Ray es una geodésica infinita unilateral que minimiza en cada intervalo. ^{[ 17 ]}

Árbol real

Curva rectificable

Curvatura de Ricci

Riemann: El matemático que da nombre a la geometría riemanniana .

ángulo riemanniano

El tensor de curvatura de Riemann se define a menudo como el tensor (4, 0) del fibrado tangente de una variedad riemanniana.${\textstyle (M,g)}$como$${\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},}$$para${\textstyle p\in M}$y${\textstyle X,Y,Z,W\in T_{p}M}$(dependiendo de las convenciones,${\textstyle X}$y${\textstyle Y}$a veces se intercambian).

espacio hiperbólico riemanniano

variedad riemanniana

Subvariedad riemanniana Una subvariedad diferenciable cuya métrica riemanniana es la restricción de la métrica riemanniana ambiente (que no debe confundirse con la subvariedad riemanniana ).

La inmersión riemanniana es una aplicación entre variedades riemannianas que esa la vez inmersión y submetría .

Curvatura escalar

La segunda forma fundamental es una forma cuadrática en el espacio tangente de la hipersuperficie, usualmente denotada por II, una forma equivalente de describir el operador de forma de una hipersuperficie,

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle .}$

También puede generalizarse a una codimensión arbitraria, en cuyo caso es una forma cuadrática con valores en el espacio normal.

Curvatura seccional en un punto${\textstyle p}$de una variedad riemanniana${\textstyle M}$a lo largo del plano 2 generado por dos vectores linealmente independientes${\textstyle u,v\in T_{p}M}$es el número$${\displaystyle \sigma _{p}({Vect}(u,v))={\frac {R_{p}(u,v,v,u)}{g_{p}(u,u)g_{p}(v,v)-g_{p}(u,v)^{2}}}}$$dónde${\textstyle R_{p}}$es el tensor de curvatura escrito como${\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}}$, y${\textstyle {g_{p}}}$es la métrica riemanniana.

El operador de forma para una hipersuperficie M es un operador lineal en espacios tangentes, S _p : T _p M → T _p M . Si n es un campo normal unitario a M y v es un vector tangente, entonces 

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(no existe un acuerdo estándar sobre si usar + o − en la definición).

El mapa corto es un mapa de distancia no creciente.

colector liso

La variedad Sol es un factor de un grupo de Lie resoluble conexo mediante una red .

Geometría esférica

Submetría Una aplicación corta f entre espacios métricos se denomina submetría ^{[ 18 ]} si existe R > 0 tal que para cualquier punto x y radio r < R la imagen de la r -bola métrica es una r -bola, es decir$${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).}$$Variedad subriemanniana

Los espacios simétricos riemannianos son variedades riemannianas en las que la reflexión geodésica en cualquier punto es una isometría. Resultan ser cocientes de un grupo de Lie real por un subgrupo compacto maximal cuya álgebra de Lie es la subálgebra fija de la involución obtenida al diferenciar la simetría geodésica. Estos datos algebraicos son suficientes para proporcionar una clasificación de los espacios simétricos riemannianos.

Sístole La k -sístole de M ,${\textstyle syst_{k}(M)}$, es el volumen mínimo de k -ciclo no homólogo a cero.

haz tangente

cono tangente

Geometrías de Thurston Las ocho geometrías tridimensionales predichas por la conjetura de geometrización de Thurston , demostrada por Perelman:${\textstyle \mathbb {S} ^{3}}$,${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{2}}$,${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$,${\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} ^{2}}$,${\textstyle \mathbb {H} ^{3}}$,${\displaystyle \mathrm {Sol} }$,${\displaystyle \mathrm {Nil} }$, y${\textstyle {\widetilde {PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}$.

Límite de tetas

Totalmente convexo Un subconjunto K de una variedad riemanniana M se denomina totalmente convexo si para cualesquiera dos puntos en K cualquier geodésica que los conecte se encuentra completamente en K , véase también convexo . ^{[ 19 ]}

Una subvariedad totalmente geodésica es una subvariedad tal que todas las geodésicas de la subvariedad son también geodésicas de la variedad circundante. ^{[ 20 ]}

Espacio nivelado por árboles

Un espacio métrico geodésico único es un espacio métrico donde cualesquiera dos puntos son los extremos de una geodésica minimizadora única .

Variación

Formato volumétrico

La métrica de palabras en un grupo es una métrica del grafo de Cayley construido utilizando un conjunto de generadores.