Locus de corte

En geometría diferencial , el lugar geométrico de corte de un punto p en una variedad es la clausura del conjunto de todos los demás puntos de la variedad que están conectados a p por dos o más geodésicas más cortas distintas . ^{[ 1 ]} De manera más general, el lugar geométrico de corte de un conjunto cerrado X en la variedad es la clausura del conjunto de todos los demás puntos de la variedad conectados a X por dos o más geodésicas más cortas distintas.

En el plano euclidiano , un punto p tiene un lugar geométrico de corte vacío, porque todos los demás puntos están conectados a p por una geodésica única (el segmento de línea que une los puntos).

En la esfera , el lugar geométrico de corte de un punto consiste en el único punto antipodal diametralmente opuesto a él.

En un cilindro infinitamente largo , el lugar geométrico de corte de un punto consiste en la línea opuesta a dicho punto.

Sea X el límite de un polígono simple en el plano euclidiano. El lugar geométrico de corte de X en el interior del polígono es su eje medial . Los puntos sobre el eje medial son los centros de discos que tocan el límite del polígono en dos o más puntos, correspondientes a dos o más caminos más cortos hacia el centro del disco.

Sea x un punto en la superficie de un poliedro convexo P. El lugar geométrico de corte de x en la superficie del poliedro se conoce como el árbol de crestas de P con respecto a x . Este árbol de crestas tiene la propiedad de que al cortar la superficie a lo largo de sus aristas, P se despliega en un polígono plano simple. Este polígono puede considerarse como el desarrollo plano del poliedro.

Fijar un punto${\displaystyle p}$en una variedad riemanniana completa${\displaystyle (M,g)}$y consideremos el espacio tangente${\displaystyle T_{p}M}$Es un resultado estándar que para suficientemente pequeño${\displaystyle v}$en${\displaystyle T_{p}M}$, la curva definida por el mapa exponencial riemanniano ,${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$para${\displaystyle t}$perteneciente al intervalo${\displaystyle [0,1]}$es una geodésica minimizadora , y es la única geodésica minimizadora que conecta los dos puntos extremos. Aquí${\displaystyle \exp _{p}}$denota el mapa exponencial de${\displaystyle p}$. El lugar de corte de${\displaystyle p}$en el espacio tangente se define como el conjunto de todos los vectores${\displaystyle v}$en${\displaystyle T_{p}M}$de tal manera que${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$es una geodésica minimizadora para${\displaystyle t\in [0,1]}$pero no logra ser minimizador para${\displaystyle t=1+\varepsilon }$por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$. Por lo tanto, el lugar de corte en el espacio tangente es el límite del conjunto ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}}$$ dónde${\displaystyle d}$denota la métrica de longitud de${\displaystyle M}$, y${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma euclidiana de${\displaystyle T_{p}M}$. El lugar de corte de${\displaystyle p}$en${\displaystyle M}$se define como la imagen del lugar de corte de${\displaystyle p}$en el espacio tangente bajo el mapa exponencial en${\displaystyle p}$. Por lo tanto, podemos interpretar el lugar de corte de${\displaystyle p}$en${\displaystyle M}$como los puntos en la variedad donde las geodésicas que comienzan en${\displaystyle p}$Deja de minimizar.

La distancia mínima de p al lugar geométrico de corte es el radio de inyectividad en p . En la bola abierta de este radio, la aplicación exponencial en p es un difeomorfismo del espacio tangente a la variedad, y este es el mayor de dichos radios. El radio de inyectividad global se define como el ínfimo del radio de inyectividad en p , sobre todos los puntos de la variedad.

Suponer${\displaystyle q}$está en el lugar de corte de${\displaystyle p}$en${\displaystyle M}$Un resultado estándar ^{[ 3 ]} es que (1) existe más de una unión geodésica minimizadora.${\displaystyle p}$a${\displaystyle q}$, o (2)${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son conjugadas a lo largo de alguna geodésica que las une. Es posible que se cumplan tanto (1) como (2).

La importancia del lugar geométrico de corte radica en que la función de distancia desde un punto${\displaystyle p}$es liso, excepto en el lugar de corte de${\displaystyle p}$y${\displaystyle p}$en sí mismo. En particular, tiene sentido tomar el gradiente y el hessiano de la función de distancia lejos del lugar de corte y${\displaystyle p}$Esta idea se utiliza en el teorema de comparación laplaciana local y en el teorema de comparación hessiana local . Estos se emplean en la demostración de la versión local del teorema de Toponogov y en muchos otros teoremas importantes de la geometría riemanniana.

Para el espacio métrico de distancias superficiales en un poliedro convexo , cortar el poliedro a lo largo del lugar geométrico de corte produce una forma que puede desplegarse plana en un plano, el despliegue de origen . ^{[ 4 ]} El proceso de despliegue puede realizarse de forma continua, como un florecimiento del poliedro. ^{[ 5 ]} Métodos análogos de corte a lo largo del lugar geométrico de corte pueden utilizarse también para desplegar poliedros convexos de dimensiones superiores. ^{[ 6 ]}

De manera similar, se puede definir el lugar de corte de una subvariedad de la variedad riemanniana en términos de su aplicación exponencial normal.