Supermatriz

En matemáticas y física teórica , una supermatriz es un análogo graduado Z _{2 de una} matriz ordinaria . Específicamente, una supermatriz es una matriz de bloques 2×2 con entradas en una superálgebra (o superanillo ). Los ejemplos más importantes son aquellos con entradas en una superálgebra conmutativa (como un álgebra de Grassmann ) o un cuerpo ordinario (considerado como una superálgebra conmutativa puramente par).

Las supermatrices surgen en el estudio del álgebra superlineal , donde aparecen como representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre superespacios vectoriales de dimensión finita o supermódulos libres . Tienen aplicaciones importantes en el campo de la supersimetría .

Sea R una superálgebra fija (que se supone unitaria y asociativa ). A menudo se requiere que R sea también superconmutativa (por las mismas razones que en el caso no graduado).

Sean p , q , r y s números enteros no negativos. Una supermatriz de dimensión ( r | s )×( p | q ) es una matriz con entradas en R que está dividida en una estructura de bloques de 2×2

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}}$

con r + s filas totales y p + q columnas totales (de modo que la submatriz X ₀₀ tiene dimensiones r × p y X ₁₁ tiene dimensiones s × q ). Una matriz ordinaria (sin graduar) puede considerarse como una supermatriz para la cual q y s son ambas cero.

Una supermatriz cuadrada es aquella para la cual ( r | s ) = ( p | q ). Esto significa que no sólo la matriz no particionada X es cuadrada , sino que también lo son los bloques diagonales X ₀₀ y X _{11 .}

Una supermatriz par es aquella en la que los bloques diagonales ( X ₀₀ y X ₁₁ ) constan únicamente de elementos pares de R (es decir, elementos homogéneos de paridad 0) y los bloques fuera de la diagonal ( X ₀₁ y X ₁₀ ) constan únicamente de elementos impares de R .

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}}$

Una supermatriz impar es aquella en la que se cumple lo inverso: los bloques diagonales son impares y los bloques fuera de la diagonal son pares.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}}$

Si los escalares R son puramente pares no hay elementos impares distintos de cero, por lo que las supermatrices pares son las diagonales del bloque y las supermatrices impares son las fuera de la diagonal.

Una supermatriz es homogénea si es par o impar. La paridad , | X |, de una supermatriz homogénea distinta de cero X es 0 o 1 según sea par o impar. Cada supermatriz se puede escribir de forma única como la suma de una supermatriz par y una impar.

Las supermatrices de dimensiones compatibles se pueden sumar o multiplicar de la misma forma que las matrices ordinarias. Estas operaciones son exactamente las mismas que las ordinarias con la restricción de que se definen solo cuando los bloques tienen dimensiones compatibles. También se pueden multiplicar supermatrices por elementos de R (a la izquierda o a la derecha), sin embargo, esta operación difiere del caso no graduado debido a la presencia de elementos impares en R.

Sea M _{r | s × p | q} ( R ) el conjunto de todas las supermatrices sobre R con dimensión ( r | s )×( p | q ). Este conjunto forma un supermódulo sobre R bajo la suma de supermatrices y la multiplicación escalar. En particular, si R es una superálgebra sobre un cuerpo K entonces M _{r | s × p | q} ( R ) forma un superespacio vectorial sobre K .

Sea M _{p | q} ( R ) el conjunto de todas las supermátrices cuadradas sobre R con dimensión ( p | q )×( p | q ). Este conjunto forma un superanillo bajo la suma y multiplicación de supermatrices. Además, si R es una superálgebra conmutativa , entonces la multiplicación de supermatrices es una operación bilineal, de modo que M _{p | q} ( R ) forma una superálgebra sobre R .

Se pueden sumar dos supermatrices de dimensión ( r | s )×( p | q ) como en el caso no graduado para obtener una supermatriz de la misma dimensión. La suma se puede realizar por bloques, ya que los bloques tienen tamaños compatibles. Es fácil ver que la suma de dos supermatrices pares es par y la suma de dos supermatrices impares es impar.

Se puede multiplicar una supermatriz de dimensiones ( r | s )×( p | q ) por una supermatriz de dimensiones ( p | q )×( k | l ) como en el caso no graduado para obtener una matriz de dimensión ( r | s )×( k | l ). La multiplicación se puede realizar a nivel de bloque de la manera obvia:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.}$

Nótese que los bloques de la supermatriz del producto Z = XY están dados por

${\displaystyle Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,}$

Si X e Y son homogéneas con paridades | X | y | Y | entonces XY es homogénea con paridad | X | + | Y |. Es decir, el producto de dos supermatrices pares o dos impares es par mientras que el producto de una supermatriz par e impar es impar.

La multiplicación escalar para supermatrices es diferente del caso no graduado debido a la presencia de elementos impares en R. Sea X una supermatriz. La multiplicación escalar izquierda por α ∈ R se define por

${\displaystyle \alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}}$

donde las multiplicaciones escalares internas son las ordinarias no graduadas y denota la involución de grado en R . Esto se da en elementos homogéneos por ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .}$

La multiplicación escalar derecha por α se define de forma análoga:

${\displaystyle X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.}$

Si α es par, entonces ambas operaciones son iguales a las versiones no graduadas. Si α y X son homogéneas, entonces α⋅ X y X ⋅α son ambas homogéneas con paridad |α| + | X |. Además, si R es supercommutativa, entonces se tiene ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha }$

${\displaystyle \alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .}$

Las matrices ordinarias pueden considerarse como las representaciones de coordenadas de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales (o módulos libres ). Del mismo modo, las supermatrices pueden considerarse como las representaciones de coordenadas de aplicaciones lineales entre superespacios vectoriales (o supermódulos libres ). Sin embargo, existe una diferencia importante en el caso graduado. Un homomorfismo de un superespacio vectorial a otro es, por definición, uno que preserva la gradación (es decir, asigna elementos pares a elementos pares y elementos impares a elementos impares). La representación de coordenadas de dicha transformación es siempre una supermatriz par . Las supermatrices impares corresponden a transformaciones lineales que invierten la gradación. Las supermatrices generales representan una transformación lineal arbitraria no graduada. Tales transformaciones siguen siendo importantes en el caso graduado, aunque menos que las transformaciones graduadas (pares).

Un supermódulo M sobre una superálgebra R es libre si tiene una base homogénea libre. Si dicha base consta de p elementos pares y q elementos impares, se dice que M tiene rango p | q . Si R es superconmutativa, el rango es independiente de la elección de la base, al igual que en el caso no graduado.

Sea R ^{p | q} el espacio de supervectores columna, supermatrices de dimensión ( p | q )×(1|0). Naturalmente, se trata de un R -supermódulo derecho, llamado espacio de coordenadas derecho . Una supermatriz T de dimensión ( r | s )×( p | q ) puede considerarse entonces como una función R -lineal derecha

${\displaystyle T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,}$

donde la acción de T sobre R ^{p | q} es simplemente la multiplicación de supermatrices (esta acción generalmente no es R -lineal a la izquierda, razón por la cual pensamos en R ^{p | q} como un supermódulo a la derecha ).

Sea M un supermódulo recto libre de rango p | q y sea N un supermódulo recto libre de rango r | s . Sea ( e _i ) una base libre para M y sea ( f _k ) una base libre para N . Tal elección de bases es equivalente a una elección de isomorfismos de M a R ^{p | q} y de N a R ^{r | s} . Cualquier función lineal (no graduada)

${\displaystyle T:M\to N\,}$

se puede escribir como una supermatriz ( r | s )×( p | q ) relativa a las bases elegidas. Los componentes de la supermatriz asociada se determinan mediante la fórmula

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.}$

La descomposición en bloques de una supermatriz T corresponde a la descomposición de M y N en submódulos pares e impares:

${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.}$

Muchas operaciones sobre matrices ordinarias pueden generalizarse a supermatrices, aunque las generalizaciones no siempre son obvias o directas.

La supertranspuesta de una supermatriz es el análogo graduado en Z ₂ de la transpuesta . Sea

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

sea ​​una supermatriz homogénea ( r | s )×( p | q ). La supertranspuesta de X es la supermatriz ( p | q )×( r | s )

${\displaystyle X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}}$

donde A ^t denota la transpuesta ordinaria de A . Esto se puede extender a supermatrices arbitrarias por linealidad. A diferencia de la transpuesta ordinaria, la supertranspuesta no es generalmente una involución , sino que tiene orden 4. Al aplicar la supertranspuesta dos veces a una supermatriz X se obtiene

${\displaystyle (X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.}$

Si R es superconmutativa, la supertranspuesta satisface la identidad

${\displaystyle (XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,}$

La transposición de paridad de una supermatriz es una nueva operación sin un análogo no graduado. Sea

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

sea ​​una supermatriz ( r | s )×( p | q ). La transpuesta de paridad de X es la supermatriz ( s | r )×( q | p )

${\displaystyle X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.}$

Es decir, el bloque ( i , j ) de la matriz transpuesta es el bloque (1− i ,1− j ) de la matriz original.

La operación de transposición de paridad obedece a las identidades

• ${\displaystyle (X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,}$
• ${\displaystyle (\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }}$
• ${\displaystyle (X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}}$

así como

• ${\displaystyle \pi ^{2}=id\,}$
• ${\displaystyle \pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}}$

donde st denota la operación de supertransposición.

La supertraza de una supermatriz cuadrada es el análogo graduado en Z ₂ de la traza . Se define en supermatrices homogéneas por la fórmula

${\displaystyle \mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,}$

donde tr denota la traza ordinaria.

Si R es superconmutativa, la supertraza satisface la identidad

${\displaystyle \mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,}$

para supermatrices homogéneas X e Y.

El bereziniano (o superdeterminante ) de una supermatriz cuadrada es el análogo graduado en Z ₂ del determinante . El bereziniano sólo está bien definido en supermatrices pares e invertibles sobre una superálgebra conmutativa R . En este caso, se da por la fórmula

${\displaystyle \mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.}$

donde det denota el determinante ordinario (de matrices cuadradas con entradas en el álgebra conmutativa R ₀ ).

El bereziniano satisface propiedades similares a las del determinante ordinario. En particular, es multiplicativo e invariante bajo la supertranspuesta. Está relacionado con la supertraza por la fórmula

${\displaystyle \mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,}$

• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics 11. Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-3574-2.
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)". Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos . Vol. 1. Sociedad Matemática Americana. págs.  41– 97. ISBN 0-8218-2012-5.