Métodos H-infinito en teoría de control

Los métodos H _∞ (es decir, " H -infinito ")se utilizan en la teoría de control para sintetizar controladores que logren la estabilización con un rendimiento garantizado. Para utilizar los métodos H _∞ , un diseñador de control expresa el problema de control como un _{problema de} optimización matemática y luego encuentra el controlador que resuelve dicha optimización. Las técnicas H _∞ tienen la ventaja sobre las técnicas de control clásicas de que son fácilmente aplicables a problemas que involucran sistemas multivariados con acoplamiento cruzado entre canales; las desventajas de las técnicas H _∞ incluyen el nivel de conocimiento matemático necesario para aplicarlas con éxito y la necesidad de un modelo razonablemente bueno del sistema a controlar. Es importante tener en cuenta que el controlador resultante solo es óptimo con respecto a la función de costo prescrita y no necesariamente representa el mejor controlador en términos de las medidas de rendimiento habituales utilizadas para evaluar controladores, como el tiempo de establecimiento, la energía consumida, etc. Además, las restricciones no lineales, como la saturación, generalmente no se manejan bien. Estos métodos fueron introducidos en la teoría de control a finales de la década de 1970 y principios de la de 1980 por George Zames (minimización de la sensibilidad), ^{[ 1 ]} J. William Helton (adaptación de banda ancha), ^{[ 2 ]} y Allen Tannenbaum (optimización del margen de ganancia). ^{[ 3 ]}

La expresión « control H _∞» proviene del nombre del espacio matemático sobre el que se realiza la optimización: H _∞ es el espacio de Hardy de funciones matriciales analíticas y acotadas en la mitad derecha abierta del plano complejo definidas por Re( s ) > 0; la norma H _∞ es el supremo singular de la matriz sobre dicho espacio. En el caso de una función escalar, los elementos del espacio de Hardy que se extienden continuamente hasta la frontera y son continuos en el infinito constituyen el álgebra de disco . Para una función matricial, la norma puede interpretarse como una ganancia máxima en cualquier dirección y a cualquier frecuencia; para sistemas SISO , esto equivale a la magnitud máxima de la respuesta en frecuencia.   

Las técnicas H _∞ pueden utilizarse para minimizar el impacto de una perturbación en el lazo cerrado: según la formulación del problema, el impacto se medirá en términos de estabilización o rendimiento. Optimizar simultáneamente el rendimiento robusto y la estabilización robusta es difícil. Un método que se acerca a lograrlo es el modelado de lazo H _∞ , que permite al diseñador de control aplicar conceptos clásicos de modelado de lazo a la respuesta en frecuencia multivariable para obtener un buen rendimiento robusto, y luego optimizar la respuesta cerca del ancho de banda del sistema para lograr una buena estabilización robusta.

Existen programas informáticos comerciales que permiten la síntesis de controladores H _∞ .

En primer lugar, el proceso debe representarse de acuerdo con la siguiente configuración estándar:

La planta P tiene dos entradas: la entrada exógena w , que incluye la señal de referencia y las perturbaciones, y las variables manipuladas u . Tiene dos salidas: las señales de error z , que queremos minimizar, y las variables medidas v , que usamos para controlar el sistema. v se usa en K para calcular las variables manipuladas u . Nótese que todas estas son generalmente vectores , mientras que P y K son matrices .

En las fórmulas, el sistema es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle u=\mathbf {K} (s)\,v}$

Por lo tanto, es posible expresar la dependencia de z con respecto a w como:

${\displaystyle z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w}$

Denominada transformación fraccionaria lineal inferior , ${\displaystyle F_{\ell }}$está definido (el subíndice proviene de menor ):

${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}}$

Por lo tanto, el objetivo de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$El diseño de control consiste en encontrar un controlador.${\displaystyle \mathbf {K} }$de tal manera que${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$se minimiza según el${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$norma. La misma definición se aplica a${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$Diseño de control. La norma infinito de la matriz de función de transferencia.${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )}$se define como:

${\displaystyle ||F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega ))}$

dónde${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$es el valor singular máximo de la matriz${\displaystyle F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )(j\omega )}$.

La norma H _∞ alcanzable del sistema de lazo cerrado viene dada principalmente por la matriz D ₁₁ (cuando el sistema P se da en la forma ( A , B ₁ , B ₂ , C ₁ , C ₂ , D ₁₁ , D ₁₂ , D ₂₂ , D ₂₁ )). Hay varias maneras de llegar a un controlador H _{∞ :}

• Una parametrización de Youla-Kucera del lazo cerrado suele dar lugar a un controlador de orden muy alto.
• Los métodos basados ​​en Riccati resuelven dos ecuaciones de Riccati para encontrar el controlador, pero requieren varias suposiciones simplificadoras.
• Una reformulación de la ecuación de Riccati basada en la optimización utiliza desigualdades matriciales lineales y requiere menos suposiciones.

• Producto Blaschke
• Espacio resistente
• Cuadrado H
• Conformación de bucles en H-infinito
• Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG)
• Matriz del sistema de Rosenbrock