Mapa métrico

En la teoría matemática de espacios métricos , una aplicación métrica es una función entre espacios métricos que no aumenta la distancia. Estas aplicaciones son los morfismos en la categoría de espacios métricos , Met . ^{[ 1 ]} Dichas funciones son siempre continuas . También se las denomina funciones de Lipschitz con constante de Lipschitz 1, aplicaciones no expansivas , aplicaciones no expansivas , contracciones débiles o aplicaciones cortas .

Específicamente, supongamos que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son espacios métricos y${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$. Por lo tanto, tenemos un mapa métrico cuando, para cualquier punto${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en${\displaystyle X}$, $${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$ Aquí${\displaystyle d_{X}}$y${\displaystyle d_{Y}}$denotamos las métricas en${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$respectivamente.

Consideremos el espacio métrico${\displaystyle [0,1/2]}$con la métrica euclidiana . Entonces la función${\displaystyle f(x)=x^{2}}$es un mapa métrico, ya que para${\displaystyle x\neq y}$,${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||xy|<|xy|}$En este ejemplo, la constante de Lipschitz es 1, lo que implica una aplicación métrica.

La composición de funciones de dos mapas métricos es otro mapa métrico y el mapa identidad .${\displaystyle \mathrm {id} _ {M}\dos puntos M\rightarrow M}$en un espacio métrico${\displaystyle M}$es una aplicación métrica, que también es el elemento identidad para la composición de funciones. Así, los espacios métricos junto con las aplicaciones métricas forman una categoría Met . Met es una subcategoría de la categoría de espacios métricos y funciones de Lipschitz. Una aplicación entre espacios métricos es una isometría si y solo si es una aplicación métrica biyectiva cuya inversa también es una aplicación métrica. Por lo tanto, los isomorfismos en Met son precisamente las isometrías.

Un mapeo${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$desde un espacio métrico${\displaystyle X}$a la familia de subconjuntos no vacíos de${\displaystyle X}$Se dice que es Lipschitz si existe${\displaystyle L\geq 0}$de tal manera que $${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$ a pesar de${\displaystyle x,y\in X}$, dónde${\displaystyle H}$es la distancia de Hausdorff . Cuando${\displaystyle L=1}$,${\displaystyle T}$se denomina no expansivo y cuando${\displaystyle L<1}$,${\displaystyle T}$se llama contracción .

• Contracción (teoría de operadores) – Operadores acotados con norma subunitaria 
• Mapeo de contracción : función que reduce la distancia entre todos los puntos. 
• Factor de estiramiento : parámetro matemático de las incrustaciones 
• Mapa de subcontracción : función que reduce la distancia entre todos los puntos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección.