modelo de disco de Poincaré

En geometría , el modelo del disco de Poincaré , también llamado modelo de disco conforme , es un modelo de geometría hiperbólica bidimensional en el que todos los puntos están dentro del disco unitario , y las líneas rectas son arcos circulares contenidos dentro del disco que son ortogonales al círculo unitario o diámetros del círculo unitario.

El grupo de isometrías que preservan la orientación del modelo de disco viene dado por el grupo unitario especial proyectivo PSU(1,1) , el cociente del grupo unitario especial SU(1,1) por su centro { I , − I } .

Junto con el modelo de Klein y el modelo del semiplano de Poincaré , fue propuesto por Eugenio Beltrami , quien utilizó estos modelos para demostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana . Recibe su nombre de Henri Poincaré , porque su redescubrimiento de esta representación catorce años después se hizo más conocido que el trabajo original de Beltrami. ^{[ 1 ]}

El modelo de la bola de Poincaré es un modelo similar para la geometría hiperbólica de 3 o n dimensiones en el que los puntos de la geometría están en la bola unitaria de n dimensiones .

El modelo de disco fue descrito por primera vez por Bernhard Riemann en una conferencia de 1854 (publicada en 1868), que inspiró un artículo de 1868 de Eugenio Beltrami . ^{[ 2 ]} Henri Poincaré lo empleó en su tratamiento de 1882 de las funciones hiperbólicas, parabólicas y elípticas, ^{[ 3 ]} pero se hizo ampliamente conocido después de la presentación de Poincaré en su tratado filosófico de 1905, Ciencia e hipótesis . ^{[ 4 ]} Allí describe un mundo, ahora conocido como el disco de Poincaré, en el que el espacio era euclidiano, pero que parecía a sus habitantes satisfacer los axiomas de la geometría hiperbólica:

"Supongamos, por ejemplo, un mundo encerrado en una gran esfera y sujeto a las siguientes leyes: La temperatura no es uniforme; es máxima en su centro y disminuye gradualmente a medida que nos acercamos a la circunferencia de la esfera, donde es cero absoluto . La ley de esta temperatura es la siguiente: Si${\displaystyle R}$sea ​​el radio de la esfera, y${\displaystyle r}$La distancia del punto considerado desde el centro, la temperatura absoluta será proporcional a${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$Además, supondré que en este mundo todos los cuerpos tienen el mismo coeficiente de dilatación , de modo que la dilatación lineal de cualquier cuerpo es proporcional a su temperatura absoluta. Finalmente, asumiré que un cuerpo transportado de un punto a otro de diferente temperatura se encuentra instantáneamente en equilibrio térmico con su nuevo entorno. Si construyen una geometría, no será como la nuestra, que es el estudio de los movimientos de nuestros sólidos invariables; será el estudio de los cambios de posición que habrán distinguido, y serán «desplazamientos no euclidianos», y esta será geometría no euclidiana . De modo que seres como nosotros, educados en un mundo así, no tendrán la misma geometría que la nuestra. ^{[ 4 ]} (pp. 65-68)

El disco de Poincaré fue una pieza importante de evidencia para la hipótesis de que la elección de la geometría espacial es convencional más que fáctica, especialmente en las influyentes discusiones filosóficas de Rudolf Carnap ^{[ 5 ]} y de Hans Reichenbach . ^{[ 6 ]}

Las líneas rectas hiperbólicas o geodésicas están formadas por todos los arcos de círculos euclidianos contenidos dentro del disco que son ortogonales al límite del disco, más todos los diámetros del disco.

Las distancias en este modelo son métricas de Cayley-Klein . Dados dos puntos distintos p y q dentro del disco, la única línea hiperbólica que los conecta interseca el límite en dos puntos ideales , a y b . Etiquételos de manera que los puntos sean, en orden, a , p , q , b , es decir, de manera que | aq | > | ap | y | pb | > | qb | .

La distancia hiperbólica entre p y q es entonces ^{[ 7 ].}

$${\displaystyle d(p,q)=\ln {\frac {\left|aq\right|\,\left|pb\right|}{\left|ap\right|\,\left|qb\right|}}.}$$

Las barras verticales indican la longitud euclidiana del segmento de línea que conecta los puntos entre ellos en el modelo (no a lo largo del arco del círculo); ln es el logaritmo natural .

De forma equivalente, si u y v son dos vectores en el espacio vectorial real n -dimensional R ⁿ con la norma euclidiana usual, ambos con norma menor que 1, entonces podemos definir un invariante isométrico mediante

${\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert uv\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}\,,}$

dónde${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$denota la norma euclidiana usual. Entonces la función de distancia es

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert uv\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{aligned}}}$

Dicha función de distancia se define para cualesquiera dos vectores de norma menor que uno, y convierte el conjunto de dichos vectores en un espacio métrico que es un modelo del espacio hiperbólico de curvatura constante −1. El modelo posee la propiedad conforme de que el ángulo entre dos curvas que se intersecan en el espacio hiperbólico es el mismo que el ángulo en el modelo.

Especializando al caso en que uno de los puntos es el origen y la distancia euclidiana entre los puntos es r , la distancia hiperbólica es: $${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r}$$dónde${\displaystyle \operatorname {artanh} }$es la función hiperbólica inversa de la tangente hiperbólica . Si los dos puntos se encuentran en el mismo radio y punto${\displaystyle x'=(r',\theta )}$se encuentra entre el origen y el punto${\displaystyle x=(r,\theta )}$, su distancia hiperbólica es$${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r').}$$ Esto se reduce al caso especial anterior si${\displaystyle r'=0}$.

El tensor métrico asociado del modelo del disco de Poincaré viene dado por ^{[ 8 ].}

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\,\lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

donde x _i son las coordenadas cartesianas del espacio euclidiano ambiente. (En comparación, la ecuación para la métrica correspondiente de la proyección estereográfica de la esfera unitaria parece equivalente, salvo por una diferencia de signo en el denominador).

Un marco ortonormal con respecto a esta métrica riemanniana viene dado por

${\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}{\Bigl (}1-|\mathbf {x} |^{2}{\Bigr )}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$

con coframe dual de 1-formas

${\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1-|\mathbf {x} |{\vphantom {l}}^{2}}}\,dx^{i}.}$

Podemos calcular el ángulo entre el arco circular cuyos extremos ( puntos ideales ) están dados por los vectores unitarios u y v , y el arco cuyos extremos son s y t , mediante una fórmula. Dado que los puntos ideales son los mismos en el modelo de Klein y en el modelo del disco de Poincaré, las fórmulas son idénticas para ambos modelos.

Si las líneas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = − u y t = − s , entonces simplemente estamos hallando el ángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es

${\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,.}$

Si v = − u pero no t = − s , la fórmula se convierte, en términos del producto exterior (${\displaystyle \wedge }$),

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}},}$

dónde

${\displaystyle P=u\cdot (st)\,,}$

${\displaystyle Q=u\cdot u\,,}$

${\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

Si ambas cuerdas no son diámetros, se obtiene la fórmula general.

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}\,,}$

dónde

${\displaystyle P=(uv)\cdot (st)-(u\wedge v)\cdot (s\wedge t)\,,}$

${\displaystyle Q=(uv)\cdot (uv)-(u\wedge v)\cdot (u\wedge v)\,,}$

${\displaystyle R=(st)\cdot (st)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\,.}$

Utilizando la identidad de Binet-Cauchy y el hecho de que estos son vectores unitarios, podemos reescribir las expresiones anteriores únicamente en términos del producto escalar , como

${\displaystyle P=(uv)\cdot (st)+(u\cdot t)(v\cdot s)-(u\cdot s)(v\cdot t)\,.}$

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\,,}$

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,.}$

En el plano euclidiano, los círculos generalizados (curvas de curvatura constante) son líneas y círculos. En la esfera , son el círculo mayor y el menor . En el plano hiperbólico, existen cuatro tipos distintos de círculos o ciclos generalizados : círculos, horociclos, hiperciclos y geodésicas (o «líneas hiperbólicas»). En el modelo del disco de Poincaré, todos ellos están representados por líneas rectas o círculos.

Un círculo euclidiano:

• que está completamente dentro del disco es un círculo hiperbólico ;
• que está dentro del disco y es tangente al límite es un horociclo ;
• que interseca el límite ortogonalmente es una línea hiperbólica ; y
• que interseca el límite de forma no ortogonal es un hiperciclo .

Una cuerda euclidiana del círculo límite:

• que pasa por el centro es una línea hiperbólica; y
• que no pasa por el centro es un hiperciclo.

Horóscopos

Un horociclo (una curva cuyas geodésicas normales o perpendiculares son paralelas límite , convergiendo asintóticamente al mismo punto ideal ) es un círculo dentro del disco tangente al círculo límite del mismo. El punto donde toca el círculo límite no forma parte del horociclo. Es un punto ideal y constituye el centro hiperbólico del horociclo. Además, es el punto al que convergen todas las geodésicas perpendiculares.

En el modelo del disco de Poincaré, los puntos euclidianos que representan los extremos opuestos de un horociclo convergen hacia su centro en el círculo límite, pero en el plano hiperbólico cada punto de un horociclo se encuentra infinitamente lejos de su centro, y los extremos opuestos del horociclo no están conectados. (La intuición euclidiana puede resultar engañosa porque la escala del modelo aumenta hasta el infinito en el círculo límite).

MC Escher exploró el concepto de representar el infinito en un plano bidimensional. Las conversaciones con el matemático canadiense Harold Scott MacDonald Coxeter alrededor de 1956 inspiraron el interés de Escher en las teselaciones hiperbólicas , que son recubrimientos regulares del plano hiperbólico. Los grabados en madera de Escher Circle Limit I–IV demuestran este concepto entre 1958 y 1960, siendo el último Circle Limit IV: Heaven and Hell en 1960. ^{[ 9 ]} Según Bruno Ernst, el mejor de ellos es Circle Limit III .

HyperRogue , un juego tipo roguelike, utiliza el plano hiperbólico para la geometría de su mundo, y también emplea el modelo del disco de Poincaré.

• Métrica de Poincaré
• Pseudosfera
• Geometría inversa
• Teselaciones uniformes en el plano hiperbólico

• James W. Anderson, Geometría hiperbólica , segunda edición, Springer, 2005.
• Eugenio Beltrami, Teoria fundamentale degli spazii di curvatura costante , Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232–255.
• Saul Stahl, El semiplano de Poincaré , Jones and Bartlett, 1993.

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