Disco (matemáticas)

En geometría , un disco ( también escrito disco ) ^{[ 1 ]} es la región en un plano delimitada por un círculo . Se dice que un disco es cerrado si contiene el círculo que constituye su límite, y abierto si no lo contiene. ^{[ 2 ]}

Para un radio${\displaystyle r}$, un disco abierto se suele denotar como${\displaystyle D_{r}}$y un disco cerrado es${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$Sin embargo, en el campo de la topología , el disco cerrado se suele denotar como${\displaystyle D^{2}}$, mientras que el disco abierto es${\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}$.

En coordenadas cartesianas , el disco abierto con centro${\displaystyle (a,b)}$y el radio R viene dado por la fórmula ^{[ 1 ]}$${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\},}$$ mientras que el disco cerrado con el mismo centro y radio viene dado por $${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}$$

El área de un disco cerrado o abierto de radio ^R es π R² (véase área de un disco ). ^{[ 3 ]}

El disco tiene simetría circular . ^{[ 4 ]}

El disco abierto y el disco cerrado no son topológicamente equivalentes (es decir, no son homeomorfos ), ya que tienen propiedades topológicas diferentes entre sí. Por ejemplo, todo disco cerrado es compacto , mientras que todo disco abierto no lo es. ^{[ 5 ]} Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica, comparten muchas propiedades: ambos son contraíbles ^{[ 6 ]} y, por lo tanto, son homotópicamente equivalentes a un solo punto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales, y todos los grupos de homología son triviales excepto el de orden 0, que es isomorfo a Z. La característica de Euler de un punto (y, por lo tanto, también la de un disco cerrado o abierto) es 1. ^{[ 7 ]}

Toda aplicación continua del disco cerrado a sí mismo tiene al menos un punto fijo (no requerimos que la aplicación sea biyectiva ni siquiera sobreyectiva ); este es el caso n =2 del teorema del punto fijo de Brouwer . ^{[ 8 ]} La afirmación es falsa para el disco abierto: ^{[ 9 ]}

Consideremos, por ejemplo, la función ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ que asigna cada punto del disco unitario abierto a otro punto del disco unitario abierto a la derecha del punto dado. Pero para el disco unitario cerrado, fija cada punto en el semicírculo.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

En estadística, a veces se encuentra una distribución uniforme en un disco circular unitario. Su uso más frecuente se da en la investigación operativa aplicada a la planificación urbana, donde puede emplearse para modelar una población urbana. Otros usos aprovechan la facilidad con la que se puede calcular la probabilidad de que se cumpla un conjunto de desigualdades lineales. ( Las distribuciones gaussianas en el plano requieren cuadratura numérica ).

"Un ingenioso argumento a través de funciones elementales" muestra que la distancia euclidiana media entre dos puntos en el disco es ⁠ 128 / 45π ⁠ ≈ 0,90541 , ^{[ 10 ]} mientras que la integración directa en coordenadas polares muestra que la distancia cuadrática media es 1 .

Si se nos da una ubicación arbitraria a una distancia q del centro del disco, también es de interés determinar la distancia promedio b ( q ) desde los puntos de la distribución a esta ubicación y el cuadrado promedio de dichas distancias. Este último valor se puede calcular directamente como q ² + 1 / 2 .

Distancia promedio a un punto interno arbitrario

Para hallar b ( q ) necesitamos examinar por separado los casos en los que la ubicación es interna o externa, es decir, en los que q ≶ 1 , y encontramos que en ambos casos el resultado solo puede expresarse en términos de integrales elípticas completas .

Si consideramos una ubicación interna, nuestro objetivo (observando el diagrama) es calcular el valor esperado de r bajo una distribución cuya densidad es 1 / π para 0 ≤ r ≤ s ( θ) , integrando en coordenadas polares centradas en la ubicación fija para la cual el área de una celda es r d r dθ ; por lo tanto , $${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

Aquí s (θ) se puede encontrar en términos de q y θ usando la Ley de los cosenos . Los pasos necesarios para evaluar la integral, junto con varias referencias, se encontrarán en el artículo de Lew et al.; ^{[ 10 ]} el resultado es que $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$ donde K y E son integrales elípticas completas de primer y segundo tipo. ^{[ 11 ]} b (0) = ⁠ 2 / 3 ⁠ ; b (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠ ≈ 1.13177 .

Distancia promedio a un punto externo arbitrario

Pasando a una ubicación externa, podemos plantear la integral de manera similar, obteniendo esta vez

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$ donde la ley de los cosenos nos dice que s ₊ (θ) y s _– (θ) son las raíces de s de la ecuación $${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$ Por eso $${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$ Podemos sustituir u = q sinθ para obtener $${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$ utilizando integrales estándar. ^{[ 12 ]}

Por lo tanto, nuevamente b (1) = ⁠ 32 / 9π ⁠ , mientras que también ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

• Disco unitario , un disco con radio uno.
• Anillo (matemáticas) , la región entre dos círculos concéntricos.
• Bola (matemáticas) , término habitual para el análogo tridimensional de un disco.
• Álgebra de disco , un espacio de funciones en un disco.
• Segmento circular
• Disco ortocentroide , que contiene ciertos centros de un triángulo.