Hiperciclo (geometría)

En geometría hiperbólica , un hiperciclo , hipercírculo o curva equidistante es una curva cuyos puntos tienen la misma distancia ortogonal a una línea recta dada (su eje).

Dada una línea recta L y un punto P que no pertenece a L , se puede construir un hiperciclo tomando todos los puntos Q que se encuentran en el mismo lado de L que P , con una distancia perpendicular a L igual a la de P. La línea L se denomina eje , centro o línea base del hiperciclo. Las líneas perpendiculares a L , que también son perpendiculares al hiperciclo, se denominan normales del hiperciclo. Los segmentos de las normales entre L y el hiperciclo se denominan radios . Su longitud común se denomina distancia o radio del hiperciclo. ^{[ 1 ]}

Los hiperciclos que pasan por un punto dado y que comparten una tangente que pasa por ese punto convergen hacia un horociclo a medida que sus distancias tienden al infinito.

Los hiperciclos tienen algunas propiedades similares a las de las líneas en la geometría euclidiana :

• En un plano, dado un eje (línea) y un punto que no está en ese eje, solo hay un hiperciclo que pasa por ese punto con el eje dado (compárese con el axioma de Playfair para la geometría euclidiana).
• No hay tres puntos de un hiperciclo que se encuentren sobre un círculo.
• Un hiperciclo es simétrico a cualquier línea perpendicular a él. (Reflejar un hiperciclo en una línea perpendicular a él da como resultado el mismo hiperciclo).

Los hiperciclos en geometría hiperbólica tienen algunas propiedades similares a las de los círculos en geometría euclidiana :

• Una línea perpendicular a una cuerda de un hiperciclo en su punto medio es un radio y biseca el arco subtendido por la cuerda.

  Sea AB la cuerda y M su punto medio.

  Por simetría, la línea R que pasa por M y es perpendicular a AB debe ser ortogonal al eje L.

  Por lo tanto, R es un radio.

  Además, por simetría, R bisecará el arco AB .

• El eje y la distancia de un hiperciclo están determinados de forma única .

  Supongamos que un hiperciclo C tiene dos ejes diferentes L ₁ , L ₂ .

  _{Utilizando la propiedad anterior dos veces con cuerdas diferentes} , podemos determinar dos radios distintos R₁ _y R₂ . Estos radios deberán ser perpendiculares a _L₁ y L₂ , _{lo que} nos dará un rectángulo. Esto es una contradicción, ya que el rectángulo es una figura imposible _en geometría hiperbólica .

• Dos hiperciclos tienen distancias iguales si y solo si son congruentes.

  Si tienen la misma distancia, solo necesitamos hacer coincidir los ejes mediante un movimiento rígido y también coincidirán todos los radios; dado que la distancia es la misma, también coincidirán los puntos de los dos hiperciclos.

  Recíprocamente, si son congruentes, la distancia debe ser la misma por la propiedad anterior.

• Una línea recta corta un hiperciclo en como máximo dos puntos.

  Sea la recta K un segmento que corta el hiperciclo C en dos puntos A y B. Como antes, podemos construir el radio R de C a través del punto medio M de AB . Nótese que K es ultraparalela al eje L porque tienen una perpendicular común R. Además, dos rectas ultraparalelas tienen una distancia mínima en la perpendicular común y distancias que aumentan monótonamente a medida que nos alejamos de ella.

  Esto significa que los puntos de K dentro de AB tendrán una distancia de L menor que la distancia común de A y B a L , mientras que los puntos de K fuera de AB tendrán una distancia mayor. En conclusión, ningún otro punto de K puede estar en C.

• Dos hiperciclos se intersecan en como máximo dos puntos.

  Sean C ₁ , C ₂ hiperciclos que se intersecan en tres puntos A, B, C .

  Si R ₁ es la línea ortogonal a AB que pasa por su punto medio, sabemos que es un radio de C ₁ y C ₂ .

  De manera similar construimos R ₂ , el radio que pasa por el punto medio de BC .

  R ₁ , R ₂ son simultáneamente ortogonales a los ejes L ₁ , L ₂ de C ₁ , C ₂ , respectivamente.

  Ya hemos demostrado que entonces L ₁ , L ₂ deben coincidir (de lo contrario tenemos un rectángulo).

  Entonces C ₁ , C ₂ tienen el mismo eje y al menos un punto común, por lo tanto tienen la misma distancia y coinciden.

• No hay tres puntos de un hiperciclo que sean colineales.

  Si los puntos A, B, C de un hiperciclo son colineales, entonces las cuerdas AB , BC están en la misma línea K. Sean R ₁ , R ₂ los radios que pasan por los puntos medios de AB , BC . Sabemos que el eje L del hiperciclo es la perpendicular común de R ₁ , R ₂ .

  Pero K es esa perpendicular común . Entonces la distancia debe ser 0 y el hiperciclo degenera en una línea.

• La longitud de un arco de un hiperciclo entre dos puntos es
  • más largo que la longitud del segmento de línea entre esos dos puntos,
  • más corto que la longitud del arco de uno de los dos horociclos entre esos dos puntos, y
  • más corto que cualquier arco de círculo entre esos dos puntos.
• Un hiperciclo y un horociclo se cruzan en un máximo de dos puntos.
• Un hiperciclo de radio r con sinh²r = 1 induce una cuasi-simetría del plano hiperbólico por inversión. (Dicho hiperciclo interseca su eje en un ángulo de π/4). Específicamente, un punto P en un semiplano abierto del eje se invierte en P' cuyo ángulo de paralelismo es el complemento del de P. Esta cuasi-simetría se generaliza a espacios hiperbólicos de dimensión superior, donde facilita el estudio de variedades hiperbólicas. Se utiliza ampliamente en la clasificación de cónicas en el plano hiperbólico, donde se la ha denominado inversión escindida . Aunque conforme, la inversión escindida no es una simetría verdadera, ya que intercambia el eje con el borde del plano y, por supuesto, no es una isometría.

En el plano hiperbólico de curvatura constante −1, la longitud de un arco de un hiperciclo se puede calcular a partir del radio r y la distancia entre los puntos donde las normales intersecan con el eje d usando la fórmula l = d cosh r . ^{[ 2 ]}

En el modelo del disco de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos se representan mediante líneas y arcos circulares que intersecan el círculo límite en ángulos distintos de 90 grados. La representación del eje interseca el círculo límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.

En el modelo del semiplano de Poincaré del plano hiperbólico, los hiperciclos se representan mediante líneas y arcos circulares que intersecan la línea límite en ángulos distintos de 90 grados. La representación del eje interseca la línea límite en los mismos puntos, pero en ángulos rectos.

Las clases de congruencia de las parábolas de Steiner en el plano hiperbólico están en correspondencia biunívoca con los hiperciclos en un semiplano H dado de un eje dado. En una geometría de incidencia, la cónica de Steiner en un punto P producida por una colineación T es el lugar geométrico de intersecciones L ∩ T ( L ) para todas las líneas L que pasan por P . Este es el análogo de la definición de Steiner de una cónica en el plano proyectivo sobre un cuerpo . Las clases de congruencia de las cónicas de Steiner en el plano hiperbólico están determinadas por la distancia s entre P y T ( P ) y el ángulo de rotación φ inducido por T alrededor de T ( P ) . Cada parábola de Steiner es el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un foco F es igual a la distancia a una directriz de hiperciclo que no es una línea. Suponiendo un eje común para los hiperciclos, la ubicación de F está determinada por φ de la siguiente manera. Fijando sinh s = 1 , las clases de parábolas están en correspondencia biunívoca con φ ∈ (0, π/2) . En el modelo de disco conforme, cada punto P es un número complejo con | P | < 1. Sea el eje común la recta real y supongamos que los hiperciclos están en el semiplano H con Im P > 0. Entonces el vértice de cada parábola estará en H , y la parábola es simétrica con respecto a la recta que pasa por el vértice y es perpendicular al eje. Si el hiperciclo está a una distancia d del eje, con${\displaystyle \tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},}$entonces $${\displaystyle F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.}$$ En particular, F = 0 cuando φ = π/4 . En este caso, el foco está en el eje; equivalentemente, la inversión en el hiperciclo correspondiente deja H invariante. Este es el caso armónico , es decir, la representación de la parábola en cualquier modelo inverso del plano hiperbólico es una curva armónica de género 1 .

• Martin Gardner , Geometría no euclidiana , Capítulo 4 de El libro colosal de las matemáticas , WW Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
• MJ Greenberg, Geometrías euclidianas y no euclidianas: desarrollo e historia , 3.ª edición, WH Freeman, 1994.
• George E. Martin, Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano , Springer-Verlag, 1975.
• JG Ratcliffe, Fundamentos de las variedades hiperbólicas , Springer, Nueva York, 1994.
• David C. Royster, Hiperciclos y Horociclos .
• J. Sarli, Cónicas en el plano hiperbólico intrínsecas al grupo de colineación, J. Geom. 103: 131-138 (2012)