Base (álgebra lineal)

En matemáticas , un conjunto B de elementos de un espacio vectorial V se denomina base ( pl.: bases ) si cada elemento de V puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de B. Los coeficientes de esta combinación lineal se denominan componentes o coordenadas del vector con respecto a B. Los elementos de una base se denominanvectores base .

De forma equivalente, un conjunto B es una base si sus elementos son linealmente independientes y cada elemento de V es una combinación lineal de elementos de B. En otras palabras, una base es un conjunto generador linealmente independiente .

Un espacio vectorial puede tener varias bases; sin embargo, todas las bases tienen el mismo número de elementos, lo que se denomina dimensión del espacio vectorial.

Este artículo trata principalmente sobre espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Los vectores base encuentran aplicaciones en el estudio de estructuras cristalinas y sistemas de referencia .

Una base B de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F (como los números reales R o los números complejos C ) es un subconjunto linealmente independiente de V que genera V. Esto significa que un subconjunto B de V es una base si satisface las dos condiciones siguientes: ^{[ 1 ]}

• independencia lineal : para cada subconjunto finito${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$de B , si${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$para algunos${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$en F , entonces${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$; y ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• la propiedad de expansión: para cada vector${\displaystyle \mathbf {v} }$en${\displaystyle V}$uno puede elegir${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$en${\displaystyle F}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$en${\displaystyle B}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$. En otras palabras,${\displaystyle \mathbb {v} }$puede representarse como una combinación lineal de algunos vectores en${\displaystyle B}$. ^{[ 1 ]}

La primera propiedad puede expresarse de forma equivalente como sigue: si una combinación lineal de vectores en B es igual al vector cero, entonces todos los coeficientes escalares de la combinación deben ser cero.

Si B es una base para V , entonces cada vector${\displaystyle \mathbf {v} }$en V se puede escribir como una combinación lineal de vectores en B (por la propiedad de generación); de la independencia lineal se deduce que esto se puede hacer exactamente de una manera. Por lo tanto, los coeficientes escalares${\displaystyle a_{i}}$que aparecen en esta combinación están determinadas de forma única; se denominan las coordenadas de${\displaystyle \mathbf {v} }$con respecto a la base${\displaystyle B}$.

Un espacio vectorial que tiene una base finita se llama de dimensión finita . En este caso, el subconjunto finito puede tomarse como${\displaystyle B}$para comprobar la independencia lineal en la definición anterior. ^{[ 1 ]}

A menudo resulta conveniente, e incluso necesario, establecer un orden en los vectores base, por ejemplo, al hablar de orientación o al considerar los coeficientes escalares de un vector con respecto a una base sin referirse explícitamente a sus elementos. En este caso, el orden es necesario para asociar cada coeficiente con el elemento base correspondiente. Este orden se puede establecer numerando los elementos base. Para enfatizar que se ha elegido un orden, se habla de una base ordenada , que, por lo tanto, no es simplemente un conjunto no estructurado , sino una secuencia , una familia indexada o similar; véase la sección «  Bases y coordenadas ordenadas» más adelante.

El conjunto R² de pares ordenados de números reales es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma componente a componente ^.$${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$ y multiplicación escalar $${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$ dónde${\displaystyle \lambda }$es cualquier número real. Una base simple de este espacio vectorial consta de los dos vectores e ₁ = (1, 0) y e ₂ = (0, 1) . Estos vectores forman una base (llamada base estándar ) porque cualquier vector v = ( a , b ) de R ² puede escribirse de forma única como$${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$Cualquier otro par de vectores linealmente independientes de R ² , como (1, 1) y (−1, 2) , también forma una base de R ² .

De forma más general, si F es un cuerpo , el conjunto${\displaystyle F^{n}}$El conjunto de n -tuplas de elementos de F es un espacio vectorial para la suma y la multiplicación escalar definidas de manera similar. Sea$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$$Sea la n -tupla con todos los componentes iguales a 0, excepto el i- ésimo, que es 1. Entonces${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots,\mathbf {e} _{n}}$es una base de${\displaystyle F^{n},}$que se denomina base estándar de${\displaystyle F^{n}.}$

Otro ejemplo lo proporcionan los anillos de polinomios . Si F es un cuerpo, la colección F [ X ] de todos los polinomios en una indeterminada X con coeficientes en F es un espacio vectorial sobre F. Una base para este espacio es la base monomial B , que consta de todos los monomios :$${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$$Cualquier conjunto de polinomios de tal forma que haya exactamente un polinomio de cada grado (como los polinomios base de Bernstein o los polinomios de Chebyshev ) también es una base. (Dicho conjunto de polinomios se denomina sucesión de polinomios ). Pero también existen muchas bases para F [ X ] que no tienen esta forma.

Muchas propiedades de las bases finitas resultan del lema de intercambio de Steinitz , que establece que, para cualquier espacio vectorial V , dado un conjunto generador finito S y un conjunto linealmente independiente L de n elementos de V , se pueden reemplazar n elementos bien elegidos de S por los elementos de L para obtener un conjunto generador que contenga a L , que tenga sus otros elementos en S y que tenga el mismo número de elementos que S.

La mayoría de las propiedades que resultan del lema de intercambio de Steinitz siguen siendo ciertas cuando no hay un conjunto generador finito, pero sus demostraciones en el caso infinito generalmente requieren el axioma de elección o una forma más débil del mismo, como el lema del ultrafiltro .

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo F , entonces:

• Si L es un subconjunto linealmente independiente de un conjunto generador S ⊆ V , entonces existe una base B tal que$${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• V tiene una base (esta es la propiedad anterior, donde L es el conjunto vacío y S = V ).
• Todas las bases de V tienen la misma cardinalidad , que se denomina dimensión de V. Este es el teorema de la dimensión .
• Un conjunto generador S es una base de V si y solo si es minimal, es decir, ningún subconjunto propio de S es también un conjunto generador de V.
• Un conjunto linealmente independiente L es una base si y solo si es maximal, es decir, no es un subconjunto propio de ningún conjunto linealmente independiente.

Si V es un espacio vectorial de dimensión n , entonces:

• Un subconjunto de V con n elementos es una base si y solo si es linealmente independiente.
• Un subconjunto de V con n elementos es una base si y solo si es un conjunto generador de V.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo F , y $${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$ ser una base de V. Por definición de una base, cada v en V puede escribirse, de una manera única, como $${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _ {1}\mathbf {b} _ {1}+\cdots +\lambda _ {n}\mathbf {b} _ {n},}$$ donde los coeficientes${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$son escalares (es decir, elementos de F ), que se denominan coordenadas de v sobre B. Sin embargo, si se habla del conjunto de coeficientes, se pierde la correspondencia entre coeficientes y elementos base, y varios vectores pueden tener el mismo conjunto de coeficientes. Por ejemplo,${\ Displaystyle 3 \ mathbf {b} _ {1} +2 \ mathbf {b} _ {2}}$y${\ Displaystyle 2 \ mathbf {b} _ {1} +3 \ mathbf {b} _ {2}}$tienen el mismo conjunto de coeficientes {2, 3} y son diferentes. Por lo tanto, suele ser conveniente trabajar con una base ordenada ; esto se hace normalmente indexando los elementos de la base por los primeros números naturales. Entonces, las coordenadas de un vector forman una secuencia indexada de manera similar, y un vector queda completamente caracterizado por la secuencia de coordenadas. Una base ordenada, especialmente cuando se usa junto con un origen , también se llama sistema de coordenadas o simplemente marco (por ejemplo, un marco cartesiano o un marco afín ).

Dejemos, como de costumbre,${\displaystyle F^{n}}$Sea F el conjunto de las n -tuplas de elementos de F. Este conjunto es un espacio vectorial F , con la suma y la multiplicación escalar definidas componente a componente. El mapa $${\displaystyle \varphi$$ :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}} es un isomorfismo lineal del espacio vectorial${\displaystyle F^{n}}$sobre V. En otras palabras,${\displaystyle F^{n}}$es el espacio de coordenadas de V y la n -tupla${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$es el vector de coordenadas de v .

La imagen inversa por${\displaystyle \varphi }$de${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$es la n -tupla${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}$Todos cuyos componentes son 0, excepto el i- ésimo que es 1.${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}$formar una base ordenada de${\displaystyle F^{n}}$, que se denomina su base estándar o base canónica . La base ordenada B es la imagen por${\displaystyle \varphi }$de la base canónica de${\displaystyle F^{n}}$.

De lo anterior se deduce que toda base ordenada es la imagen mediante un isomorfismo lineal de la base canónica de${\displaystyle F^{n}}$y que todo isomorfismo lineal de${\displaystyle F^{n}}$sobre V puede definirse como el isomorfismo que mapea la base canónica de${\displaystyle F^{n}}$sobre una base ordenada dada de V. En otras palabras, es equivalente a definir una base ordenada de V , o un isomorfismo lineal de${\displaystyle F^{n}}$sobre V.​

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo F. Dadas dos bases (ordenadas)${\displaystyle B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$y${\displaystyle B_{\text{nuevo}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$de V , a menudo es útil expresar las coordenadas de un vector x con respecto a${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$en términos de las coordenadas con respecto a${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$Esto se puede hacer mediante la fórmula de cambio de base , que se describe a continuación. Se han elegido los subíndices "antiguo" y "nuevo" porque es costumbre referirse a${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$y${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$como la base antigua y la base nueva , respectivamente. Es útil describir las coordenadas antiguas en términos de las nuevas, porque, en general, se tienen expresiones que involucran las coordenadas antiguas, y si se desea obtener expresiones equivalentes en términos de las nuevas coordenadas, esto se logra reemplazando las coordenadas antiguas por sus expresiones en términos de las nuevas coordenadas.

Normalmente, los nuevos vectores base vienen dados por sus coordenadas sobre la base antigua, es decir, $${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$ Si${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$y${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$son las coordenadas de un vector x sobre la base antigua y la nueva respectivamente, la fórmula de cambio de base es $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$ para i = 1, ..., n .

Esta fórmula puede escribirse concisamente en notación matricial . Sea A la matriz de la${\displaystyle a_{i,j}}$, y $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{y}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$ Sean los vectores columna de las coordenadas de v en la base antigua y la nueva respectivamente, entonces la fórmula para cambiar las coordenadas es $${\displaystyle X=AY.}$$

La fórmula se puede demostrar considerando la descomposición del vector x en las dos bases: una tiene $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _ {i=1}^{n}x_ {i}\mathbf {v} _ {i},}$$ y $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$

La fórmula de cambio de base resulta entonces de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base, aquí${\displaystyle B_{\text{antiguo}}}$; eso es $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$ para i = 1, ..., n .

Sea V un espacio vectorial cualquiera sobre algún cuerpo F. Sea X el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de V.

El conjunto X no es vacío ya que el conjunto vacío es un subconjunto independiente de V , y está parcialmente ordenado por inclusión, que se denota, como es habitual, por ⊆ .

Sea Y un subconjunto de X que está totalmente ordenado por ⊆ , y sea L _Y la unión de todos los elementos de Y (que a su vez son ciertos subconjuntos de V ).

Dado que ( Y , ⊆) es totalmente ordenado, cada subconjunto finito de L _Y es un subconjunto de un elemento de Y , que a su vez es un subconjunto linealmente independiente de V , y por lo tanto L _Y es linealmente independiente. Así , L _Y es un elemento de X. Por consiguiente, L _Y es una cota superior para Y en ( X , ⊆) : es un elemento de X que contiene a todos los elementos de Y.

Como X no es vacío, y todo subconjunto totalmente ordenado de ( X , ⊆) tiene una cota superior en X , el lema de Zorn afirma que X tiene un elemento maximal. En otras palabras, existe algún elemento Lmax de X que satisface la condición de que siempre que _Lmax ⊆ _L para algún elemento L de X , entonces L = _Lmax .

Queda por demostrar que L _max es una base de V. Dado que L _max pertenece a X , ya sabemos que L _max es un subconjunto linealmente independiente de V.

Si existiera algún vector w de V que no estuviera en el espacio generado por L _max , entonces w tampoco sería un elemento de L _max . Sea L _w = L _max ∪ { w } . Este conjunto es un elemento de X , es decir, es un subconjunto linealmente independiente de V (porque w no está en el espacio generado por L _max , y L _max es independiente). Como L _max ⊆ L _w , y L _max ≠ L _w (porque L _w contiene el vector w que no está contenido en L _max ), esto contradice la maximalidad de L _max . Por lo tanto, esto demuestra que L _max genera V .

Por lo tanto, L _max es linealmente independiente y genera V. Es, por consiguiente, una base de V , lo que demuestra que todo espacio vectorial tiene una base.

Esta demostración se basa en el lema de Zorn, que es equivalente al axioma de elección . Recíprocamente, se ha demostrado que si todo espacio vectorial tiene una base, entonces el axioma de elección es verdadero. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, ambas afirmaciones son equivalentes.

• Base de un matroide
• Fundamentos de un programa lineal
• Sistema de coordenadas
• Cambio de base – Cambio de coordenadas en álgebra lineal 
• Marco de un espacio vectorial : similar a la base de un espacio vectorial, pero no necesariamente linealmente independiente. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Base esférica : base utilizada para expresar tensores esféricos. 

• Vídeos instructivos de Khan Academy
  • Introducción a las bases de subespacios
  • Prueba de que cualquier base de subespacios tiene el mismo número de elementos.
• "Combinaciones lineales, espacio vectorial generado y vectores base" . Esencia del álgebra lineal . 6 de agosto de 2016. Archivado del original el 17 de noviembre de 2021 ( vía YouTube) .
• "Base" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]