Colector casi plano

En matemáticas, una variedad compacta suave M se llama casi plana si para cualquier hay una métrica de Riemann en M tal que y es -plana, es decir, para la curvatura seccional de tenemos . $\varepsilon >0$ ${\ Displaystyle g _ {\ varepsilon}}$ ${\mbox{diámetro}}(M,g_{\varepsilon })\leq 1$ ${\ Displaystyle g _ {\ varepsilon}}$ ${\estilo de visualización \varepsilon}$ $K_{g_{\varepsilon }}$ $|K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon$

Dado n , existe un número positivo tal que si una variedad n -dimensional admite una métrica -plana con diámetro , entonces es casi plana. Por otra parte, se puede fijar el límite de la curvatura seccional y hacer que el diámetro tienda a cero, por lo que la variedad casi plana es un caso especial de una variedad colapsante , que colapsa en todas las direcciones. $\varepsilon _ {n}>0$ $\varepsilon _ {n}$ $\leq 1$

Según el teorema de Gromov-Ruh , M es casi plana si y solo si es infranil . En particular, es un factor finito de una nilvariedad , que es el espacio total de un fibrado de toros principales sobre un fibrado de toros principales sobre un toro.

Referencias

Hermann Karcher. Informe sobre las variedades casi planas de M. Gromov. Séminaire Bourbaki (1978/79), Exp. No. 526, págs. 21–35, Lecture Notes in Math., 770, Springer, Berlín, 1980.
Peter Buser y Hermann Karcher. Las variedades casi planas de Gromov. Astérisque, 81. Société Mathématique de France, París, 1981. 148 págs.
Peter Buser y Hermann Karcher. El caso de Bieberbach en el teorema de la variedad casi plana de Gromov. Geometría diferencial global y análisis global (Berlín, 1979), págs. 82-93, Lecture Notes in Math., 838, Springer, Berlín-Nueva York, 1981.
Gromov, M. (1978), "Variedades casi planas", Journal of Differential Geometry , 13 (2): 231–241, doi : 10.4310/jdg/1214434488 , MR 0540942.
Ruh, Ernst A. (1982), "Variedades casi planas", Journal of Differential Geometry , 17 (1): 1–14, doi : 10.4310/jdg/1214436698 , MR 0658470.