Ángulo de paralelismo

En geometría hiperbólica , ángulo de paralelismo${\displaystyle \Pi (a)}$es el ángulo en el vértice no recto de un triángulo hiperbólico rectángulo con dos lados asintóticamente paralelos . El ángulo depende de la longitud del segmento a entre el ángulo recto y el vértice del ángulo de paralelismo.

Dado un punto que no está en una línea, trace una perpendicular a la línea desde ese punto. Sea a la longitud de este segmento perpendicular, y${\displaystyle \Pi (a)}$Sea el ángulo más pequeño tal que la línea trazada a través del punto no interseca la línea dada. Dado que dos lados son asintóticamente paralelos,

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ y }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

Hay cinco expresiones equivalentes que se relacionan${\displaystyle \Pi (a)}$y un :

${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},}$

${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),}$

donde sinh, cosh, tanh, sech y csch son funciones hiperbólicas y gd es la función de Gudermann .

János Bolyai descubrió una construcción que da la paralela asintótica s a una línea r que pasa por un punto A que no está en r . ^{[ 1 ]} Traza una perpendicular desde A a B en r . Elige cualquier punto C en r distinto de B. Erige una perpendicular t a r en C. Traza una perpendicular desde A a D en t . Entonces la longitud DA es mayor que CB , pero menor que CA. Dibuja un círculo alrededor de C con radio igual a DA . Intersecará el segmento AB en un punto E. Entonces el ángulo BEC es independiente de la longitud BC , dependiendo solo de AB ; es el ángulo de paralelismo. Construye s a través de A en el ángulo BEC desde AB .

${\displaystyle \sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.}$

Consulte Trigonometría de triángulos rectángulos para ver las fórmulas utilizadas aquí.

El ángulo del paralelismo fue desarrollado en 1840 en la publicación alemana "Geometrische Untersuchungen zur Theory der Parallellinien" de Nikolai Lobachevsky .

Esta publicación se dio a conocer ampliamente en inglés después de que el profesor texano GB Halsted realizara una traducción en 1891. ( Investigaciones geométricas sobre la teoría de las paralelas )

Los siguientes pasajes definen este concepto fundamental en la geometría hiperbólica:

El ángulo HAD entre la paralela HA y la perpendicular AD se llama ángulo de paralelismo, que aquí designaremos por Π(p) para AD = p . ^{[ 2 ] : 13 [ 3 ]}

En el modelo del semiplano de Poincaré del plano hiperbólico (véase Movimientos hiperbólicos ), se puede establecer la relación de Φ con a mediante la geometría euclidiana . Sea Q el semicírculo con diámetro en el eje x que pasa por los puntos (1,0) y (0, y ), donde y > 1. Dado que Q es tangente al semicírculo unitario centrado en el origen, los dos semicírculos representan líneas hiperbólicas paralelas . El eje y cruza ambos semicírculos, formando un ángulo recto con el semicírculo unitario y un ángulo variable Φ con Q. El ángulo en el centro de Q subtendido por el radio a (0, y ) también es Φ porque los dos ángulos tienen lados perpendiculares, lado izquierdo con lado izquierdo y lado derecho con lado derecho. El semicírculo Q tiene su centro en ( x , 0), x < 0, por lo que su radio es 1 − x . Por lo tanto, el radio al cuadrado de Q es    

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},}$

por eso

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(1-y^{2}).}$

La métrica del modelo del semiplano de Poincaré de la geometría hiperbólica parametriza la distancia en el rayo {(0, y ) : y > 0 } con medida logarítmica . Sea a la distancia hiperbólica de (0, y ) a (0, 1) , entonces: log y − log 1 = a , por lo que y = e ^a donde e es la base del logaritmo natural . Entonces, la relación entre Φ y a se puede deducir del triángulo {( x , 0), (0, 0), (0, y )}, por ejemplo:          

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{-x}}={\frac {2y}{y^{2}-1}}={\frac {2e^{a}}{e^{2a}-1}}={\frac {1}{\sinh a}}.}$

• Marvin J. Greenberg (1974) Geometrías euclidianas y no euclidianas , págs.  211-213 , WH Freeman & Company .
• Robin Hartshorne (1997) Companion to Euclid pp.  319,  325, American Mathematical Society , ISBN 0821807978.
• Jeremy Gray (1989) Ideas del espacio: euclidiano, no euclidiano y relativista , 2.ª edición, Clarendon Press , Oxford (véanse las páginas 113 a 118).
• Béla Kerékjártó (1966) Les Fondements de la Géométry , Tome Deux, §97.6 Angle de parallélisme de la géométry hyperbolique, págs. 411,2, Akademiai Kiado, Budapest.