Matriz elemental

En matemáticas , una matriz elemental es una matriz cuadrada obtenida de la aplicación de una única operación elemental por filas a la matriz identidad . Las matrices elementales generan el grupo lineal general GL _n ( F ) cuando F es un cuerpo . La multiplicación por la izquierda (premultiplicación) por una matriz elemental representa operaciones elementales por filas , mientras que la multiplicación por la derecha (postmultiplicación) representa operaciones elementales por columnas .

Las operaciones elementales por filas se utilizan en la eliminación gaussiana para reducir una matriz a la forma escalonada por filas . También se utilizan en la eliminación de Gauss-Jordan para reducir aún más la matriz a la forma escalonada por filas reducida .

Hay tres tipos de matrices elementales, que corresponden a tres tipos de operaciones de fila (respectivamente, operaciones de columna):

Cambio de fila

Una fila dentro de la matriz se puede cambiar por otra fila.

${\ Displaystyle R_ {i} \ leftrightarrow R_ {j}}$

Multiplicación por filas

Cada elemento de una fila se puede multiplicar por una constante distinta de cero. Esto también se conoce como escalar una fila.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{donde }}k\neq 0}$

Adición de filas

Una fila se puede reemplazar por la suma de esa fila y un múltiplo de otra fila.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j}$

Si E es una matriz elemental, como se describe a continuación, para aplicar la operación elemental de fila a una matriz A , se multiplica A por la matriz elemental de la izquierda, EA . La matriz elemental para cualquier operación de fila se obtiene ejecutando la operación sobre la matriz identidad . Este hecho puede entenderse como una instancia del lema de Yoneda aplicado a la categoría de matrices. ^[1]

El primer tipo de operación de filas en una matriz A intercambia todos los elementos de la matriz en la fila i con sus contrapartes en una fila diferente j . La matriz elemental correspondiente se obtiene intercambiando la fila i y la fila j de la matriz identidad .

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces T _i,j A es la matriz producida al intercambiar la fila i y la fila j de A.

Coeficientemente, la matriz T _i,j se define por:

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

• La inversa de esta matriz es en sí misma:${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• Como el determinante de la matriz identidad es la unidad, se deduce que para cualquier matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• Por consideraciones teóricas, la transformación de cambio de fila se puede obtener a partir de las transformaciones de suma y multiplicación de filas que se presentan a continuación porque${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

El siguiente tipo de operación de fila en una matriz A multiplica todos los elementos de la fila i por m , donde m es un escalar distinto de cero (normalmente un número real). La matriz elemental correspondiente es una matriz diagonal, con entradas diagonales 1 en todas partes excepto en la posición i , donde es m .

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces D _i ( m ) A es la matriz producida a partir de A al multiplicar la fila i por m .

En términos de coeficientes, la matriz D _i ( m ) se define como:

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

• La inversa de esta matriz está dada por${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• La matriz y su inversa son matrices diagonales .
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto), tenemos${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

El último tipo de operación de filas en una matriz A suma la fila j multiplicada por un escalar m a la fila i . La matriz elemental correspondiente es la matriz identidad pero con una m en la posición ( i, j ) .

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Entonces, L _ij ( m ) A es la matriz producida a partir de A sumando m veces la fila j a la fila i . Y AL _ij ( m ) es la matriz producida a partir de A sumando m veces la columna i a la columna j .

Coeficientemente, la matriz L _i,j ( m ) está definida por:

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

• Estas transformaciones son un tipo de mapeo de corte , también conocido como transvecciones .
• La inversa de esta matriz está dada por${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• La matriz y su inversa son matrices triangulares .
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$Por lo tanto, para una matriz cuadrada A (del tamaño correcto) tenemos${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A).}$
• Las transformaciones de adición de filas satisfacen las relaciones de Steinberg .

• Eliminación gaussiana
• Álgebra lineal
• Sistema de ecuaciones lineales
• Matriz (matemáticas)
• Descomposición LU
• Matriz de Frobenius

• Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 31 de octubre de 2009
• Perrone, Paolo (2024), Teoría de categorías iniciales, World Scientific, doi :10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1
• Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (novena edición), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7.ª ed.), Pearson Prentice Hall
• Strang, Gilbert (2016), Introducción al álgebra lineal (5.ª ed.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6