Matriz compuesta

En álgebra lineal , una rama de las matemáticas , una matriz compuesta ( multiplicativa ) es una matriz cuyas entradas son todas menores , de un tamaño dado, de otra matriz. ^{[1] [2] [3] [4]} Las matrices compuestas están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores , ^[5] y su cálculo aparece en una amplia gama de problemas, como en el análisis de sistemas dinámicos no lineales variables en el tiempo y generalizaciones de sistemas positivos, sistemas cooperativos y sistemas contractivos. ^{[4] [6]}

Sea A una matriz m  ×  n con elementos reales o complejos . ^[a] Si I es un subconjunto de tamaño r de {1, ..., m } y J es un subconjunto de tamaño s de {1, ..., n } , entonces la ( I , J  ) -submatriz de A , escrita A _{I , J}  , es la submatriz formada a partir de A reteniendo solo aquellas filas indexadas por I y aquellas columnas indexadas por J . Si r = s , entonces det  A _{I , J} es el ( I , J  ) -menor de A .

La  matriz compuesta r ésima de A es una matriz, denotada C _r ( A ) , se define de la siguiente manera. Si r > min( m , n ) , entonces C _r ( A ) es la única matriz 0 × 0 . De lo contrario, C _r ( A ) tiene tamaño . Sus filas y columnas están indexadas por subconjuntos de r elementos de {1, ..., m } y {1, ..., n } , respectivamente, en su orden lexicográfico . La entrada correspondiente a los subconjuntos I y J es el det  menor A _{I , J} . ${\textstyle {\binom {m}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$

En algunas aplicaciones de matrices compuestas, el orden preciso de las filas y columnas no es importante. Por esta razón, algunos autores no especifican cómo deben ordenarse las filas y columnas. ^[7]

Por ejemplo, considere la matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}.}$

Las filas están indexadas por {1, 2, 3} y las columnas por {1, 2, 3, 4} . Por lo tanto, las filas de C ₂ ( A ) están indexadas por los conjuntos

${\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{2,3\}}$

y las columnas están indexadas por

${\displaystyle \{1,2\}<\{1,3\}<\{1,4\}<\{2,3\}<\{2,4\}<\{3,4\} .}$

Usando barras de valor absoluto para denotar determinantes , la segunda matriz compuesta es

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2}(A)&={\begin{pmatrix}\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\5&6\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\5&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\5&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\6&7\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\6&8\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\7&8\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}1&2\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&3\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}1&4\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&3\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}2&4\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}3&4\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\\\left|{\begin{smallmatrix}5&6\\9&10\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&7\\9&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}5&8\\9&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&7\\10&11\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}6&8\\10&12\end{smallmatrix}}\right|&\left|{\begin{smallmatrix}7&8\\11&12\end{smallmatrix}}\right|\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Sea c un escalar, A una matriz m  ×  n y B una matriz n  ×  p . Para k un entero positivo , sea I _k la matriz identidad k  ×  k . La transpuesta de una matriz M se escribirá M ^T y la transpuesta conjugada por M ^* . Entonces: ^[8]

• C ₀ ( A ) = I ₁ , unamatriz identidad de 1 × 1 .
• C1 ( A ) ₌ A .
• C _r ( c A ) = c ^r C _r ( A ) .
• Si rk A = r , entonces rk C _r ( A ) = 1 .
• Si 1 ≤ r ≤ n , entonces .${\displaystyle C_{r}(I_{n})=I_{\binom {n}{r}}}$
• Si 1 ≤ r ≤ min( m , n ) , entonces C _r ( A ^T ) = C _r ( A ) ^T .
• Si 1 ≤ r ≤ min( m , n ) , entonces C _r ( A ^* ) = C _r ( A ) ^* .
• C _r ( AB ) = C _r ( A )  C _r ( B ) , que está estrechamente relacionada con la fórmula de Cauchy-Binet .

Supongamos además que A es una matriz cuadrada de tamaño n . Entonces: ^[9]

• C _n ( A ) = det  A .
• Si A tiene una de las siguientes propiedades, entonces C _r ( A ) también las tiene :
  • Triángulo superior ,
  • Triángulo inferior ,
  • Diagonal ,
  • Ortogonal ,
  • Unitario ,
  • Simétrico ,
  • Hermitiano ,
  • Antisimétrico (cuando r es impar),
  • Hemihermítica (cuando r es impar),
  • Definitivo positivo ,
  • Semidefinido positivo ,
  • Normal .
• Si A es invertible , entonces también lo es C _r ( A ) , y C _r ( A ⁻¹ ) = C _r ( A ) ⁻¹ .
• (Teorema de Sylvester-Franke) Si 1 ≤ r ≤ n , entonces . ^{[10] [11]}${\displaystyle \det C_{r}(A)=(\det A)^{\binom {n-1}{r-1}}}$

Démosle a R ⁿ la base de coordenadas estándar e ₁ , ..., e _n . La  potencia exterior r ésima de R ⁿ es el espacio vectorial

${\displaystyle \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}}$

cuya base consiste en los símbolos formales

${\displaystyle \mathbf {e} _{i_{1}}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{i_{r}},}$

dónde

${\displaystyle i_{1}<\dots <i_{r}.}$

Supongamos que A es una matriz m  ×  n . Entonces A corresponde a una transformación lineal

${\displaystyle A\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}.}$

Tomando la potencia exterior r  de esta transformación lineal se determina una transformación lineal

${\displaystyle \wedge ^{r}A\colon \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{n}\to \wedge ^{r}\mathbf {R} ^{m}.}$

La matriz correspondiente a esta transformación lineal (con respecto a las bases anteriores de las potencias exteriores) es C _r ( A ) . Tomar potencias exteriores es un funtor , lo que significa que ^[12]

${\displaystyle \wedge ^{r}(AB)=(\wedge ^{r}A)(\wedge ^{r}B).}$

Esto corresponde a la fórmula C _r ( AB ) = C _r ( A ) C _r ( B ) . Está estrechamente relacionada con la fórmula de Cauchy-Binet y es un fortalecimiento de la misma .

Sea A una matriz n  ×  n . Recordemos que su  matriz adjunta superior r ésima adj _r ( A ) es la matriz cuya entrada ( I , J  ) es ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$

${\displaystyle (-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}},}$

donde, para cualquier conjunto K de enteros, σ ( K ) es la suma de los elementos de K . El adjunto de A es su primer adjunto superior y se denota adj( A ) . La fórmula de expansión de Laplace generalizada implica

${\displaystyle C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}$

Si A es invertible, entonces

${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A^{-1})=(\det A)^{-1}C_{r}(A).}$

Una consecuencia concreta de esto es la fórmula de Jacobi para los menores de una matriz inversa :

${\displaystyle \det(A^{-1})_{J^{c},I^{c}}=(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}{\frac {\det A_{I,J}}{\det A}}.}$

Los adyuvantes también pueden expresarse en términos de compuestos. Sea S la matriz de signos :

${\displaystyle S=\operatorname {diag} (1,-1,1,-1,\ldots ,(-1)^{n-1}),}$

y sea J la matriz de intercambio :

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}&&1\\&\cdots &\\1&&\end{pmatrix}}.}$

Entonces el teorema de Jacobi establece que la matriz adjunta superior r  es: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)=JC_{n-r}(SAS)^{T}J.}$

Del teorema de Jacobi se deduce inmediatamente que

${\displaystyle C_{r}(A)\,J(C_{n-r}(SAS))^{T}J=(\det A)I_{\binom {n}{r}}.}$

La toma de adyuvantes y compuestos no conmuta. Sin embargo, los compuestos de adyuvantes pueden expresarse utilizando adyuvantes de compuestos, y viceversa. A partir de las identidades

${\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A))=(\det A)^{r}I,}$

${\displaystyle C_{r}(C_{s}(A))\operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det C_{s}(A))I,}$

y el teorema de Sylvester-Franke, deducimos

${\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(C_{s}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{s-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} _{s}(A)).}$

La misma técnica conduce a una identidad adicional,

${\displaystyle \operatorname {adj} (C_{r}(A))=(\det A)^{{\binom {n-1}{r-1}}-r}C_{r}(\operatorname {adj} (A)).}$

Las matrices compuestas y adjuntas aparecen al calcular determinantes de combinaciones lineales de matrices. Es elemental comprobar que si A y B son matrices n  ×  n entonces

${\displaystyle \det(sA+tB)=C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}sA&I_{n}\end{bmatrix}}\right)C_{n}\!\left({\begin{bmatrix}I_{n}\\tB\end{bmatrix}}\right).}$

También es cierto que: ^{[15] [16]}

${\displaystyle \det(sA+tB)=\sum _{r=0}^{n}s^{r}t^{n-r}\operatorname {tr} (\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(B)).}$

Esto tiene la consecuencia inmediata

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} \operatorname {adj} _{r}(A)=\sum _{r=0}^{n}\operatorname {tr} C_{r}(A).}$

En general, el cálculo de matrices compuestas no es efectivo debido a su alta complejidad. No obstante, existen algunos algoritmos eficientes disponibles para matrices reales con estructura especial. ^[17]

• Gantmacher, FR y Krein, MG, Matrices y núcleos de oscilación y pequeñas vibraciones de sistemas mecánicos , edición revisada. American Mathematical Society, 2002. ISBN 978-0-8218-3171-7