Teoría algebraica de números

Los orígenes de la teoría algebraica de números se remontan a las ecuaciones diofánticas, ^{[ 1 ]} llamadas así en honor al matemático alejandrino del siglo III, Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico consiste en encontrar dos enteros x e y tales que su suma, y ​​la suma de sus cuadrados, sean iguales a dos números dados A y B , respectivamente:

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones a la ecuación diofántica cuadrática x² + ^y² = ^z² se obtienen ^mediante las ternas pitagóricas , resueltas originalmente por los babilonios ( c. 1800 a. C. ). ^{[ 2 ]} Las soluciones a ecuaciones diofánticas lineales, como 26x + 65y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano ( c. siglo V a. C.). ^{[ 3 ]}

La obra principal de Diofanto fue la Aritmética , de la cual solo se conserva una parte.

El último teorema de Fermat fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637, en una famosa anotación al margen de un ejemplar de Aritmética , donde afirmaba tener una demostración demasiado extensa para caber en el margen. No se publicó ninguna demostración exitosa hasta 1995, a pesar de los esfuerzos de innumerables matemáticos durante los 358 años transcurridos. Este problema sin resolver impulsó el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX.

Una de las obras fundacionales de la teoría algebraica de números, las Disquisitiones Arithmeticae ( en latín : Investigaciones Aritméticas ), es un libro de texto de teoría de números escrito en latín ^{[ 4 ]} por Carl Friedrich Gauss en 1798, cuando Gauss tenía 21 años, y publicado por primera vez en 1801, cuando tenía 24. En este libro, Gauss reúne resultados de la teoría de números obtenidos por matemáticos como Fermat, Euler , Lagrange y Legendre , y añade importantes resultados nuevos propios. Antes de la publicación de las Disquisitiones , la teoría de números consistía en una colección de teoremas y conjeturas aislados. Gauss reunió el trabajo de sus predecesores con su propio trabajo original en un marco sistemático, completó lagunas, corrigió demostraciones erróneas y amplió la materia de numerosas maneras.

Las Disquisitiones fueron el punto de partida para el trabajo de otros matemáticos europeos del siglo XIX, como Ernst Kummer , Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Richard Dedekind . Muchas de las anotaciones de Gauss son, en realidad, anuncios de sus propias investigaciones, algunas de las cuales permanecieron inéditas. Debieron resultar particularmente crípticas para sus contemporáneos; hoy podemos interpretarlas como el germen de las teorías de las funciones L y la multiplicación compleja , en particular.

En un par de artículos de 1838 y 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró la primera fórmula de números de clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Leopold Kronecker ). La fórmula, que Jacobi calificó como un resultado que «alcanzaba la máxima perspicacia humana», abrió el camino a resultados similares en relación con cuerpos numéricos más generales . ^{[ 5 ]} Basándose en su investigación sobre la estructura del grupo unitario de cuerpos cuadráticos , demostró el teorema de la unidad de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números. ^{[ 6 ]}

Primero utilizó el principio del palomar , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema de aproximación diofántica , que más tarde recibió su nombre: el teorema de aproximación de Dirichlet . Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat, para el cual demostró los casos n  =  5 y n  =  14, y a la ley de reciprocidad bicuadrática . ^{[ 5 ]} El problema del divisor de Dirichlet , para el cual halló los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros investigadores.

El estudio que Richard Dedekind hizo de la obra de Lejeune Dirichlet fue lo que lo llevó a su posterior estudio de los cuerpos numéricos algebraicos y los ideales. En 1863, publicó las lecciones de Lejeune Dirichlet sobre teoría de números como Vorlesungen über Zahlentheorie ("Lecciones sobre teoría de números"), sobre las cuales se ha escrito que:

«Si bien el libro se basa sin duda en las conferencias de Dirichlet, y aunque el propio Dedekind se refirió a él como obra de Dirichlet a lo largo de su vida, el libro en sí fue escrito íntegramente por Dedekind, en su mayor parte después de la muerte de Dirichlet.» (Edwards 1983)

Las ediciones de 1879 y 1894 de las Vorlesungen incluyeron suplementos que introducían la noción de ideal, fundamental para la teoría de anillos . (La palabra "Anillo", introducida posteriormente por Hilbert , no aparece en la obra de Dedekind). Dedekind definió un ideal como un subconjunto de un conjunto de números, compuesto por enteros algebraicos que satisfacen ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros. El concepto fue desarrollado posteriormente por Hilbert y, especialmente, por Emmy Noether . Los ideales generalizan los números ideales de Ernst Eduard Kummer , ideados como parte del intento de Kummer en 1843 de demostrar el Último Teorema de Fermat.

David Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897, Zahlbericht (literalmente, "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud , utilizó una prueba de existencia que demuestra que debe haber soluciones para el problema, en lugar de proporcionar un mecanismo para obtener las respuestas. ^{[ 7 ]} Después, publicó poco más sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre está aún más ligado a un área importante.

Formuló una serie de conjeturas sobre la teoría de cuerpos de clases . Estos conceptos fueron muy influyentes, y su contribución perdura en los nombres del cuerpo de clases de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría de cuerpos de clases locales . La mayoría de los resultados se demostraron en 1930, tras el trabajo de Teiji Takagi . ^{[ 8 ]}

Emil Artin estableció la ley de reciprocidad de Artin en una serie de artículos (1924; 1927; 1930). Esta ley es un teorema general en teoría de números que constituye una parte central de la teoría global de campos de clases. ^{[ 9 ]} El término " ley de reciprocidad " se refiere a una larga línea de enunciados más concretos de la teoría de números que generalizó, desde la ley de reciprocidad cuadrática y las leyes de reciprocidad de Eisenstein y Kummer hasta la fórmula del producto de Hilbert para el símbolo de norma . El resultado de Artin proporcionó una solución parcial al noveno problema de Hilbert .

Hacia 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron una posible relación entre dos ramas de las matemáticas aparentemente completamente distintas: las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (conocido en aquel entonces como la conjetura de Taniyama-Shimura) afirma que toda curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .

Inicialmente se descartó por improbable o altamente especulativa, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que la respaldaba, aunque sin pruebas concluyentes; como resultado, la "asombrosa" ^{[ 10 ]} conjetura se conoció a menudo como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Se convirtió en parte del programa de Langlands , una lista de conjeturas importantes que necesitaban prueba o refutación.

Entre 1993 y 1994, Andrew Wiles proporcionó una demostración del teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables , que, junto con el teorema de Ribet , proporcionó una demostración del Último Teorema de Fermat. Casi todos los matemáticos de la época habían considerado previamente tanto el Último Teorema de Fermat como el Teorema de Modularidad imposibles o prácticamente imposibles de demostrar, incluso con los avances más vanguardistas. Wiles anunció su demostración por primera vez en junio de 1993 ^{[ 11 ]} en una versión que pronto se reconoció como gravemente deficiente en un punto clave. La demostración fue corregida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor , y la versión final, ampliamente aceptada, se publicó en septiembre de 1994 y formalmente en 1995. La demostración utiliza muchas técnicas de geometría algebraica y teoría de números, y tiene numerosas ramificaciones en estas ramas de las matemáticas. También utiliza construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa , y otras técnicas del siglo XX que no estaban al alcance de Fermat.

Una propiedad importante del anillo de enteros racionales Z es que satisface el teorema fundamental de la aritmética , que establece que todo entero (positivo) tiene una factorización en un producto de números primos , y esta factorización es única salvo por el orden de los factores. Esto puede dejar de ser cierto en el anillo de enteros O de un cuerpo numérico algebraico K.

Para O y los anillos conmutativos en general, un elemento primo es un elemento del anillo que satisface la propiedad clave de los números primos dada por el lema de Euclides : un elemento primo es un elemento p de O tal que si p divide un producto ab , entonces divide a uno de los factores a o b . Esta propiedad está estrechamente relacionada con la primalidad en los enteros, porque cualquier entero positivo que satisfaga esta propiedad es 1 o un número primo. Sin embargo, es estrictamente más débil. Por ejemplo, −2 no es un número primo porque es negativo, pero es un elemento primo. Si se permiten factorizaciones en elementos primos, entonces, incluso en los enteros, hay factorizaciones alternativas como

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

En general, si u es una unidad , es decir, un número con un inverso multiplicativo en O , y si p es un elemento primo, entonces up también es un elemento primo. Se dice que números como p y up son asociados . En los enteros, los primos p y −p son asociados, pero solo uno de ellos es positivo. Exigir que los números primos sean positivos selecciona un elemento único de entre un conjunto de elementos primos asociados. Sin embargo, cuando K no son los números racionales, no hay un análogo de la positividad. Por ejemplo, en los enteros gaussianos Z [ i ] , ^{[ 12 ]} los números 1 + 2i y −2 + i son asociados porque el último es el producto del primero por i , pero no hay manera de señalar uno como más canónico que el otro. Esto lleva a ecuaciones como

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

lo cual demuestra que en Z [ i ] , no es cierto que las factorizaciones sean únicas salvo el orden de los factores. Por esta razón, se adopta la definición de factorización única utilizada en los dominios de factorización única (DFU). En un DFU, se espera que los elementos primos que aparecen en una factorización sean únicos solo hasta las unidades y su orden.

Sin embargo, incluso con esta definición más débil, muchos anillos de enteros en cuerpos numéricos algebraicos no admiten factorización única. Hay una obstrucción algebraica llamada grupo de clases ideales. Cuando el grupo de clases ideales es trivial, el anillo es un UFD. Cuando no lo es, hay una distinción entre un elemento primo y un elemento irreducible . Un elemento irreducible x es un elemento tal que si x = yz , entonces y o z es una unidad. Estos son los elementos que no se pueden factorizar más. Cada elemento en O admite una factorización en elementos irreducibles, pero puede admitir más de una. Esto se debe a que, si bien todos los elementos primos son irreducibles, algunos elementos irreducibles pueden no ser primos. Por ejemplo, considérese el anillo Z [√ -5 ] . ^{[ 13 ]} En este anillo, los números 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 son irreducibles. Esto significa que el número 9 tiene dos factorizaciones en elementos irreducibles,

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Esta ecuación muestra que 3 divide el producto (2 + √ -5 )(2 - √ -5 ) = 9 . Si 3 fuera un elemento primo, entonces dividiría 2 + √ -5 o 2 - √ -5 , pero no lo hace, porque todos los elementos divisibles por 3 son de la forma 3 a + 3 b √ -5 . De manera similar, 2 + √ -5 y 2 - √ -5 dividen el producto 3 ² , pero ninguno de estos elementos divide a 3 mismo, por lo que ninguno de ellos es primo. Como no hay ningún sentido en el que los elementos 3 , 2 + √ -5 y 2 - √ -5 puedan hacerse equivalentes, la factorización única falla en Z [√ -5 ] . A diferencia de la situación con las unidades, donde la unicidad podría repararse debilitando la definición, superar este fallo requiere una nueva perspectiva.

Si I es un ideal en O , entonces siempre hay una factorización.

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

donde cada${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$es un ideal primo , y donde esta expresión es única salvo el orden de los factores. En particular, esto es cierto si I es el ideal principal generado por un solo elemento. Este es el sentido más fuerte en el que el anillo de enteros de un cuerpo numérico general admite una factorización única. En el lenguaje de la teoría de anillos, se dice que los anillos de enteros son dominios de Dedekind .

Cuando O es un dominio universalmente definido (DUD), todo ideal primo es generado por un elemento primo. En caso contrario, existen ideales primos que no son generados por elementos primos. En Z [√ -5 ] , por ejemplo, el ideal (2, 1 + √ -5 ) es un ideal primo que no puede ser generado por un solo elemento.

Históricamente, la idea de factorizar ideales en ideales primos fue precedida por la introducción de los números ideales por Ernst Kummer. Estos son números que pertenecen a un cuerpo de extensión E de K. Este cuerpo de extensión se conoce actualmente como el cuerpo de clases de Hilbert. Según el teorema del ideal principal , todo ideal primo de O genera un ideal principal del anillo de enteros de E. Un generador de este ideal principal se denomina número ideal. Kummer los utilizó como sustituto de la falta de factorización única en cuerpos ciclotómicos . Esto llevó finalmente a Richard Dedekind a introducir un precursor de los ideales y a demostrar la factorización única de los mismos.

Un ideal que es primo en el anillo de enteros en un cuerpo numérico puede dejar de ser primo cuando se extiende a un cuerpo numérico mayor. Consideremos, por ejemplo, los números primos. Los ideales correspondientes p Z son ideales primos del anillo Z . Sin embargo, cuando este ideal se extiende a los enteros gaussianos para obtener p Z [ i ] , puede o no ser primo. Por ejemplo, la factorización 2 = (1 + i )(1 − i ) implica que

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

Nótese que, dado que 1 + i = (1 − i ) ⋅ i , los ideales generados por 1 + i y 1 − i son los mismos. El teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados proporciona una respuesta completa a la pregunta de qué ideales siguen siendo primos en los enteros gaussianos . Esto implica que, para un número primo impar p , p Z [ i ] es un ideal primo si p ≡ 3 (mod 4) y no lo es si p ≡ 1 (mod 4) . Esto, junto con la observación de que el ideal (1 + i ) Z [ i ] es primo, proporciona una descripción completa de los ideales primos en los enteros gaussianos. Generalizar este sencillo resultado a anillos de enteros más generales es un problema fundamental en la teoría algebraica de números. La teoría de cuerpos de clases logra este objetivo cuando K es una extensión abeliana de Q (es decir, una extensión de Galois con grupo de Galois abeliano ).

La factorización única falla en O si y solo si existen ideales primos que no son principales. El objeto que mide el fracaso de los ideales primos para ser principales se llama grupo de clases de ideales. Definir el grupo de clases de ideales requiere ampliar el conjunto de ideales en un anillo de enteros algebraicos de modo que admitan una estructura de grupo . Esto se hace generalizando los ideales a ideales fraccionarios . Un ideal fraccionario es un subgrupo aditivo J de K que es cerrado bajo la multiplicación por elementos de O , lo que significa que xJ ⊆ J si x ∈ O. Todos los ideales de O son también ideales fraccionarios. Si I y J son ideales fraccionarios, entonces el conjunto IJ de todos los productos de un elemento en I y un elemento en J es también un ideal fraccionario. Esta operación convierte el conjunto de ideales fraccionarios no nulos en un grupo. La identidad del grupo es el ideal (1) = O , y el inverso de J es un cociente de ideales (generalizado) :

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

Los ideales fraccionarios principales, es decir, aquellos de la forma Ox donde x ∈ K ^× , forman un subgrupo del grupo de todos los ideales fraccionarios no nulos. El cociente del grupo de ideales fraccionarios no nulos por este subgrupo es el grupo de clases de ideales. Dos ideales fraccionarios I y J representan el mismo elemento del grupo de clases de ideales si y solo si existe un elemento x ∈ K tal que xI = J. Por lo tanto, el grupo de clases de ideales hace que dos ideales fraccionarios sean equivalentes si uno está tan cerca de ser principal como el otro. El grupo de clases de ideales se denota generalmente como Cl K , Cl O , o Pic O (esta última notación lo identifica con el grupo de Picard en geometría algebraica).

El número de elementos en el grupo de clases se llama número de clase de K. El número de clase de Q (√ -5 ) es 2. Esto significa que solo hay dos clases de ideales, la clase de ideales fraccionarios principales y la clase de un ideal fraccionario no principal como (2, 1 + √ -5 ) .

El grupo de clases ideal tiene otra descripción en términos de divisores . Estos son objetos formales que representan posibles factorizaciones de números. El grupo de divisores Div K se define como el grupo abeliano libre generado por los ideales primos de O. Existe un homomorfismo de grupos de K ^× , los elementos no nulos de K salvo multiplicación, a Div K. Supongamos que x ∈ K satisface

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

Entonces, div x se define como el divisor.

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

El núcleo de div es el grupo de unidades en O , mientras que el conúcleo es el grupo de clases ideales. En el lenguaje del álgebra homológica , esto significa que existe una sucesión exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

Algunos cuerpos numéricos, como Q (√2 ) , pueden especificarse como subcuerpos de los números reales. Otros, como Q (√ − 1 ) , no. En abstracto, dicha especificación corresponde a un homomorfismo de cuerpos K → R o K → C. Estos se denominan , respectivamente, incrustaciones reales e incrustaciones complejas .

Un cuerpo cuadrático real Q (√ a ) , con a ∈ Z , a > 0 , y a no es un cuadrado perfecto , se llama así porque admite dos incrustaciones reales pero ninguna incrustación compleja. Estos son los homomorfismos de cuerpo que envían √ a a √ a y a − √ a , respectivamente. De manera dual, un cuerpo cuadrático imaginario Q (√ − a ) no admite incrustaciones reales pero admite un par conjugado de incrustaciones complejas. Una de estas incrustaciones envía √ − a a √ − a , mientras que la otra lo envía a su conjugado complejo , − √ − a .

Convencionalmente, el número de incrustaciones reales de K se denota como r ₁ , mientras que el número de pares conjugados de incrustaciones complejas se denota como r ₂ . La signatura de K es el par ( r ₁ , r ₂ ) . Es un teorema que r ₁ + 2 r ₂ = d , donde d es el grado de K .

Considerar todas las incrustaciones a la vez determina una función.${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{r_{2}}}$o equivalentemente${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {R} ^{2r_{2}}.}$ Esto se denomina incrustación de Minkowski .

El subespacio del codominio fijado por la conjugación compleja es un espacio vectorial real de dimensión d llamado espacio de Minkowski . Dado que la incrustación de Minkowski se define mediante homomorfismos de cuerpos, la multiplicación de elementos de K por un elemento x ∈ K corresponde a la multiplicación por una matriz diagonal en la incrustación de Minkowski. El producto escalar en el espacio de Minkowski corresponde a la forma traza.${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$.

La imagen de O bajo la incrustación de Minkowski es una red d -dimensional . Si B es una base para esta red, entonces det B ^T B es el discriminante de O. El discriminante se denota Δ o D. El covolumen de la imagen de O es${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$.

Las incrustaciones reales y complejas pueden equipararse a los ideales primos adoptando una perspectiva basada en valoraciones . Consideremos, por ejemplo, los números enteros. Además de la función de valor absoluto usual |·|  : Q → R , existen funciones de valor absoluto p-ádicas |·| _p  : Q → R , definidas para cada número primo p , que miden la divisibilidad por p . El teorema de Ostrowski establece que todas estas son posibles funciones de valor absoluto en Q (salvo equivalencia). Por lo tanto, los valores absolutos constituyen un lenguaje común para describir tanto la incrustación real de Q como los números primos.

Un lugar de un cuerpo numérico algebraico es una clase de equivalencia de funciones de valor absoluto en K. Hay dos tipos de lugares. Hay un${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$valor absoluto -ádico para cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de O y, al igual que los valores absolutos p -ádicos, mide la divisibilidad. Estos se denominan lugares finitos . El otro tipo de lugar se especifica mediante una incrustación real o compleja de K y la función de valor absoluto estándar en R o C. Estos son lugares infinitos . Debido a que los valores absolutos no pueden distinguir entre una incrustación compleja y su conjugada, una incrustación compleja y su conjugada determinan el mismo lugar. Por lo tanto, hay r ₁ lugares reales y r ₂ lugares complejos. Debido a que los lugares abarcan los primos, a veces se les denomina primos . Cuando se hace esto, los lugares finitos se denominan primos finitos y los lugares infinitos se denominan primos infinitos . Si v es una valuación correspondiente a un valor absoluto, entonces frecuentemente se escribe${\displaystyle v\mid \infty }$para significar que v es un lugar infinito y${\displaystyle v\nmid \infty }$para indicar que es un lugar finito.

Al considerar todos los lugares del campo en conjunto, se obtiene el anillo de Adele del campo numérico. El anillo de Adele permite realizar un seguimiento simultáneo de todos los datos disponibles mediante valores absolutos. Esto ofrece ventajas significativas en situaciones donde el comportamiento en un lugar puede afectar el comportamiento en otros lugares, como en la ley de reciprocidad de Artin .

Los números enteros tienen solo dos unidades, 1 y −1 . Otros anillos de enteros pueden admitir más unidades. Los enteros gaussianos tienen cuatro unidades, las dos anteriores más ± i . Los enteros de Eisenstein Z [exp( 2πi / 3)] tienen seis unidades. Los enteros en campos numéricos cuadráticos reales tienen infinitas unidades. Por ejemplo, en Z [√3 ] , cada potencia de 2 + √3 es una unidad, y todas estas potencias son distintas.

En general, el grupo de unidades de O , denotado O ^× , es un grupo abeliano finitamente generado. Por lo tanto, el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados implica que es una suma directa de una parte de torsión y una parte libre. Reinterpretando esto en el contexto de un cuerpo numérico, la parte de torsión consiste en las raíces de la unidad que se encuentran en O. Este grupo es cíclico. La parte libre se describe mediante el teorema de la unidad de Dirichlet . Este teorema dice que el rango de la parte libre es r ₁ + r ₂ − 1. Así, por ejemplo, los únicos cuerpos para los que el rango de la parte libre es cero son Q y los cuerpos cuadráticos imaginarios. También es posible una formulación más precisa que dé la estructura de O ^× ⊗ _Z Q como un módulo de Galois para el grupo de Galois de K / Q. ^{[ 14 ]}

La parte libre del grupo unitario se puede estudiar utilizando los infinitos lugares de K. Consideremos la función

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

donde v varía sobre los infinitos lugares de K y |·| _v es el valor absoluto asociado con v . La función L es un homomorfismo de K ^× a un espacio vectorial real. Se puede demostrar que la imagen de O ^× es una red que abarca el hiperplano definido por${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$El covolumen de este retículo es el regulador del cuerpo numérico. Una de las simplificaciones que permite trabajar con el anillo de adele es que existe un único objeto, el grupo de clases de idele , que describe tanto el cociente por este retículo como el grupo de clases de ideales.

La función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico, análoga a la función zeta de Riemann , es un objeto analítico que describe el comportamiento de los ideales primos en K. Cuando K es una extensión abeliana de Q , las funciones zeta de Dedekind son productos de funciones L de Dirichlet , con un factor para cada carácter de Dirichlet . El carácter trivial corresponde a la función zeta de Riemann. Cuando K es una extensión de Galois , la función zeta de Dedekind es la función L de Artin de la representación regular del grupo de Galois de K , y tiene una factorización en términos de representaciones de Artin irreducibles del grupo de Galois.

La función zeta está relacionada con los demás invariantes descritos anteriormente mediante la fórmula del número de clase .

Completar un cuerpo numérico K en un lugar w da como resultado un cuerpo completo . Si la valuación es arquimediana, se obtiene R o C ; si no es arquimediana y se encuentra sobre un primo p de los racionales, se obtiene una extensión finita.${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$Un cuerpo completo de valores discretos con un cuerpo residual finito. Este proceso simplifica la aritmética del cuerpo y permite el estudio local de problemas. Por ejemplo, el teorema de Kronecker-Weber se puede deducir fácilmente a partir del enunciado local análogo. La filosofía que subyace al estudio de cuerpos locales está motivada en gran medida por métodos geométricos. En geometría algebraica, es común estudiar variedades localmente en un punto localizándolas a un ideal maximal. La información global se puede recuperar uniendo datos locales. Este espíritu se adopta en la teoría algebraica de números. Dado un primo en el anillo de enteros algebraicos en un cuerpo numérico, es deseable estudiar el cuerpo localmente en ese primo. Por lo tanto, se localiza el anillo de enteros algebraicos en ese primo y luego se completa el cuerpo de fracciones de manera muy similar a la geometría.

Un resultado clásico en la teoría algebraica de números es que el grupo de clases ideales de un cuerpo numérico algebraico K es finito. Esto es consecuencia del teorema de Minkowski, ya que solo hay un número finito de ideales enteros con norma menor que un entero positivo fijo ^{[ 15 ] página 78} . El orden del grupo de clases se llama número de clase y a menudo se denota con la letra h .

El teorema de la unidad de Dirichlet proporciona una descripción de la estructura del grupo multiplicativo de unidades O ^× del anillo de enteros O . Específicamente, establece que O ^× es isomorfo a G × Z ^r , donde G es el grupo cíclico finito que consta de todas las raíces de la unidad en O , y r = r ₁  + r ₂ − 1 (donde r ₁ (respectivamente, r ₂ ) denota el número de incrustaciones reales (respectivamente, pares de incrustaciones no reales conjugadas) de K ). En otras palabras, O ^× es un grupo abeliano finitamente generado de rango r ₁ + r ₂ − 1 cuya torsión consiste en las raíces de la unidad en O .       

En términos del símbolo de Legendre , la ley de reciprocidad cuadrática para primos impares positivos establece:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Una ley de reciprocidad es una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática .

Existen diversas maneras de expresar las leyes de reciprocidad. Las primeras leyes de reciprocidad del siglo XIX se expresaban generalmente mediante un símbolo de residuo de potencia ( p / q ), que generalizaba el símbolo de reciprocidad cuadrática . Este símbolo describe cuándo un número primo es un residuo de potencia n- ésima módulo otro primo, y establecía una relación entre ( p / q ) y ( q / p ). Hilbert reformuló las leyes de reciprocidad indicando que un producto sobre p de símbolos de Hilbert ( a , b / p ), con valores en raíces de la unidad, es igual a 1. La ley de reciprocidad reformulada por Artin establece que el símbolo de Artin, que relaciona los ideales (o ideles) con los elementos de un grupo de Galois, es trivial en un subgrupo determinado. Varias generalizaciones más recientes expresan las leyes de reciprocidad mediante la cohomología de grupos o representaciones de grupos adélicos o grupos K algebraicos, y su relación con la ley de reciprocidad cuadrática original puede resultar difícil de apreciar.

La fórmula del número de clase relaciona muchas invariantes importantes de un cuerpo numérico con un valor especial de su función zeta de Dedekind.

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