Cálculo formal

En lógica matemática , un cálculo formal , u operación formal , es un tipo de cálculo matemático, que a menudo involucra series de potencias , que se realiza de forma puramente algebraica sin considerar cuestiones de convergencia . ^{[ 1 ]} Las expresiones se manipulan según reglas algebraicas, sin requerir que las series u operaciones subyacentes converjan necesariamente en el sentido analítico. Este enfoque es útil cuando la estructura del cálculo es más importante que sus propiedades analíticas.

Ejemplos

Los cálculos formales pueden conducir a resultados erróneos en un contexto, pero correctos en otro. La ecuación

\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {1}{1-q}}

se cumple si q tiene un valor absoluto menor que 1. Ignorando esta restricción y sustituyendo q = 2 se llega a

\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=-1.

Sustituyendo q = 2 en la demostración de la primera ecuación, se obtiene un cálculo formal que produce la última ecuación. Sin embargo, este cálculo es erróneo para los números reales, ya que la serie no converge. No obstante, en otros contextos (por ejemplo, al trabajar con números 2-ádicos o con enteros módulo una potencia de 2 ), la serie sí converge. El cálculo formal implica que la última ecuación debe ser válida en esos contextos.

Otro ejemplo se obtiene sustituyendo q = -1. La serie resultante 1-1+1-1+... diverge (tanto en los números reales como en los p-ádicos ), pero se le puede asignar un valor mediante un método de suma alternativo, como la suma de Cesàro . El valor resultante, 1/2, es el mismo que el obtenido mediante el cálculo formal.

Serie de potencias formal

Las series de potencias formales son un concepto que adopta la forma de las series de potencias del análisis real . El término "formal" indica que la serie no tiene por qué converger. En matemáticas, y especialmente en álgebra, una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia y que puede manipularse mediante operaciones algebraicas sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales, etc.).

Una serie de potencias formal es un tipo especial de serie formal, que puede considerarse una generalización de un polinomio, donde el número de términos puede ser infinito, sin requisitos de convergencia. Por lo tanto, la serie puede no representar ya una función de su variable, sino simplemente una secuencia formal de coeficientes, a diferencia de una serie de potencias, que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie de potencias formal, las potencias de la variable se utilizan solo como marcadores de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente de $\displaystyle x^{5}$ es el quinto término de la secuencia. En combinatoria, el método de funciones generadoras utiliza series de potencias formales para representar secuencias numéricas y multiconjuntos, permitiendo, por ejemplo, expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente, independientemente de si la recursión puede resolverse explícitamente. De forma más general, las series de potencias formales pueden incluir series con cualquier número finito (o numerable) de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario.

Los anillos de series de potencias formales son anillos locales completos, que permiten el uso de métodos similares al cálculo dentro del marco puramente algebraico de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Son análogos a los enteros p-ádicos, que pueden definirse como series formales de las potencias de p.

Manipulación de símbolos

Ecuaciones diferenciales

Para resolver la ecuación diferencial

{\frac {dy}{dx}}=y^{2}

Estos símbolos pueden tratarse como símbolos algebraicos ordinarios, y sin dar ninguna justificación respecto a la validez de este paso, tomamos los recíprocos de ambos lados:

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y^{2}}}

Un antiderivado simple :

x={\frac {-1}{y}}+C

y={\frac {1}{Cx}}

Dado que se trata de un cálculo formal , es aceptable dejar $C=\infty$ y obtener otra solución:

y={\frac {1}{\infty -x}}={\frac {1}{\infty }}=0

Las soluciones finales pueden comprobarse para confirmar que resuelven la ecuación.

Producto cruzado

El producto cruzado se puede expresar como el siguiente determinante :

\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}

dónde $(\mathbf {i},\mathbf {j},\mathbf {k})$ es una base ortonormal orientada positivamente de un espacio vectorial euclidiano orientado tridimensional , mientras que $a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3}$ son escalares tales que $\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$ y similar para $\mathbf {b}$ .

Véase también

Referencias

^ Nelson, David (2008). El Diccionario Penguin de Matemáticas (4ª ed.). Londres: Penguin Reino Unido. ISBN 978-0141920870.

[1] Nelson, David (2008). El Diccionario Penguin de Matemáticas (4ª ed.). Londres: Penguin Reino Unido. ISBN 978-0141920870.

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