Matriz de manina

En matemáticas, las matrices de Manin , llamadas así por Yuri Manin , quien las introdujo alrededor de 1987-88, ^{[1] [2] [3]} son ​​una clase de matrices con elementos en un anillo no necesariamente conmutativo , que en cierto sentido se comportan como matrices cuyos elementos conmutan. En particular, existe una definición natural del determinante para ellas y la mayoría de los teoremas de álgebra lineal como la regla de Cramer , el teorema de Cayley-Hamilton , etc. son válidos para ellas. Cualquier matriz con elementos conmutativos es una matriz de Manin. Estas matrices tienen aplicaciones en la teoría de la representación , en particular en la identidad de Capelli , los sistemas integrables de Yang y los cuánticos .

Las matrices de Manin son ejemplos particulares de la construcción general de Manin de "simetrías no conmutativas" que se pueden aplicar a cualquier álgebra. Desde este punto de vista, son "endomorfismos no conmutativos" del álgebra polinómica C [ x ₁ , ... x _n ]. Tomando variables (q)-(super)-conmutativas se obtendrán (q)-(super)-análogos de las matrices de Manin, que están estrechamente relacionadas con los grupos cuánticos. Los trabajos de Manin fueron influenciados por la teoría cuántica de grupos . Descubrió que el álgebra cuantizada de funciones Fun _q (GL) puede definirse por el requisito de que T y T ^t sean simultáneamente matrices q-Manin. En ese sentido, debe enfatizarse que las matrices (q)-Manin están definidas solo por la mitad de las relaciones del grupo cuántico relacionado Fun _q (GL) , y estas relaciones son suficientes para muchos teoremas de álgebra lineal.

Las matrices con elementos no conmutativos genéricos no admiten una construcción natural del determinante con valores en un anillo fundamental y los teoremas básicos del álgebra lineal no se cumplen. Hay varias modificaciones de la teoría del determinante: determinante de Dieudonné que toma valores en la abelianización K ^* /[ K ^* , K ^* ] del grupo multiplicativo K ^* del anillo fundamental K ; y teoría de los cuasideterminantes . Pero la analogía entre estos determinantes y los determinantes conmutativos no es completa. Por otro lado, si se consideran ciertas clases específicas de matrices con elementos no conmutativos, entonces hay ejemplos donde se puede definir el determinante y probar teoremas de álgebra lineal que son muy similares a sus análogos conmutativos. Los ejemplos incluyen: grupos cuánticos y q-determinante; matriz de Capelli y determinante de Capelli ; supermatrices y bereziniano .

Las matrices de Manin son una clase general y natural de matrices con elementos no necesariamente conmutativos que admiten la definición natural del determinante y generalizaciones de los teoremas del álgebra lineal.

Una matriz M de n por m con elementos M _ij sobre un anillo R (no necesariamente conmutativa) es una matriz de Manin si todos los elementos en una columna dada conmutan y si para todos los i , j , k , l se cumple que [ M _ij , M _kl ] = [ M _kj , M _il ]. Aquí [ a , b ] denota ( ab  −  ba ) el conmutador de a y b . ^[3]

La definición se puede ver mejor a partir de las siguientes fórmulas. Una matriz rectangular M se llama matriz de Manin si para cualquier submatriz 2×2, que consta de filas i y k , y columnas j y l :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

Se cumplen las siguientes relaciones de conmutación

${\displaystyle ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}}$

${\displaystyle ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.}$

A continuación se presentan algunos ejemplos de la aparición de la propiedad de Manin en varias cuestiones muy simples y naturales relacionadas con matrices 2×2. La idea general es la siguiente: considere hechos bien conocidos del álgebra lineal y observe cómo relajar el supuesto de conmutatividad para los elementos de la matriz de modo que los resultados se mantengan como verdaderos. La respuesta es: si y solo si M es una matriz de Manin. ^[3] La prueba de todas las observaciones es una comprobación directa de una línea.

Considere una matriz de 2×2 ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Observación 1. Coacción en un plano.
Considere el anillo polinómico C [ x ₁ , x ₂ ] y suponga que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con x ₁ , x ₂ . Defina y ₁ , y ₂ mediante

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.}$

Entonces y ₁ , y ₂ conmutan entre sí si y sólo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle [y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.}$

Requiriendo que esto sea cero, obtenemos las relaciones de Manin.

Observación 2. Coacción en un superplano.
Considere el álgebra de Grassmann C [ ψ ₁ , ψ ₂ ], y suponga que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con ψ ₁ , ψ ₂ . Defina φ ₁ , φ ₂ mediante

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Entonces φ ₁ , φ ₂ son variables de Grassmann (es decir, anticonmutan entre sí y φ _i ² = 0) si y solo si M es una matriz de Manin.

Las observaciones 1 y 2 son válidas para matrices generales de Manin de n × m . Demuestran el enfoque original de Manin, como se describe a continuación (se debe pensar en las matrices habituales como homomorfismos de anillos polinómicos, mientras que las matrices de Manin son "homomorfismos no conmutativos" más generales). Preste atención a que los generadores de álgebras polinómicas se presentan como vectores columna, mientras que las álgebras de Grassmann como vectores fila; lo mismo se puede generalizar a un par arbitrario de álgebras duales de Koszul y matrices generales de Manin asociadas.

Observación 3. Regla de Cramer . La matriz inversa viene dada por la fórmula estándar

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

si y sólo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.}$

Observación 4. Teorema de Cayley-Hamilton . La igualdad

${\displaystyle M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0}$

se cumple si y sólo si M es una matriz de Manin.

Observación 5. Multiplicatividad de determinantes.

det ^columna ( MN ) = det ^columna ( M )det( N ) es válido para todas las matrices N de valores complejos si y solo si M es una matriz de Manin.

^{Donde la columna} det de la matriz 2×2 se define como ad  −  cb , es decir, los elementos de la primera columna ( a , c ) aparecen primero en los productos.

Según la ideología de Yu. Manin, se puede asociar a cualquier álgebra una determinada biálgebra de sus "simetrías no conmutativas (es decir, endomorfismos)". De manera más general, a un par de álgebras A , B se le puede asociar su álgebra de "homomorfismos no conmutativos" entre A y B. Estas ideas están naturalmente relacionadas con las ideas de la geometría no conmutativa . Las matrices de Manin consideradas aquí son ejemplos de esta construcción general aplicada a las álgebras polinómicas C [ x ₁ , ... x _n ].

El ámbito de la geometría se ocupa de los espacios, mientras que el ámbito del álgebra se ocupa de las álgebras respectivamente. El puente entre los dos ámbitos es la asociación a cada espacio de un álgebra de funciones en él, que es el álgebra conmutativa. Muchos conceptos de la geometría pueden ser reescritos en el lenguaje de las álgebras y viceversa.

La idea de simetría G del espacio V puede verse como la acción de G sobre V , es decir, la existencia de una función G× V -> V . Esta idea puede traducirse en lenguaje algebraico como la existencia del homomorfismo Fun(G) Fun(V) <- Fun(V) (ya que normalmente las funciones entre funciones y espacios van en direcciones opuestas). También las funciones de un espacio hacia sí mismo pueden estar compuestas (forman un semigrupo), por lo tanto, un objeto dual Fun(G) es una biálgebra . ${\displaystyle \otimes }$

Finalmente, se pueden tomar estas dos propiedades como básicas y dar una definición puramente algebraica de "simetría" que se puede aplicar a un álgebra arbitraria (no necesariamente conmutativa):

Definición. El álgebra de simetrías no conmutativas (endomorfismos) de alguna álgebra A es una biálgebra End(A) , tal que existen homomorfismos llamados coacción :

${\displaystyle coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,}$

que es compatible con una comultiplicación de manera natural. Finalmente, se requiere que End(A) satisfaga únicamente las relaciones que se derivan de lo anterior, ninguna otra relación, es decir, es una biálgebra coactante universal para A .

La coacción debe considerarse dual a la acción G× V -> V , por eso se la llama coacción . La compatibilidad de la función de comultiplicación con la función de coacción es dual a g (hv) = (gh) v . Esta compatibilidad se puede escribir fácilmente.

Un hecho algo sorprendente es que esta construcción aplicada al álgebra polinómica C [ x ₁ , ..., x _n ] no dará el álgebra usual de matrices Mat _n (más precisamente el álgebra de funciones sobre ella), sino un álgebra no conmutativa mucho más grande de matrices de Manin (más precisamente el álgebra generada por elementos M _ij . Más precisamente, las siguientes proposiciones simples son verdaderas.

Proposición . Considérese el álgebra polinómica Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] y la matriz M con elementos en alguna álgebra EndPol . Los elementos conmutan entre sí si y solo si M es una matriz de Manin. ${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol}$

Corolario. La función es homomorfismo de Pol a EndPol Pol . Define la coacción. ${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}}$ ${\displaystyle \otimes }$

De hecho, para asegurar que el mapa es homomorfismo lo único que necesitamos comprobar es que y _i conmutan entre sí.

Proposición . Definamos la función de comultiplicación mediante la fórmula . Entonces es coasociativa y es compatible con la coacción en el álgebra polinómica definida en la proposición anterior. ${\displaystyle \Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}}$

Las dos proposiciones anteriores implican que el álgebra generada por elementos de una matriz de Manin es una biálgebra que coactúa sobre el álgebra polinómica. Si no se imponen otras relaciones se obtiene un álgebra de endomorfismos no conmutativos del álgebra polinómica.

• Cualquier matriz con elementos conmutativos es una matriz de Manin.
• Cualquier matriz cuyos elementos de diferentes filas conmutan entre sí (estas matrices a veces denominadas matrices de Cartier - Foata ) es una matriz de Manin.
• Cualquier submatriz de una matriz de Manin es una matriz de Manin.
• Se pueden intercambiar filas y columnas en una matriz de Manin y el resultado también será una matriz de Manin. Se puede añadir una fila o columna multiplicada por el elemento central a otra fila o columna y el resultado será nuevamente una matriz de Manin. Es decir, se pueden hacer transformaciones elementales con la restricción de que el multiplicador sea central.
• Consideremos dos matrices de Manin M , N tales que todos sus elementos conmutan, entonces la suma M+N y el producto MN también serán matrices de Manin.
• Si la matriz M y la matriz transpuesta simultáneamente M ^t son matrices de Manin, entonces todos los elementos de M conmutan entre sí.
• Datos no válidos: M ^k no es una matriz de Manin en general (excepto k = -1, que se analiza más adelante); ni det( M ) ni Tr( M ) son centrales en el álgebra generada por M _ij en general (en ese sentido las matrices de Manin difieren de los grupos cuánticos); det( e ^M ) ≠ e ^{Tr( M )} ; log(det( M )) ≠ Tr(log( M )).
• Consideremos el álgebra polinómica C [ x _ij ] y denotemos por los operadores de diferenciación con respecto a${\displaystyle \partial _{ij}}$

x _ij , forman las matrices X, D con los elementos correspondientes. Considere también la variable z y el operador diferencial correspondiente . A continuación se ofrece un ejemplo de una matriz de Manin que es importante para las identidades de Capelli : ${\displaystyle \partial _{z}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.}$

Se puede reemplazar X , D por cualquier matriz cuyos elementos satisfagan la relación: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl , lo mismo acerca de z y su derivada.

Calcular el determinante de esta matriz de dos maneras: directamente y mediante la fórmula del complemento de Schur, proporciona esencialmente la identidad de Capelli y su generalización (véase la sección 4.3.1, ^[4] basado en ^[5] ).

El determinante de una matriz de Manin se puede definir mediante la fórmula estándar, con la prescripción de que los elementos de las primeras columnas aparezcan primero en el producto.

Muchas afirmaciones del álgebra lineal son válidas para las matrices de Manin incluso cuando R no es conmutativa. En particular, el determinante se puede definir de la forma estándar mediante permutaciones y satisface una regla de Cramer . ^[3] El teorema de MacMahon Master es válido para las matrices de Manin y, en realidad, para sus generalizaciones (super), (q), etc. análogas.

Proposición. Regla de Cramer (Ver ^[2] o sección 4.1. ^[3] ) La inversa de una matriz de Manin M se puede definir mediante la fórmula estándar: donde M ^adj es la matriz adjunta dada por la fórmula estándar - su (i,j)-ésimo elemento es el determinante de columna de la matriz (n − 1) × (n − 1) que resulta de eliminar la fila j y la columna i de M y multiplicar por (-1) ^i+j . ${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},}$

La única diferencia con el caso conmutativo es que se debe prestar atención a que todos los determinantes se calculan como determinantes de columna y también la matriz adjunta se ubica a la derecha, mientras que la inversa conmutativa del determinante de M se ubica a la izquierda, es decir, debido a la no conmutatividad el orden es importante.

Proposición. La inversa también es Manin. (Véase la sección 4.3. ^[3] ) Supongamos que existe una inversa bilateral de una matriz Manin M , entonces también será una matriz Manin. Además, det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹ .

Esta proposición es en cierto modo no trivial, implica el resultado de Enriquez-Rubtsov y Babelon-Talon en la teoría de sistemas integrables cuánticos (ver sección 4.2.1 ^[4] ).

Proposición. Teorema de Cayley-Hamilton (Ver sección 7.1. ^[3] )

${\displaystyle det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.}$

Donde σ _i son coeficientes del polinomio característico . ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

Proposición. Identidades de Newton (Ver sección 7.2.1. ^[3] ) ${\displaystyle \forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})}$

Donde σ _i son coeficientes del polinomio característico , y por convención σ _i = 0, para i>n , donde n es el tamaño de la matriz M . ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

Proposición. Determinante mediante complemento de Schur (Ver sección 5.2. ^[3] ) Supongamos que la matriz de bloques a continuación es una matriz de Manin y existen inversas bilaterales M ⁻¹ , A ⁻¹ , D ⁻¹ , entonces

${\displaystyle det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).}$

Además, los complementos de Schur son matrices de Manin. ${\displaystyle (D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)}$

Proposición. Teorema maestro de MacMahon

^[6]

La identidad de Capelli del siglo XIX ofrece uno de los primeros ejemplos de determinantes para matrices con elementos no conmutativos. Las matrices de Manin ofrecen una nueva perspectiva sobre este tema clásico. Este ejemplo está relacionado con el álgebra de Lie gl _n y sirve como prototipo para aplicaciones más complicadas del álgebra de Lie de bucles para gl _n , sistemas yangianos e integrables.

Consideremos que E _ij son matrices con 1 en la posición ( i, j ) y ceros en el resto de las posiciones. Forme una matriz E con elementos E _ij en la posición ( i, j ). Es una matriz con elementos en el anillo de matrices Mat _n . No es una matriz de Manin, sin embargo, existen modificaciones que la transforman en una matriz de Manin, como se describe a continuación.

Introducimos una variable formal z que conmuta con E _ij , respectivamente d/dz es operador de diferenciación en z . Lo único que se utilizará es que el conmutador de estos operadores sea igual a 1.

Observación. La matriz es una matriz de Manin. ${\displaystyle d/dzId-E/z}$

Aquí Id es la matriz identidad.

Ejemplo 2 × 2: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.}$

Es instructivo comprobar el requisito de conmutatividad de la columna: . ${\displaystyle [d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0}$

Observación. La matriz es una matriz de Manin. ${\displaystyle exp(-d/dz)(Id+E/z)}$

El único hecho requerido de E _ij para estas observaciones es que satisfagan las relaciones de conmutación [ E _ij , E _kl ]= δ _jk E _il - δ _li E _kj . Por lo tanto, las observaciones son verdaderas si E _ij son generadores del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie gl _n , o sus imágenes en cualquier representación. Por ejemplo, se puede tomar

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.}$

Aquí ψ son variables de Grassmann .

Observación. ${\displaystyle z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))}$

En el lado derecho de esta igualdad se reconoce el determinante de Capelli (o más precisamente el polinomio característico de Capelli), mientras que en el lado izquierdo se tiene una matriz de Manin con su determinante natural. Por lo tanto, las matrices de Manin dan una nueva perspectiva al determinante de Capelli. Además, la identidad de Capelli y su generalización se pueden derivar mediante técnicas de matrices de Manin. También proporciona una manera fácil de demostrar que esta expresión pertenece al centro del álgebra envolvente universal U(gl _n ), lo que está lejos de ser trivial. De hecho, es suficiente comprobar la invariancia con respecto a la acción del grupo GL _n por conjugación. . Por lo tanto, la única propiedad utilizada aquí es la que es verdadera para cualquier matriz de Manin M y cualquier matriz g con elementos centrales (por ejemplo, escalares). ${\displaystyle det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)}$${\displaystyle det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)}$

Observación. Sea T(z) una matriz generadora del Yangiano para gl _n . Entonces la matriz exp(-d/dz) T(z) es una matriz de Manin.

El determinante cuántico de Yangian se puede definir como exp (nd/dz) det ^column (exp(-d/dz) T(z)) . Tenga en cuenta que exp(-d/dz) se puede cancelar, por lo que la expresión no depende de él. Por lo tanto, el determinante en la teoría de Yangian tiene una interpretación natural a través de las matrices de Manin.

Para los sistemas integrables cuánticos es importante construir subálgebras conmutativas en Yangian. Es bien sabido que en las expresiones límite clásicas Tr(T ^k (z)) se genera una subálgebra conmutativa de Poisson. La cuantificación correcta de estas expresiones se propuso por primera vez mediante el uso de identidades de Newton para matrices de Manin:

Proposición. Los coeficientes de Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) para todo k conmutan entre sí. Generan una subálgebra conmutativa en Yangian. La misma subálgebra que los coeficientes del polinomio característico det ^column (1-exp(-d/dz) T(z)) .

(La subálgebra a veces se denomina subálgebra de Bethe, ya que el ansatz de Bethe es un método para encontrar sus pares conjuntos).

Manin propuso la construcción general de "simetrías no conmutativas" en ^[1], y el caso particular de las llamadas matrices de Manin se analiza en ^[2] , donde se describen algunas propiedades básicas. La principal motivación de estos trabajos fue dar una nueva mirada a los grupos cuánticos. Las matrices cuánticas Fun _q ( GL _n ) se pueden definir como matrices tales que T y simultáneamente T ^t son matrices q-Manin (es decir, son simetrías no conmutativas de polinomios q-conmutativos x _i x _j = qx _j x _i . Después de los trabajos originales de Manin solo hubo unos pocos artículos sobre matrices de Manin hasta 2003. Pero alrededor y algunos después de esta fecha, las matrices de Manin aparecieron en varias áreas no muy relacionadas: ^[6] obtuvieron cierta generalización no conmutativa de la identidad maestra de MacMahon, que se usó en la teoría de nudos; aplicaciones a sistemas integrables cuánticos, álgebras de Lie se han encontrado en ; ^[4] generalizaciones de la identidad de Capelli que involucran matrices de Manin aparecieron en . ^[7] Las direcciones propuestas en estos artículos se han desarrollado aún más.

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