Determinante

El determinante tiene varias propiedades clave que pueden probarse mediante la evaluación directa de la definición para${\displaystyle 2\times 2}$matrices, y que siguen siendo válidas para determinantes de matrices más grandes. Son las siguientes: ^{[ 1 ]} primero, el determinante de la matriz identidad${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$es 1. Segundo, el determinante es cero si dos filas son iguales:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$

Esto se cumple de manera similar si las dos columnas son iguales. Además,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.}$

Finalmente, si alguna columna se multiplica por algún número${\displaystyle r}$(es decir, todas las entradas de esa columna se multiplican por ese número), el determinante también se multiplica por ese número:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

El determinante se puede caracterizar por las siguientes tres propiedades clave. Para enunciarlas, es conveniente considerar un${\displaystyle n\times n}$matriz A como compuesta de su${\displaystyle n}$columnas, así denominadas como

${\displaystyle A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},}$

donde el vector columna${\displaystyle a_{i}}$(para cada i ) está compuesta por las entradas de la matriz en la i -ésima columna.

2. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$, dónde${\displaystyle I}$es una matriz identidad .
4. El determinante es multilineal : si la j -ésima columna de una matriz${\displaystyle A}$se escribe como una combinación lineal${\displaystyle a_{j}=r\cdot v+w}$Si A tiene dos vectores columna v y w y un número r , entonces el determinante de A se puede expresar como una combinación lineal similar:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}}$

6. El determinante es alternante : siempre que dos columnas de una matriz son idénticas, su determinante es 0:

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.}$

Si el determinante se define utilizando la fórmula de Leibniz como se indicó anteriormente, estas tres propiedades se pueden demostrar mediante la inspección directa de dicha fórmula. Algunos autores también abordan el determinante directamente utilizando estas tres propiedades: se puede demostrar que existe exactamente una función que asigna a cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz A un número que satisface estas tres propiedades. ^{[ 5 ]} Esto también muestra que este enfoque más abstracto del determinante produce la misma definición que la que utiliza la fórmula de Leibniz.

Para comprobarlo, basta con expandir el determinante mediante multilinealidad en las columnas en una (enorme) combinación lineal de determinantes de matrices en la que cada columna es un vector base estándar . Estos determinantes son 0 (si las columnas son linealmente dependientes, según la propiedad 3) o ±1 (según las propiedades 1 y 3; el signo negativo aparece cuando las columnas se permutan según una permutación impar ), por lo que la combinación lineal da la expresión anterior en términos del símbolo de Levi-Civita. Si bien su apariencia es menos técnica, esta caracterización no puede reemplazar por completo la fórmula de Leibniz para definir el determinante, ya que sin ella no está clara la existencia de una función adecuada.

Estas reglas tienen varias consecuencias adicionales:

• El determinante es una función homogénea , es decir,$${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$$(para un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$).
• Intercambiar cualquier par de columnas de una matriz multiplica su determinante por  −1. Esto se deduce de que el determinante es multilineal y alternante (propiedades 2 y 3 anteriores):$${\displaystyle |a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.}$$Esta fórmula se puede aplicar de forma iterativa cuando se intercambian varias columnas. Por ejemplo$${\displaystyle |a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.}$$En términos más generales, cualquier permutación de las columnas multiplica el determinante por el signo de la permutación.
• Si alguna columna puede expresarse como una combinación lineal de las demás columnas (es decir, las columnas de la matriz forman un conjunto linealmente dependiente ), el determinante es 0. Como caso especial, esto incluye: si alguna columna tiene todos sus elementos iguales a cero, entonces el determinante de esa matriz es 0.
• Sumar un múltiplo escalar de una columna a otra no altera el valor del determinante. Esto se debe a la multilinealidad y a la alternancia: por multilinealidad, el determinante cambia en un múltiplo del determinante de una matriz con dos columnas iguales, cuyo determinante es cero, ya que el determinante es alternante.
• Si${\displaystyle A}$es una matriz triangular , es decir${\displaystyle a_{ij}=0}$, cuando sea${\displaystyle i>j}$o, alternativamente, cuando${\displaystyle i<j}$, entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal:$${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$$De hecho, dicha matriz puede reducirse, añadiendo adecuadamente múltiplos de las columnas con menos entradas no nulas a aquellas con más entradas, a una matriz diagonal (sin cambiar el determinante). Para dicha matriz, el uso de la linealidad en cada columna reduce a la matriz identidad, en cuyo caso la fórmula enunciada se cumple por la primera propiedad que caracteriza a los determinantes. Alternativamente, esta fórmula también puede deducirse de la fórmula de Leibniz, ya que la única permutación${\displaystyle \sigma }$La permutación identidad es aquella que aporta una contribución distinta de cero.

El determinante de la transpuesta de${\displaystyle A}$es igual al determinante de A :

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$.

Esto se puede comprobar examinando la fórmula de Leibniz. ^{[ 6 ]} Esto implica que en todas las propiedades mencionadas anteriormente, la palabra "columna" puede sustituirse por "fila". Por ejemplo, si consideramos una matriz n × n compuesta por n filas, el determinante es una función n -lineal.

El determinante es una aplicación multiplicativa , es decir, para matrices cuadradas.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si son de igual tamaño, el determinante de un producto matricial es igual al producto de sus determinantes:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

Este hecho clave puede probarse observando que, para una matriz fija${\displaystyle B}$, ambos lados de la ecuación son alternantes y multilineales como una función que depende de las columnas de${\displaystyle A}$. Además, ambos toman el valor${\displaystyle \det B}$cuando${\displaystyle A}$es la matriz identidad. La caracterización única de los mapas multilineales alternados mencionada anteriormente demuestra, por lo tanto, esta afirmación. ^{[ 7 ]}

Una matriz${\displaystyle A}$Una matriz con entradas en un campo es invertible precisamente si su determinante es distinto de cero. Esto se deduce de la multiplicatividad del determinante y de la fórmula para la inversa que involucra la matriz adjunta mencionada a continuación. En este caso, el determinante de la matriz inversa viene dado por

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$.

En particular, los productos e inversas de matrices con determinante distinto de cero (respectivamente, determinante uno) aún conservan esta propiedad. Por lo tanto, el conjunto de tales matrices (de tamaño fijo)${\displaystyle n}$sobre un campo${\displaystyle K}$) forma un grupo conocido como el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$(respectivamente, un subgrupo llamado grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)}$. De manera más general, la palabra "especial" indica el subgrupo de otro grupo matricial de matrices de determinante uno. Ejemplos incluyen el grupo ortogonal especial (que si n es 2 o 3 consta de todas las matrices de rotación ), y el grupo unitario especial .

Debido a que el determinante respeta la multiplicación y los inversos, de hecho es un homomorfismo de grupo de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$en el grupo multiplicativo${\displaystyle K^{\times }}$de elementos distintos de cero de${\displaystyle K}$Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$(las matrices con determinante uno). Por lo tanto, según el primer teorema de isomorfismo , esto demuestra que${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$es un subgrupo normal de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$y que el grupo cociente${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)}$es isomorfo a${\displaystyle K^{\times }}$.

La fórmula de Cauchy-Binet es una generalización de la fórmula del producto para matrices rectangulares . Esta fórmula también puede reformularse como una fórmula multiplicativa para matrices compuestas cuyos elementos son los determinantes de todas las submatrices cuadráticas de una matriz dada. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

La expansión de Laplace expresa el determinante de una matriz.${\displaystyle A}$recursivamente en términos de determinantes de matrices más pequeñas, conocidas como sus menores . El menor${\displaystyle M_{i,j}}$se define como el determinante de la${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$matriz que resulta de${\displaystyle A}$eliminando el${\displaystyle i}$-ésima fila y la${\displaystyle j}$-ésima columna. La expresión${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$se conoce como cofactor . Por cada${\displaystyle i}$, uno tiene la igualdad

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j},}$

que se denomina expansión de Laplace a lo largo de la i- ésima fila . Por ejemplo, la expansión de Laplace a lo largo de la primera fila (${\displaystyle i=1}$) da la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

Desentrañando los determinantes de estos${\displaystyle 2\times 2}$Las matrices devuelven la fórmula de Leibniz mencionada anteriormente. De manera similar, la expansión de Laplace a lo largo de la${\displaystyle j}$La columna -ésima es la igualdad

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.}$

La expansión de Laplace se puede utilizar de forma iterativa para calcular determinantes, pero este método es ineficiente para matrices grandes. Sin embargo, es útil para calcular los determinantes de matrices altamente simétricas, como la matriz de Vandermonde.$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).}$$La expansión de Laplace de n términos a lo largo de una fila o columna se puede generalizar para escribir un determinante de n x n como una suma de${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$términos , cada uno el producto del determinante de una submatriz k x k y el determinante de la submatriz complementaria ( n−k ) x ( n−k ).

La matriz adjugada${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$es la transpuesta de la matriz de los cofactores, es decir,

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

Para cada matriz, se tiene ^{[ 10 ]}

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

Por lo tanto, la matriz adjugada puede utilizarse para expresar la inversa de una matriz no singular :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

La fórmula para el determinante de un${\displaystyle 2\times 2}$La matriz anterior sigue siendo válida, bajo supuestos adicionales apropiados, para una matriz de bloques , es decir, una matriz compuesta por cuatro submatrices.${\displaystyle A,B,C,D}$de dimensión${\displaystyle m\times m}$,${\displaystyle m\times n}$,${\displaystyle n\times m}$y${\displaystyle n\times n}$, respectivamente. La fórmula más sencilla de este tipo, que puede demostrarse utilizando la fórmula de Leibniz o una factorización que involucre el complemento de Schur , es

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Si${\displaystyle A}$es invertible , entonces se deduce con los resultados de la sección sobre multiplicatividad que

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}}}$

lo cual se simplifica a${\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}$cuando${\displaystyle D}$es un${\displaystyle 1\times 1}$matriz.

Se obtiene un resultado similar cuando${\displaystyle D}$es invertible, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}}$

Ambos resultados pueden combinarse para derivar el teorema del determinante de Sylvester , que también se enuncia a continuación.

Si los bloques son matrices cuadradas del mismo tamaño, se cumplen otras fórmulas. Por ejemplo, si${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$desplazamiento (es decir,${\displaystyle CD=DC}$), entonces ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

Esta fórmula se ha generalizado a matrices compuestas por más de${\displaystyle 2\times 2}$bloques, nuevamente bajo condiciones de conmutatividad apropiadas entre los bloques individuales. ^{[ 12 ]}

Para${\displaystyle A=D}$y${\displaystyle B=C}$, la siguiente fórmula se cumple (incluso si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$no se desplacen diariamente).

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}}=\det(A+B)\det(A-B).}$

Es posible calcular el determinante mediante matrices de bloques de forma rápida utilizando algoritmos rápidos de multiplicación de matrices en el tiempo${\displaystyle O({n^{\omega }})}$para${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$, por el${\displaystyle LU}$descomposición. ^{[ 13 ]}

El teorema del determinante de Sylvester establece que para A , una matriz m × n , y B , una matriz n × m (de modo que A y B tienen dimensiones que permiten que se multipliquen en cualquier orden formando una matriz cuadrada):

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

donde I _m e I _n son las matrices identidad de m × m y n × n , respectivamente.

De este resultado general se derivan varias consecuencias.

A generalization is ${\displaystyle \det \left(Z+AWB\right)=\det \left(Z\right)\det \left(W\right)\det \left(W^{-1}+BZ^{-1}A\right)}$(see Matrix determinant lemma), where Z is an m × m invertible matrix and W is an n × n invertible matrix.

The determinant of the sum ${\displaystyle A+B}$ of two square matrices of the same size is not in general expressible in terms of the determinants of A and of B.

However, for positive semidefinite matrices${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle C}$ of equal size, $${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C){\text{,}}}$$ with the corollary^[15][16]$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B){\text{.}}}$$

Brunn–Minkowski theorem implies that the nth root of determinant is a concave function, when restricted to Hermitian positive-definite ${\displaystyle n\times n}$ matrices.^[17] Therefore, if A and B are Hermitian positive-definite ${\displaystyle n\times n}$ matrices, one has $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\det(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\det(A)}}+{\sqrt[{n}]{\det(B)}},}$$ since the nth root of the determinant is a homogeneous function.

The determinant is closely related to two other central concepts in linear algebra, the eigenvalues and the characteristic polynomial of a matrix. Let ${\displaystyle A}$ be an ${\displaystyle n\times n}$ matrix with complex entries. Then, by the Fundamental Theorem of Algebra, ${\displaystyle A}$ must have exactly neigenvalues${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$. (Here it is understood that an eigenvalue with algebraic multiplicityμ occurs μ times in this list.) Then, it turns out the determinant of A is equal to the product of these eigenvalues,

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

The product of all non-zero eigenvalues is referred to as pseudo-determinant.

From this, one immediately sees that the determinant of a matrix ${\displaystyle A}$ is zero if and only if ${\displaystyle 0}$ is an eigenvalue of ${\displaystyle A}$. In other words, ${\displaystyle A}$ is invertible if and only if ${\displaystyle 0}$ is not an eigenvalue of ${\displaystyle A}$.

The characteristic polynomial is defined as^[18]

${\displaystyle \chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A).}$

Here, ${\displaystyle t}$ is the indeterminate of the polynomial and ${\displaystyle I}$ is the identity matrix of the same size as ${\displaystyle A}$. By means of this polynomial, determinants can be used to find the eigenvalues of the matrix ${\displaystyle A}$: they are precisely the roots of this polynomial, i.e., those complex numbers ${\displaystyle \lambda }$ such that

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=0.}$

A Hermitian matrix is positive definite if all its eigenvalues are positive. Sylvester's criterion asserts that this is equivalent to the determinants of the submatrices

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}}$

being positive, for all ${\displaystyle k}$ between ${\displaystyle 1}$ and ${\displaystyle n}$.^[19]

The trace tr(A) is by definition the sum of the diagonal entries of A and also equals the sum of the eigenvalues. Thus, for complex matrices A,

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

or, for real matrices A,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

Here exp(A) denotes the matrix exponential of A, because every eigenvalue λ of A corresponds to the eigenvalue exp(λ) of exp(A). In particular, given any logarithm of A, that is, any matrix L satisfying

${\displaystyle \exp(L)=A}$

the determinant of A is given by

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

For example, for n = 2, n = 3, and n = 4, respectively,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

cf. Cayley-Hamilton theorem. Such expressions are deducible from combinatorial arguments, Newton's identities, or the Faddeev–LeVerrier algorithm. That is, for generic n, detA = (−1)ⁿc₀ the signed constant term of the characteristic polynomial, determined recursively from

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

In the general case, this may also be obtained from^[20]

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

where the sum is taken over the set of all integers k_l ≥ 0 satisfying the equation

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

The formula can be expressed in terms of the complete exponential Bell polynomial of n arguments s_l = −(l – 1)! tr(A^l) as

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

This formula can also be used to find the determinant of a matrix A^I_J with multidimensional indices I = (i₁, i₂, ..., i_r) and J = (j₁, j₂, ..., j_r). The product and trace of such matrices are defined in a natural way as

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

An important arbitrary dimension n identity can be obtained from the Mercator series expansion of the logarithm when the expansion converges. If every eigenvalue of A is less than 1 in absolute value,

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

where I is the identity matrix. More generally, if

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

is expanded as a formal power series in s then all coefficients of s^m for m>n are zero and the remaining polynomial is det(I + sA).

For a positive definite matrix A, the trace operator gives the following tight lower and upper bounds on the log determinant

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

with equality if and only if A = I. This relationship can be derived via the formula for the Kullback–Leibler divergence between two multivariate normal distributions.

Also,

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

These inequalities can be proved by expressing the traces and the determinant in terms of the eigenvalues. As such, they represent the well-known fact that the harmonic mean is less than the geometric mean, which is less than the arithmetic mean, which is, in turn, less than the root mean square.

The Leibniz formula shows that the determinant of real (or analogously for complex) square matrices is a polynomial function from ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$ to ${\displaystyle \mathbf {R} }$. In particular, it is everywhere differentiable. Its derivative can be expressed using Jacobi's formula:^[21]

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

where ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ denotes the adjugate of ${\displaystyle A}$. In particular, if ${\displaystyle A}$ is invertible, we have

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

Expressed in terms of the entries of ${\displaystyle A}$, these are

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

Yet another equivalent formulation is

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$,

using big O notation. The special case where ${\displaystyle A=I}$, the identity matrix, yields

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

This identity is used in describing Lie algebras associated to certain matrix Lie groups. For example, the special linear group ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}}$ is defined by the equation ${\displaystyle \det A=1}$. The above formula shows that its Lie algebra is the special linear Lie algebra${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ consisting of those matrices having trace zero.

Writing a ${\displaystyle 3\times 3}$ matrix as ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}}$ where ${\displaystyle a,b,c}$ are column vectors of length 3, then the gradient over one of the three vectors may be written as the cross product of the other two:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

Los determinantes se pueden utilizar para describir las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales , escrito en forma matricial como${\displaystyle Ax=b}$Esta ecuación tiene una solución única.${\displaystyle x}$si y solo si${\displaystyle \det(A)}$es distinto de cero. En este caso, la solución viene dada por la regla de Cramer :

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

dónde${\displaystyle A_{i}}$es la matriz formada al reemplazar la${\displaystyle i}$-ésima columna de${\displaystyle A}$por el vector columna${\displaystyle b}$. Esto se sigue inmediatamente mediante la expansión en columna del determinante, es decir

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

donde los vectores${\displaystyle a_{j}}$son las columnas de A. La regla también está implícita en la identidad.

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

La regla de Cramer se puede implementar en${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$tiempo, que es comparable a métodos más comunes de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como LU , QR o descomposición en valores singulares . ^{[ 37 ]}

Los determinantes pueden utilizarse para caracterizar vectores linealmente dependientes :${\displaystyle \det A}$es cero si y solo si los vectores columna de la matriz${\displaystyle A}$son linealmente dependientes. ^{[ 38 ]} Por ejemplo, dados dos vectores linealmente independientes${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3}}$, un tercer vector${\displaystyle v_{3}}$se encuentra en el plano generado por los dos primeros vectores exactamente si el determinante de la${\displaystyle 3\times 3}$La matriz formada por los tres vectores es cero. La misma idea también se utiliza en la teoría de ecuaciones diferenciales : dadas las funciones${\displaystyle f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)}$(se supone que es${\displaystyle n-1}$veces diferenciable ), el Wronskiano se define como

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.}$

Es distinto de cero (para algunos${\displaystyle x}$) en un intervalo especificado si y solo si las funciones dadas y todas sus derivadas hasta el orden${\displaystyle n-1}$son linealmente independientes. Si se puede demostrar que el Wronskiano es cero en todo un intervalo, entonces, en el caso de funciones analíticas , esto implica que las funciones dadas son linealmente dependientes. Véase el Wronskiano y la independencia lineal . Otro uso del determinante es el resultante , que proporciona un criterio cuando dos polinomios tienen una raíz común . ^{[ 39 ]}

El cálculo de un producto vectorial es equivalente a encontrar el determinante formal de una matriz específica de 3x3. Específicamente, para vectores${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$, y${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$:

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}}$$

El determinante puede entenderse como la asignación de un número a cada secuencia de n vectores en R ⁿ , utilizando la matriz cuadrada cuyas columnas son los vectores dados. El determinante será distinto de cero si y solo si la secuencia de vectores es una base para R ⁿ . En ese caso, el signo del determinante determina si la orientación de la base es consistente o opuesta a la orientación de la base estándar . En el caso de una base ortogonal, la magnitud del determinante es igual al producto de las longitudes de los vectores de la base. Por ejemplo, una matriz ortogonal con entradas en R ⁿ representa una base ortonormal en el espacio euclidiano , y por lo tanto tiene un determinante de ±1 (ya que todos los vectores tienen longitud 1). El determinante es +1 si y solo si la base tiene la misma orientación. Es −1 si y solo si la base tiene la orientación opuesta.

En términos más generales, si el determinante de A es positivo, A representa una transformación lineal que preserva la orientación (si A es una matriz ortogonal de 2 × 2 o 3 × 3 , se trata de una rotación ), mientras que si es negativo, A cambia la orientación de la base.

Como se indicó anteriormente, el valor absoluto del determinante de vectores reales es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. En consecuencia, si${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$es el mapeo lineal dado por la multiplicación con una matriz${\displaystyle A}$, y${\displaystyle S\subset \mathbf {R} ^{n}}$es cualquier subconjunto medible , entonces el volumen de${\displaystyle f(S)}$es dado por${\displaystyle |\det(A)|}$veces el volumen de${\displaystyle S}$. ^{[ 40 ]} De manera más general, si el mapa lineal${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}}$está representado por el${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle A}$, entonces la relación entre el${\displaystyle n}$- volúmenes dimensionales de${\displaystyle f(S)}$y${\displaystyle S}$está dado por:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {volume} (f(S))}{\operatorname {volume} (S)}}={\sqrt {\det \left(A^{\textsf {T}}A\right)}}.}$

Cuando${\displaystyle m<n}$Esto es cero.

Calculando el volumen del tetraedro delimitado por cuatro puntos, se pueden utilizar para identificar líneas oblicuas . El volumen de cualquier tetraedro, dados sus vértices${\displaystyle a,b,c,d}$,${\displaystyle {\frac {1}{6}}\cdot |\det(a-b,b-c,c-d)|}$o cualquier otra combinación de pares de vértices que formen un árbol de expansión sobre los vértices.