función de Busemann

En topología geométrica , las funciones de Busemann se utilizan para estudiar la geometría a gran escala de las geodésicas en espacios de Hadamard y, en particular, en variedades de Hadamard ( variedades riemannianas completas simplemente conexas de curvatura no positiva). Reciben su nombre de Herbert Busemann , quien las introdujo y les dedicó un extenso tratamiento en su libro de 1955, "La geometría de las geodésicas".

Dejar${\displaystyle (X,d)}$Sea un espacio métrico . Un rayo geodésico es un camino.${\displaystyle \gamma$ :[0,\infty )\to X} que minimiza la distancia en todos los puntos a lo largo de su longitud. Es decir, para todo${\displaystyle t,t'\in [0,\infty )}$, $${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |}.}$$ De forma equivalente, un rayo es una isometría del "rayo canónico" (el conjunto${\displaystyle [0,\infty )}$equipado con la métrica euclidiana) en el espacio métrico X .

Dado un rayo γ , la función de Busemann${\displaystyle B_{\gamma }:X\to \mathbb {R} }$se define por

$${\displaystyle B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}}$$

Por lo tanto, cuando t es muy grande, la distancia${\displaystyle d{\big (}\gamma (t),x{\big )}}$es aproximadamente igual a${\displaystyle B_{\gamma }(x)+t}$Dado un rayo γ , su función de Busemann siempre está bien definida: de hecho, el lado derecho anterior${\displaystyle F_{t}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t}$, tiende puntualmente hacia el lado izquierdo en compacta, ya que${\displaystyle t-d(\gamma (t),x)=d(\gamma (t),\gamma (0))-d(\gamma (t),x)}$está delimitado superiormente por${\displaystyle d(\gamma (0),x)}$y no decreciente puesto que, si${\displaystyle s\leq t}$,

$${\displaystyle t-s+d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq t-s-d(\gamma (s),\gamma (t))=0.}$$

Es inmediato a partir de la desigualdad triangular que

$${\displaystyle |B_{\gamma }(x)-B_{\gamma }(y)|\leq d(x,y),}$$

de modo que${\displaystyle B_{\gamma }}$es uniformemente continua. Más específicamente, la estimación anterior muestra que

• Las funciones de Busemann son funciones de Lipschitz con constante 1. ^{[ 1 ]}

Según el teorema de Dini , las funciones${\displaystyle F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t}$tienden a${\displaystyle B_{\gamma }(x)}$uniformemente en conjuntos compactos cuando t tiende a infinito.

Dejar${\displaystyle D}$Sea el disco unitario en el plano complejo con la métrica de Poincaré.

$${\displaystyle ds^{2}={4\,|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}.}$$

Entonces, para${\displaystyle |z|<1}$y${\displaystyle |\zeta |=1}$, la función de Busemann viene dada por ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle B_{\zeta }(z)=-\log \left({1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),}$$

donde el término entre corchetes en el lado derecho es el núcleo de Poisson para el disco unitario y${\displaystyle \zeta }$corresponde a la geodésica radial${\displaystyle \gamma }$desde el origen hacia${\displaystyle \zeta }$, ${\displaystyle \gamma (t)=\zeta \tanh(t/2)}$. El cálculo de${\displaystyle d(x,y)}$puede reducirse a la de${\displaystyle d(z,0)=d(|z|,0)=2\operatorname {artanh} (|z|)=\log \left({\tfrac {1+|z|}{1-|z|}}\right)}$, ya que la métrica es invariante bajo transformaciones de Möbius en${\displaystyle SU(1,1)}$; las geodésicas a través de${\displaystyle 0}$tener la forma${\displaystyle \zeta g_{t}(0)}$dónde${\displaystyle g_{t}}$es el subgrupo de 1 parámetro de${\displaystyle SU(1,1)}$,

$${\displaystyle g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh(t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmatrix}}}$$

La fórmula anterior también determina completamente la función de Busemann mediante la invariancia de Möbius.

En un espacio de Hadamard , donde dos puntos cualesquiera están unidos por un único segmento geodésico, la función${\displaystyle F=F_{t}}$es convexa , es decir, convexa en segmentos geodésicos${\displaystyle [x,y]}$. Explícitamente esto significa que si${\displaystyle z(s)}$es el punto que divide${\displaystyle [x,y]}$en la razón s  : (1 − s ) , entonces${\displaystyle F(z(s))\leq sF(x)+(1-s)F(y)}$. Para fijo${\displaystyle a}$la función${\displaystyle d(x,a)}$es convexa y, por lo tanto, también lo son sus traslaciones; en particular, si${\displaystyle \gamma }$es un rayo geodésico en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle F_{t}}$es convexa. Dado que la función de Busemann${\displaystyle B_{\gamma }}$es el límite puntual de${\displaystyle F_{t}}$,

• Las funciones de Busemann son convexas en los espacios de Hadamard . ^{[ 3 ]}
• En un espacio Hadamard, las funciones${\displaystyle F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t}$convergen uniformemente a${\displaystyle B_{\gamma }}$uniformemente en cualquier subconjunto acotado de${\displaystyle X}$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Sea h ( t ) = d ( y ,γ( t )) − t = F _t ( y ) . Dado que${\displaystyle \gamma (t)}$está parametrizado por la longitud de arco, el primer teorema de comparación de Alexandrov para espacios de Hadamard implica que la función g ( t ) = d ( y ,γ( t )) ² − t ² es convexa. Por lo tanto, para 0< s < t

$${\displaystyle g(s)\leq (1-{s \over t})g(0)+{s \over t}g(t).}$$

De este modo

$${\displaystyle 2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},}$$

de modo que

$${\displaystyle |F_{s}(y)-F_{t}(y)|=|h(s)-h(t)|\leq {1 \over 2}(s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.}$$

Si hacemos que t tienda a ∞, se deduce que

$${\displaystyle |F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x,y)^{2} \over 2s},}$$

Por lo tanto, la convergencia es uniforme en conjuntos acotados.

Tenga en cuenta que la desigualdad anterior para${\displaystyle |F_{s}(y)-F_{t}(y)|}$(junto con su demostración) también se cumple para los segmentos geodésicos: si γ ( t ) es un segmento geodésico que comienza en x y está parametrizado por la longitud de arco, entonces

$${\displaystyle |d(y,\Gamma (s))-s-d(y,\Gamma (t))+t|\leq (s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.}$$

Supongamos ahora que x , y son puntos en un espacio de Hadamard, y sea δ ( s ) la geodésica que pasa por x con δ (0) = y y δ ( t ) = x , donde t = d ( x , y ) . Esta geodésica corta el límite de la bola cerrada B ( y , r ) en el punto δ ( r ) . Por lo tanto, si d ( x , y ) > r , hay un punto v con d ( y , v ) = r tal que d ( x , v ) = d ( x , y ) − r .

Esta condición persiste para las funciones de Busemann. El enunciado y la demostración de la propiedad para las funciones de Busemann se basan en un teorema fundamental sobre subconjuntos convexos cerrados de un espacio de Hadamard, que generaliza la proyección ortogonal en un espacio de Hilbert : si C es un conjunto convexo cerrado en un espacio de Hadamard X , entonces cada punto x en X tiene un único punto más cercano P ( x ) ≡ PC ₍ x ) en C y d ( P ( x ), P ( y )) ≤ d ( x , y ) ; además, a = P ( x ) está determinado unívocamente por la propiedad de que, para y en C ,

$${\displaystyle d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},}$$

de modo que el ángulo en a en el triángulo de comparación euclidiano para a , x , y sea mayor o igual que π /2 .

• Si h es una función de Busemann en un espacio de Hadamard, entonces, dado y en X y r > 0 , existe un único punto v con d(y,v) = r tal que h(v) = h(y) − r . Para un r > 0 fijo , el punto v es el punto más cercano de y al conjunto convexo cerrado C de puntos u tal que h(u) ≤ h(y) − r y, por lo tanto, depende continuamente de y . ^{[ 6 ]}

Sea v el punto más cercano a y en C. Entonces h ( v ) = h ( y ) − r y por lo tanto h es minimizado por v en B ( y , R ) donde R = d ( y , v ) y v es el único punto donde h es minimizado. Por la condición de Lipschitz r = | h ( y ) − h ( v )| ≤ R. Para probar la afirmación, basta con mostrar que R = r , es decir d ( y , v ) = r . Por otro lado, h es el límite uniforme en cualquier bola cerrada de funciones h _n . En B ( y , r ) , estas son minimizadas por puntos v _n con h _n ( v _n ) = h _n ( y ) − r . Por lo tanto, el ínfimo de h en B ( y , r ) es h ( y ) − r y h ( v _n ) tiende a h ( y ) − r . Así, h ( v _n ) = h ( y ) − r _n con r _n ≤ r y r _n tendiendo hacia r . Sea u _n el punto más cercano a y con h ( u _n ) ≤ h ( y ) − r _n . Sea R _n = d ( y , u _n ) ≤ r . Entonces h ( u _n ) = h ( y) − r _n , y, por la condición de Lipschitz sobre h , R _n ≥ r _n . En particular, R _n tiende a r . Pasando a una subsecuencia si es necesario, se puede suponer que r _n y R _n son ambos crecientes (a r ). La desigualdad para la optimización convexa implica que para n > m .

$${\displaystyle d(u_{n},u_{m})^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r|R_{n}-R_{m}|,}$$

de modo que u _n es una sucesión de Cauchy . Si u es su límite, entonces d ( y , u ) = r y h ( u ) = h ( y ) − r . Por unicidad se deduce que u = v y por lo tanto d ( y , v ) = r , como se requería.

Límites uniformes. El argumento anterior demuestra de forma más general que si d ( x _n , x ₀ ) tiende a infinito y las funciones h _n ( x ) = d ( x , x _n ) – d ( x _n , x ₀ ) tienden uniformemente en conjuntos acotados a h ( x ) , entonces h es convexa, Lipschitz con constante de Lipschitz 1 y, dado y en X y r > 0 , hay un único punto v con d ( y , v ) = r tal que h ( v ) = h ( y ) − r . Si por otro lado la sucesión ( x _n ) es acotada, entonces todos los términos se encuentran en alguna bola cerrada y la convergencia uniforme allí implica que ( x _n ) es una sucesión de Cauchy, por lo que converge a algún x _∞ en X . Así, h _n tiende uniformemente a h _∞ ( x ) = d ( x , x _∞ ) – d ( x _∞ , x ₀ ) , una función de la misma forma. El mismo argumento también muestra que la clase de funciones que satisfacen las mismas tres condiciones (ser convexas, Lipschitz y tener mínimos en bolas cerradas) es cerrada al tomar límites uniformes en conjuntos acotados.

Comentario. Nótese que, dado que cualquier subconjunto convexo cerrado de un subconjunto de Hadamard de un espacio de Hadamard es también un espacio de Hadamard, cualquier bola cerrada en un espacio de Hadamard es un espacio de Hadamard. En particular, no es necesario que cada segmento geodésico esté contenido en una geodésica definida en todo R o incluso en un intervalo semiinfinito [0, ∞ ) . La bola unitaria cerrada de un espacio de Hilbert proporciona un ejemplo explícito de un espacio que no es un espacio métrico propio.

• Si h es una función convexa, Lipschitz con constante 1 y h alcanza su mínimo en cualquier bola cerrada centrada en y con radio r en un único punto v en el límite con h(v) = h(y) − r , entonces para cada y en X hay un único rayo geodésico δ tal que δ (0) = y y δ corta cada conjunto convexo cerrado h ≤ h(y) – r con r > 0 en δ (r) , de modo que h( δ (t)) = h(y) – t . En particular, esto se cumple para cada función de Busemann. ^{[ 7 ]}

La tercera condición implica que v es el punto más cercano a y en el conjunto convexo cerrado C _r de puntos.${\displaystyle u}$tal que h ( u ) ≤ h ( y ) – r . Sea δ ( t ) para 0 ≤ t ≤ r la geodésica que une y con v . Entonces k ( t ) = h ( δ ( t )) - h ( y ) es una función Lipschitz convexa en [0, r ] con constante Lipschitz 1 que satisface k ( t ) ≤ – t y k (0) = 0 y k ( r ) = – r . Por lo tanto k se anula en todas partes, ya que si 0 < s < r , k ( s ) ≤ – s y | k (s)| ≤ s . Por lo tanto h ( δ ( t )) = h ( y ) – t . Por unicidad se deduce que δ ( t ) es el punto más cercano a y en C _t y que es el único punto que minimiza h en B ( y , t ) . La unicidad implica que estos segmentos geodésicos coinciden para cualquier r y, por lo tanto, que δ se extiende a un rayo geodésico con la propiedad indicada.

• Si h = h _γ , entonces el rayo geodésico δ que comienza en y satisface${\displaystyle \sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty }$. Si δ ₁ es otro rayo que comienza en y con${\displaystyle \sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty }$entonces δ ₁ = δ .

Para probar la primera afirmación, basta con comprobar esto para t suficientemente grande. En ese caso, γ( t ) y δ ( t − h ( y )) son las proyecciones de x e y sobre el conjunto convexo cerrado h ≤ − t . Por lo tanto, d ( γ ( t ), δ ( t − h ( y ))) ≤ d ( x , y ) . Por consiguiente , d ( γ ( t ), δ ( t )) ≤ d ( γ ( t ), δ ( t − h ( y ))) + d ( δ ( t − h ( y )), δ ( t )) ≤ d ( x , y ) + | h ( y )| . La segunda afirmación se deduce porque d ( δ ₁ ( t ), δ ( t )) es convexa y está acotada en [0, ∞ ) , por lo que, si se anula en t = 0 , debe anularse en todas partes.

• Supongamos que h es una función convexa continua y que para cada y en X existe un único rayo geodésico δ tal que δ (0) = y y δ corta cada conjunto convexo cerrado h ≤ h(y) – r con r > 0 en δ (r) , de modo que h( δ (t)) = h(y) – t ; entonces h es una función de Busemann. h − hδ _es una función constante. ^{[ 7 ]}

Sea C _r el conjunto convexo cerrado de puntos z con h ( z ) ≤ − r . Dado que X es un espacio de Hadamard para cada punto y en X hay un único punto más cercano P _r ( y ) a y en C _r . Depende continuamente de y y si y está fuera de C _r , entonces P _r ( y ) está en la hipersuperficie h ( z ) = − r —el límite ∂ C _r de C _r —y P _r ( y ) satisface la desigualdad de optimización convexa. Sea δ ( s ) el rayo geodésico que comienza en y .

Fijemos x en X. Sea γ ( s ) el rayo geodésico que comienza en x . Sea g ( z ) = hγ ( z ) , la función de Busemann para γ con punto base x . En particular, _g ( x ) = 0. Basta con demostrar que g = h – h ( x ) . Ahora tomemos y con h ( x ) = h ( y ) y sea δ ( t ) el rayo geodésico que comienza en y correspondiente a h . Entonces

$${\displaystyle d(x,y)\geq d(\gamma (t),\delta (t)),\,\,\,d(x,\delta (t))^{2}\geq d(x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.}$$

Por otro lado, para cualesquiera cuatro puntos a , b , c , d en un espacio de Hadamard, se cumple la siguiente desigualdad cuadrilátera de Reshetnyak :

$${\displaystyle |d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,c)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).}$$

Si establecemos a = x , b = y , c = γ ( t ) , d = δ ( t ) , se deduce que

$${\displaystyle |d(y,\gamma (t))^{2}-d(x,\gamma (t))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},}$$

de modo que

$${\displaystyle |d(y,\gamma (t))-d(x,\gamma (t))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\gamma (t))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.}$$

Por lo tanto, h _γ ( y ) = 0 . De manera similar, h _δ ( x ) = 0 . Por lo tanto, h _γ ( y ) = 0 en la superficie de nivel de h que contiene x . Ahora, para t ≥ 0 y z en X , sea α _t ( z ) = γ ₁ ( t ) el rayo geodésico que comienza en z . Entonces α _{s + t} = α _s ∘ α _t y h ∘ α _t = h − t . Además, por acotación, d (α _t ( u ),α _t ( v )) ≤ d ( u , v ) . El flujo α _s puede usarse para transportar este resultado a todas las superficies de nivel de h . Para un y ₁ general , si h ( y ₁ ) < h ( x ) , tome s > 0 tal que h (α _s ( x )) = h ( y ₁ ) y establezca x ₁ = α _s ( x ) . Entonces h _{γ 1} ( y ₁ ) = 0 , donde γ ₁ ( t ) = α _t ( x ₁ ) = γ( s + t ) . Pero entonces h _{γ 1} = h _γ – s , de modo que h _γ ( y ₁ ) = s . Por lo tanto g ( y ₁ ) = s = h ((α _s ( x )) – h ( x ) = h ( y ₁ ) – h ( x ) , como se requería. De manera similar sih ( y ₁ ) > h ( x ) , tomemos s > 0 tal que h (α _s ( y ₁ )) = h ( x ) . Sea y = α _s ( y ₁ ) . Entonces h _γ ( y ) = 0 , por lo que h _γ ( y ₁ ) = – s . Por lo tanto g ( y ₁ ) = – s = h ( y ₁ ) – h ( x ) , como se requería.

Finalmente, existen condiciones necesarias y suficientes para que dos geodésicas definan la misma función de Busemann salvo una constante:

• En un espacio de Hadamard, las funciones de Busemann de dos rayos geodésicos${\displaystyle \gamma _{1}}$y${\displaystyle \gamma _{2}}$difieren en una constante si y solo si${\displaystyle \sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty }$. ^{[ 8 ]}

Supongamos primero que γ y δ son dos rayos geodésicos con funciones de Busemann que difieren en una constante. Al desplazar el argumento de una de las geodésicas por una constante, se puede suponer que B _γ = B _δ = B , por ejemplo. Sea C el conjunto convexo cerrado en el que B ( x ) ≤ − r . Entonces B (γ( t )) = B _γ (γ( t )) = − t y de manera similar B (δ( t )) = − t . Entonces, para s ≤ r , los puntos γ( s ) y δ( s ) tienen puntos más cercanos γ( r ) y δ( r ) en C , de modo que d (γ( r ), δ( r )) ≤ d (γ( s ), δ( s )) . Por lo tanto, sup _{t ≥ 0} d (γ( t ), δ( t )) < ∞ .

Ahora supongamos que sup _{t ≥ 0} d (γ ₁ ( t ), γ ₂ ( t )) < ∞ . Sea δ _i ( t ) el rayo geodésico que comienza en y asociado con h _{γ i} . Entonces sup _{t ≥ 0} d (γ _i ( t ), δ _i ( t )) < ∞ . Por lo tanto sup _{t ≥ 0} d (δ ₁ ( t ), δ ₂ ( t )) < ∞ . Dado que δ ₁ y δ ₂ comienzan en y , se deduce que δ ₁ ( t ) ≡ δ ₂ ( t ) . Por el resultado anterior h _{γ i} y h _{δ i} difieren en una constante; por lo tanto h _{γ 1} y h _{γ 2} difieren en una constante.

En resumen, los resultados anteriores dan la siguiente caracterización de las funciones de Busemann en un espacio de Hadamard: ^{[ 7 ]}

TEOREMA. En un espacio de Hadamard, las siguientes condiciones sobre una función f son equivalentes:

• h es una función de Busemann.
• h es una función convexa, Lipschitz con constante 1 y h toma su mínimo en cualquier bola cerrada centrada en y con radio r en un único punto v en el límite con h(v) = h(y) − r .
• h es una función convexa continua y para cada y en X hay un único rayo geodésico δ tal que δ(0) = y y, para cualquier r > 0 , el rayo δ corta cada conjunto convexo cerrado h ≤ h(y) – r en δ(r) .

En la sección anterior se demostró que si X es un espacio de Hadamard y x ₀ es un punto fijo en X, entonces la unión del espacio de funciones de Busemann que se anulan en x ₀ y el espacio de funciones h _y ( x ) = d ( x , y ) − d ( x ₀ , y ) es cerrado al tomar límites uniformes en conjuntos acotados. Este resultado puede formalizarse en la noción de bordificación de X. ^{[ 9 ]} En esta topología , los puntos x _n tienden a un rayo geodésico γ que comienza en x ₀ si y solo si d ( x ₀ , x _n ) tiende a ∞ y para t > 0 arbitrariamente grande la secuencia obtenida al tomar el punto en cada segmento [ x ₀ , x _n ] a una distancia t de x ₀ tiende a γ( t ) .

Si X es un espacio métrico, la bordificación de Gromov se puede definir como sigue. Fijemos un punto x ₀ en X y sea X _N = B ( x ₀ , N ) . Sea Y = C ( X ) el espacio de funciones continuas de Lipschitz en X , es decir, aquellas para las cuales | f ( x ) – f ( y ) | ≤ A d ( x , y ) para alguna constante A > 0 . El espacio Y puede ser topologizado por las seminormas ‖ f ‖ _N = sup _{X N} | f | , la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados. Las seminormas son finitas por las condiciones de Lipschitz. Esta es la topología inducida por el mapeo natural de C ( X ) en el producto directo de los espacios de Banach C _b ( X _N ) de funciones continuas acotadas en X _N . Está dada por la métrica D ( f , g ) = Σ 2 ^{− N} ‖ f − g ‖ _N (1 + ‖ f − g ‖ _N ) ⁻¹ .

El espacio X se incrusta en Y enviando x a la función f _x ( y ) = d ( y , x ) – d ( x ₀ , x ) . Sea X la clausura de X en Y . Entonces X es metrizable, ya que Y lo es, y contiene a X como un subconjunto abierto; además, las bordificaciones que surgen de diferentes elecciones de punto base son naturalmente homeomorfas. Sea h ( x ) = ( d ( x , x ₀ ) + 1) ⁻¹ . Entonces h está en C ₀ ( X ) . Es distinto de cero en X y se anula solo en ∞ . Por lo tanto, se extiende a una función continua en X con conjunto cero X \ X . De ello se deduce que X \ X es cerrado en X , como se requiere. Para comprobar que X = X ( x ₀ ) es independiente del punto base, basta con demostrar que k ( x ) = d ( x , x ₀ ) − d ( x , x ₁ ) se extiende a una función continua en X . Pero k ( x ) = f _x ( x ₁ ) , por lo que, para g en X , k ( g ) = g ( x ₁ ) . Por lo tanto, la correspondencia entre las compactificaciones para x ₀ y x ₁ viene dada enviando g en X ( x ₀ ) a g + g ( x ₁ )1 en X ( x ₁ ) .

Cuando X es un espacio de Hadamard, el límite ideal de Gromov ∂ X = X \ X puede realizarse explícitamente como "límites asintóticos" de rayos geodésicos usando funciones de Busemann. Si x _n es una sucesión no acotada en X con h _n ( x ) = d ( x , x _n ) − d ( x _n , x ₀ ) que tiende a h en Y , entonces h se anula en x ₀ , es convexa, Lipschitz con constante de Lipschitz 1 y tiene mínimo h ( y ) − r en cualquier bola cerrada B ( y , r ) . Por lo tanto, h es una función de Busemann B _γ correspondiente a un único rayo geodésico γ que comienza en x ₀ .

Por otro lado, h _n tiende a B _γ uniformemente en conjuntos acotados si y solo si d ( x ₀ , x _n ) tiende a ∞ y para t > 0 arbitrariamente grande la secuencia obtenida al tomar el punto en cada segmento [ x ₀ , x _n ] a una distancia t de x ₀ tiende a γ( t ) . Para d ( x ₀ , x _n ) ≥ t , sea x _n ( t ) el punto en [ x ₀ , x _n ] con d ( x ₀ , x _n ( t )) = t . Supongamos primero que h _n tiende a B _γ uniformemente en B ( x ₀ , R ) . Entonces para t ≤ R , | h _n (γ( t )) – B _γ (γ( t ))|= d (γ( t ), x _n ) – d ( x _n , x ₀ ) + t . Esta es una función convexa . Se anula cuando t = 0 y por lo tanto es creciente. Así que se maximiza en t = R . Entonces para cada t , | d (γ( t ), x _n ) – d ( x _n , x ₀ ) – t | tiende hacia 0. Sea a = X ₀ , b = γ( t ) y c = x _n . Entonces d ( c , a ) – d ( c , b ) está cerca de d (a , b ) con d ( c , a ) grande. Por lo tanto, en la comparación euclidiana, el triángulo CA - CB está cerca de AB con CA grande. Así que el ángulo en A es pequeño. Por lo tanto, el punto D en AC a la misma distancia que AB se encuentra cerca de B. Por lo tanto, por el primer teorema de comparación para triángulos geodésicos, d ( x _n ( t ), γ( t )) es pequeño. Recíprocamente, supongamos que para t y n fijos suficientemente grandes , d ( x _n ( t ), γ( t )) tiende a 0. Entonces, de lo anterior, F _s ( y ) = d ( y , γ( s )) – s satisface

$${\displaystyle |F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over 2s},}$$

Por lo tanto, basta con demostrar que en cualquier conjunto acotado h _n ( y ) = d ( y , x _n ) – d ( x ₀ , x _n ) es uniformemente cercano a F _s ( y ) para n suficientemente grande. ^{[ 10 ]}

Para una bola fija B ( x ₀ , R ) , fijemos s de modo que R ² / s ≤ ε . La afirmación es entonces una consecuencia inmediata de la desigualdad para segmentos geodésicos en un espacio de Hadamard, ya que

$${\displaystyle |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over s}\leq \varepsilon .}$$

Por lo tanto, si y en B ( x ₀ , R ) y n es suficientemente grande como para que d ( x _n ( s ),γ( s )) ≤ ε , entonces

$${\displaystyle |h_{n}(y)-B_{\gamma }(y)|=|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y)|\leq |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s),\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq 3\varepsilon .}$$

Supongamos que x e y son puntos en una variedad de Hadamard y sea γ ( s ) la geodésica que pasa por x con γ (0) = y . Esta geodésica corta el límite de la bola cerrada B ( y , r ) en los dos puntos γ(± r ) . Por lo tanto, si d ( x , y ) > r , existen puntos u y v tales que d ( y , u ) = d ( y , v ) = r que | d ( x , u ) − d ( x , v )| = 2r . Por continuidad, esta condición se mantiene para las funciones de Busemann:

• Si h es una función de Busemann en una variedad de Hadamard, entonces, dado y en X y r > 0 , existen puntos únicos u y v tales que d(y,u) = d(y,v) = r que h(u) = h(y) + r y h(v) = h(y) − r . Para un r > 0 fijo , los puntos u y v dependen continuamente de y . ^{[ 3 ]}

Tomando una sucesión t _{n que} tiende a ∞ y h _n = F _{t n} , hay puntos u _n y v _n que satisfacen estas condiciones para h _n para n suficientemente grande. Pasando a una subsucesión si es necesario, se puede suponer que u _n y v _n tienden a u y v . Por continuidad, estos puntos satisfacen las condiciones para h . Para probar la unicidad, observe que por compacidad h toma su máximo y mínimo en B ( y , r ) . La condición de Lipschitz muestra que los valores de h allí difieren en como máximo 2 r . Por lo tanto , h se minimiza en v y se maximiza en u . Por otro lado, d ( u , v ) = 2 r y para u y v los puntos v y u son los puntos únicos en B ( y , r ) que maximizan esta distancia. La condición de Lipschitz sobre h entonces implica inmediatamente u y v deben ser los puntos únicos en B ( y , r ) que maximizan y minimizan h . Supongamos ahora que y _n tiende a y . Entonces, los puntos correspondientes u _n y v _n se encuentran en una bola cerrada, por lo que admiten subsucesiones convergentes. Pero debido a la unicidad de u y v, cualquier subsucesión de este tipo debe tender a u y v , de modo que u _n y v _n deben tender a u y v , estableciendo así la continuidad.

El resultado anterior se cumple de forma más general en un espacio de Hadamard. ^{[ 6 ]}

• Si h es una función de Busemann en una variedad de Hadamard, entonces h es continuamente diferenciable con ‖ dh(y) ‖ = 1 para todo y . ^{[ 3 ]}

A partir de las propiedades previas de h , para cada y existe una geodésica única γ( t ) parametrizada por la longitud de arco con γ(0) = y tal que h ∘ γ( t ) = h ( y ) + t . Tiene la propiedad de que corta ∂B ( y , r ) en t = ± r : en la notación anterior γ( r ) = u y γ(–r ) = v . El campo vectorial Vh _está definido por el vector unitario${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$en y es continua, porque u es una función continua de y y la aplicación que envía ( x , v ) a ( x ,exp _x v ) es un difeomorfismo de TX sobre X × X por el teorema de Cartan-Hadamard . Sea δ( s ) otra geodésica parametrizada por la longitud de arco que pasa por y con δ(0) = y . Entonces dh ∘ δ (0)/ ds =${\displaystyle ({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))}$En efecto, sea H ( x ) = h ( x ) − h ( y ) , de modo que H ( y ) = 0 . Entonces

$${\displaystyle |H(\delta (s))-H(x)|\leq d(\delta (s),x).}$$

Aplicando esto con x = u y v , se deduce que para s > 0

$${\displaystyle (r-d(\delta (s),u))/s\leq (h(\delta (s))-h(y))/s\leq (d(\delta (s),v)-r)/s.}$$

Los términos externos tienden a${\displaystyle ({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))}$Cuando s tiende a 0, el término medio tiene el mismo límite, como se afirma. Un argumento similar se aplica para s < 0 .

La afirmación sobre los términos externos se deriva de la primera fórmula de variación para la longitud de arco, pero puede deducirse directamente de la siguiente manera. Sea ${\displaystyle a={\dot {\delta }}(0)}$y${\displaystyle b={\dot {\gamma }}(0)}$, ambos vectores unitarios. Entonces, para los vectores tangentes p y q en y en la bola unitaria ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\|p-q\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}}$$

con ε uniformemente acotado. Sea s = t ³ y r = t ² . Entonces

$${\displaystyle (d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+\varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.}$$

El lado derecho aquí tiende a ( a , b ) cuando t tiende a 0 ya que

$${\displaystyle {d \over dt}\|b+ta\||_{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\|b+ta\|^{2}|_{t=0}=(a,b).}$$

El mismo método funciona para los demás términos.

Por lo tanto, se deduce que h es una función C ^{1 con} dh dual al campo vectorial V _h , de modo que ‖ dh ( y ) ‖ = 1 . El campo vectorial V _h es, por lo tanto, el campo vectorial gradiente para h . Las geodésicas que pasan por cualquier punto son las líneas de flujo para el flujo α _t para V _h , de modo que α _t es el flujo gradiente para h .

TEOREMA. En una variedad de Hadamard X, las siguientes condiciones sobre una función continua h son equivalentes: ^{[ 3 ]}

1. h es una función de Busemann.
2. h es una función convexa de Lipschitz con constante 1, y para cada y en X hay puntos u _± a una distancia r de y tales que h(u _± ) = h(y) ± r .
3. h es una función convexa C ¹ con ‖ dh(x) ‖ ≡ 1 .

Ya se ha demostrado que (1) implica (2).

Los argumentos anteriores muestran mutatis mutandi que (2) implica (3).

Por lo tanto, resta demostrar que (3) implica (1). Fijemos x en X. Sea α _t el flujo gradiente para h . Se deduce que h ∘ α _t ( x ) = h ( x ) + t y que γ( t ) = α _t ( x ) es una geodésica que pasa por x parametrizada por la longitud de arco con γ(0) = x . En efecto, si s < t , entonces

$${\displaystyle |s-t|=|h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x))|\leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|s-t|,}$$

de modo que d (γ( s ),γ( t )) = | s − t | . Sea g ( y ) = h _γ ( y ) , la función de Busemann para γ con punto base x . En particular g ( x ) = 0 . Para demostrar (1), basta con mostrar que g = h – h ( x )1 .

Sea C (− r ) el conjunto convexo cerrado de puntos z con h ( z ) ≤ − r . Como X es un espacio de Hadamard, para cada punto y en X hay un único punto más cercano P _r ( y ) a y en C (- r ) . Depende continuamente de y y si y está fuera de C (- r ) , entonces P _r ( y ) está en la hipersuperficie h ( z ) = − r —el límite ∂ C (– r ) de C (– r ) —y la geodésica de y a P _r ( y ) es ortogonal a ∂ C (– r ) . En este caso la geodésica es simplemente α _t ( y ) . De hecho, el hecho de que α _t sea el flujo gradiente de h y las condiciones ‖ dh ( y ) ‖ ≡ 1 implican que las líneas de flujo α _t ( y ) son geodésicas parametrizadas por la longitud de arco y cortan las curvas de nivel de h ortogonalmente. Tomando y con h ( y ) = h ( x ) y t > 0 ,

$${\displaystyle d(x,y)\geq d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y)),\,\,\,d(x,\alpha _{t}(y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.}$$

Por otro lado, para cualesquiera cuatro puntos a , b , c , d en un espacio de Hadamard, se cumple la siguiente desigualdad cuadrilátera de Reshetnyak :

$${\displaystyle |d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).}$$

Si establecemos a = x , b = y , c = α _t ( x ) , d = α _t ( y ) , se deduce que

$${\displaystyle |d(y,\alpha _{t}(x))^{2}-d(x,\alpha _{t}(x))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},}$$

de modo que

$${\displaystyle |d(y,\alpha _{t}(x))-d(x,\alpha _{t}(x))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.}$$

Por lo tanto, h _γ ( y ) = 0 en la superficie de nivel de h que contiene x . El flujo α _s puede usarse para transportar este resultado a todas las superficies de nivel de h . Para un y ₁ general, tomemos s tal que h (α _s ( x )) = h ( y ₁ ) y establezcamos x ₁ = α _s ( x ) . Entonces h _{γ 1} ( y ₁ ) = 0 , donde γ ₁ ( t ) = α _t ( x ₁ ) = γ( s + t ) . Pero entonces h _{γ 1} = h _γ – s , de modo que h _γ ( y ₁ ) = s . Por lo tanto, g ( y ₁ ) = s = h ((α _s ( x )) – h ( x ) = h ( y ₁ ) – h ( x ) , como se requiere.

Nótese que este argumento podría simplificarse utilizando el hecho de que dos funciones de Busemann h _γ y h _δ difieren en una constante si y solo si los rayos geodésicos correspondientes satisfacen sup _{t ≥ 0} d (γ( t ),δ( t )) < ∞ . En efecto, todas las geodésicas definidas por el flujo α _t satisfacen esta última condición, por lo que difieren en constantes. Dado que a lo largo de cualquiera de estas geodésicas h es lineal con derivada 1, h debe diferir de estas funciones de Busemann en constantes.

Eberlein & O'Neill (1973) defined a compactification of a Hadamard manifoldX which uses Busemann functions. Their construction, which can be extended more generally to proper (i.e. locally compact) Hadamard spaces, gives an explicit geometric realisation of a compactification defined by Gromov—by adding an "ideal boundary"—for the more general class of proper metric spacesX, those for which every closed ball is compact. Note that, since any Cauchy sequence is contained in a closed ball, any proper metric space is automatically complete.^[12] The ideal boundary is a special case of the ideal boundary for a metric space. In the case of Hadamard spaces, this agrees with the space of geodesic rays emanating from any fixed point described using Busemann functions in the bordification of the space.

If X is a proper metric space, Gromov's compactification can be defined as follows. Fix a point x₀ in X and let X_N = B(x₀,N). Let Y = C(X) be the space of Lipschitz continuous functions on X, .e. those for which | f(x) – f(y) | ≤ Ad(x,y) for some constant A > 0. The space Y can be topologised by the seminorms ‖f‖_N = sup_XN | f |, the topology of uniform convergence on compacta. This is the topology induced by the natural map of C(X) into the direct product of the Banach spaces C(X_N). It is give by the metric D(f,g) = Σ 2^−N‖f − g‖_N(1 + ‖f − g‖_N)⁻¹.

El espacio X se incrusta en Y enviando x a la función f _x ( y ) = d ( y , x ) – d ( x ₀ , x ) . Sea X el cierre de X en Y . Entonces X es compacto (metrisable) y contiene a X como un subconjunto abierto; además, las compactificaciones que surgen de diferentes elecciones de punto base son naturalmente homeomorfas. La compacidad se deduce del teorema de Arzelà–Ascoli ya que la imagen en C ( X _N ) es equicontinua y uniformemente acotada en norma por N . Sea x _n una sucesión en X ⊂ X que tiende a y en X \ X . Entonces todos los términos excepto un número finito deben estar fuera de X _N ya que X _N es compacto, de modo que cualquier subsucesión convergería a un punto en X _N ; por lo tanto, la sucesión x _n debe ser no acotada en X . Sea h ( x ) = ( d ( x , x ₀ ) + 1) ⁻¹ . Entonces h se encuentra en C ₀ ( X ) . Es distinto de cero en X y se anula solo en ∞ . Por lo tanto, se extiende a una función continua en X con conjunto cero X \ X . De ello se deduce que X \ X es cerrado en X , como se requiere. Para comprobar que la compactificación X = X ( x ₀ ) es independiente del punto base, basta con demostrar que k ( x ) = d ( x , x ₀ ) − d ( x , x ₁ ) se extiende a una función continua en X . Pero k ( x ) = f _x ( x _{1 )}) , por lo tanto, para g en X , k ( g ) = g ( x ₁ ) . Por lo tanto, la correspondencia entre las compactificaciones para x ₀ y x ₁ viene dada enviando g en X ( x ₀ ) a g + g ( x ₁ )1 en X ( x ₁ ) .

Cuando X es una variedad de Hadamard (o, más generalmente, un espacio de Hadamard propio), la frontera ideal de Gromov ∂ X = X \ X puede realizarse explícitamente como "límites asintóticos" de geodésicas mediante el uso de funciones de Busemann. Fijando un punto base x ₀ , existe una geodésica única γ( t ) parametrizada por la longitud de arco tal que γ(0) = x ₀ y${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$es un vector unitario dado. Si B _γ es la función de Busemann correspondiente, entonces B _γ se encuentra en ∂ X ( x ₀ ) e induce un homeomorfismo de la esfera unitaria ( n − 1) sobre ∂ X ( x ₀ ) , enviando${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$a B _γ .

Antes de discutir los espacios CAT(-1), esta sección describirá el teorema de Efremovich-Tikhomirova para el disco unitario D con la métrica de Poincaré. Afirma que las cuasi-isometrías de D se extienden a los homeomorfismos cuasi-Möbius del disco unitario con la métrica euclidiana. El teorema constituye el prototipo de la teoría más general de los espacios CAT(-1). Su teorema original fue demostrado en una forma ligeramente menos general y menos precisa en Efremovich y Tikhomirova (1964) y aplicado a los homeomorfismos bi-Lipschitz del disco unitario para la métrica de Poincaré; ^{[ 26 ]} Anteriormente, en el artículo póstumo Mori (1957) , el matemático japonés Akira Mori había demostrado un resultado relacionado dentro de la teoría de Teichmüller que aseguraba que todo homeomorfismo cuasiconforme del disco es continuo de Hölder y, por lo tanto, se extiende continuamente a un homeomorfismo del círculo unitario (se sabe que esta extensión es cuasi-Möbius). ^{[ 27 ]}