Cuadrado H

En matemáticas y teoría de control , H² o H-cuadrado es un espacio de Hardy ^con norma cuadrada. Es un subespacio del espacio L² y, por lo tanto, es un ^espacio de Hilbert . En particular, es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor .

En general, los elementos de L ² en el círculo unitario están dados por

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{en\varphi }}$

mientras que los elementos de H ² vienen dados por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{en\varphi }.}$

La proyección de L ² a H ² (estableciendo n ₌  0  cuando n  <  0) es ortogonal.

La transformada de Laplace${\displaystyle {\mathcal {L}}}$dado por

${\displaystyle [{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}$

puede entenderse como un operador lineal

${\displaystyle {\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)}$

dónde${\displaystyle L^{2}(0,\infty)}$es el conjunto de funciones de cuadrado integrable en la recta numérica real positiva, y${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo , en el sentido de que es invertible, y es isométrico , en el sentido de que satisface

${\displaystyle \|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.}$

La transformada de Laplace es la "mitad" de una transformada de Fourier; a partir de la descomposición

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )}$

Luego se obtiene una descomposición ortogonal de${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$en dos espacios Hardy

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).}$

Esto es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .

• Espacio resistente
• H _∞
• Operador de turno unilateral

• Jonathan R. Partington, «Operadores lineales y sistemas lineales: un enfoque analítico de la teoría de control», London Mathematical Society Student Texts 60 , (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.