Lema del determinante de matrices

En matemáticas , en particular en álgebra lineal , el lema del determinante de una matriz calcula el determinante de la suma de una matriz invertible A y el producto diádico , u v ^{T , de un} vector columna u y un vector fila v ^T . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible y u y v son vectores columna. Entonces, el lema del determinante de matrices establece que

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\,\det(\mathbf {A} )\,.}$

Aquí, uv ^T es el producto exterior de dos vectores u y v .

El teorema también puede enunciarse en términos de la matriz adjunta de A :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {A} )+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {u} \,,}$

en cuyo caso se aplica independientemente de si la matriz A es invertible o no.

Primero, la demostración del caso especial A = I se deduce de la igualdad: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

El determinante del lado izquierdo es el producto de los determinantes de las tres matrices. Dado que la primera y la tercera matriz son triangulares con diagonal unitaria, sus determinantes son simplemente 1. El determinante de la matriz central es el valor que buscamos. El determinante del lado derecho es simplemente (1 + v ^T u ). Por lo tanto, tenemos el resultado:

${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} .}$

Entonces, el caso general se puede encontrar estableciendo u como A ⁻¹ u :

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})&=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {I} +(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}})\\&=\det(\mathbf {A} )\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\right).\end{aligned}}}$

Si el determinante y la inversa de A ya se conocen, la fórmula proporciona una forma numéricamente económica de calcular el determinante de A corregido por la matriz uv ^T. El cálculo es relativamente económico porque no es necesario calcular el determinante de A + uv ^{T desde cero (lo cual, en general, es costoso). Utilizando} vectores unitarios para u y/o v , se pueden manipular columnas, filas o elementos individuales ^{[ 4 ]} de A y calcular un determinante actualizado correspondiente de forma relativamente económica.

Cuando se utiliza el lema del determinante de matrices junto con la fórmula de Sherman-Morrison , tanto la inversa como el determinante pueden actualizarse convenientemente de forma conjunta.

Supongamos que A es una matriz invertible de n x n y U y V son matrices de n x m . Entonces

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {A} ).}$

En el caso especial${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_ {n}}}$Esta es la identidad Weinstein-Aronszajn .

Dada además una matriz invertible m x m W , la relación también puede expresarse como

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {W} )\det(\mathbf {A} ).}$

• La fórmula de Sherman-Morrison , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• La fórmula de Woodbury , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• El teorema inverso binomial para ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .