Álgebra de discos

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y complejo , el álgebra de discos A ( D ) (también escrito álgebra de discos ) es el conjunto de funciones holomorfas.

ƒ  : D → ,${\displaystyle \mathbb {C}}$

(donde D es el disco unitario abierto en el plano complejo ) que se extienden a una función continua en el cierre de D . Es decir, ${\displaystyle \mathbb {C}}$

${\displaystyle A(\mathbf {D} )=H^{\infty }(\mathbf {D} )\cap C({\overline {\mathbf {D} }}),}$

donde H ^∞ ( D ) denota el espacio de Banach de funciones analíticas acotadas en el disco unitario D (es decir, un espacio de Hardy ). Cuando se le dota de la adición puntual ( ƒ  +  g )( z ) =  ƒ ( z ) +  g ( z ), y la multiplicación puntual ( ƒg )( z ) =  ƒ ( z ) g ( z ), este conjunto se convierte en un álgebra sobre C , ya que si ƒ y g pertenecen al álgebra de discos, entonces también lo hacen ƒ  +  g y  ƒg .

Dada la norma uniforme ,

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbf {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbf {D} }}\},}$

Por construcción se convierte en un álgebra uniforme y un álgebra de Banach conmutativa .

Por construcción, el álgebra de discos es una subálgebra cerrada del espacio de Hardy H ^∞ . En contraste con el requisito más fuerte de que existe una extensión continua al círculo, es un lema de Fatou que un elemento general de H ^∞ puede extenderse radialmente al círculo casi en todas partes .