Polilogaritmo

En matemáticas , el polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière , por Alfred Jonquière) es una función especial Li _s ( z ) de orden s y argumento z . Solo para valores especiales de s el polilogaritmo se reduce a una función elemental como el logaritmo natural o una función racional . En estadística cuántica , la función polilogaritmo aparece como la forma cerrada de las integrales de la distribución de Fermi-Dirac y la distribución de Bose-Einstein , y también se conoce como la integral de Fermi-Dirac o la integral de Bose-Einstein . En electrodinámica cuántica , los polilogaritmos de orden entero positivo surgen en el cálculo de procesos representados por diagramas de Feynman de orden superior .

La función polilogaritmo es equivalente a la función zeta de Hurwitz —ambas pueden expresarse en términos de la otra— y ambas son casos especiales de la función trascendente de Lerch . Los polilogaritmos no deben confundirse con las funciones polilogarítmicas , ni con la integral logarítmica desplazada Li( z ) , que tiene la misma notación sin el subíndice.

• Diferentes funciones polilogarítmicas en el plano complejo
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  Li _–3 ( z )
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  Li _–2 ( z )
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  Li _–1 ( z )
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  Li ₀ ( z )
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  Li ₁ ( z )
• 
  Li ₂ ( z )
• 
  Li ₃ ( z )

La función polilogaritmo se define mediante una serie de potencias en z que generaliza la serie de Mercator , que también es una serie de Dirichlet en s : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

Esta definición es válida para cualquier orden complejo s y para todos los argumentos complejos z con | z | < 1 ; puede extenderse a | z | ≥ 1 mediante el proceso de continuación analítica . (Aquí el denominador k ^s se entiende como exp( s ln k ) ). El caso especial s = 1 corresponde al logaritmo natural ordinario , Li ₁ ( z ) = −ln(1− z ) , mientras que los casos especiales s = 2 y s = 3 se denominan dilogaritmo (también conocido como función de Spence) y trilogaritmo, respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que también puede definirse como la integral repetida de sí misma: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$ Por lo tanto, el dilogaritmo es una integral de una función que involucra el logaritmo, y así sucesivamente. Para órdenes enteros no positivos s , el polilogaritmo es una función racional .

En el caso en que la orden${\displaystyle s}$es un número entero, se representará por${\displaystyle s=n}$(o${\displaystyle s=-n}$cuando es negativo). A menudo es conveniente definir${\displaystyle \mu =\ln(z)}$dónde${\displaystyle \ln(z)}$es la rama principal del logaritmo complejo${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$de modo que${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$Además, se asumirá que toda exponenciación es unívoca:${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

Dependiendo del pedido${\displaystyle s}$, el polilogaritmo puede ser multivaluado. La rama principal de${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$se considera que se da por${\displaystyle |z|<1}$por la definición de serie anterior y considerada continua excepto en el eje real positivo, donde se realiza un corte desde${\displaystyle z=1}$a${\displaystyle \infty }$de tal manera que el eje se coloca en el semiplano inferior de${\displaystyle z}$En términos de${\displaystyle \mu }$, esto equivale a${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$. La discontinuidad del polilogaritmo en dependencia de${\displaystyle \mu }$a veces puede resultar confuso.

Para un argumento real${\displaystyle z}$, el polilogaritmo de orden real${\displaystyle s}$es real si${\displaystyle z<1}$y su parte imaginaria para${\displaystyle z\geq 1}$es ( Wood 1992 , §3) :

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Cruzando el límite, si ε es un número real positivo infinitesimalmente pequeño , entonces:

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

Ambas conclusiones pueden extraerse del desarrollo en serie ( véase más abajo ) de Li _s ( e ^μ ) alrededor de μ = 0.

Las derivadas del polilogaritmo se obtienen a partir de la serie de potencias que lo define:

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$$

La relación cuadrática se observa en la definición de la serie y está relacionada con la fórmula de duplicación (véase también Clunie (1954) , Schrödinger (1952) ):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$$

La función de Kummer obedece a una fórmula de duplicación muy similar. Este es un caso especial de la fórmula de multiplicación , para cualquier entero positivo p :

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

lo cual se puede demostrar utilizando la definición en serie del polilogaritmo y la ortogonalidad de los términos exponenciales (véase, por ejemplo, la transformada discreta de Fourier ).

Otra propiedad importante, la fórmula de inversión, involucra la función zeta de Hurwitz o los polinomios de Bernoulli y se encuentra en relación con otras funciones más adelante.

En casos particulares, el polilogaritmo puede expresarse en términos de otras funciones ( véase más abajo ). Por lo tanto, ciertos valores del polilogaritmo también pueden obtenerse como valores específicos de estas otras funciones.

1. Para valores enteros del orden polilogarítmico, se obtienen las siguientes expresiones explícitas mediante la aplicación repetida de z ·∂/∂ z a Li ₁ ( z ): $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$ En consecuencia, el polilogaritmo se reduce a una razón de polinomios en z , y por lo tanto es una función racional de z , para todos los órdenes enteros no positivos. El caso general puede expresarse como una suma finita: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$ donde S ( n , k ) son los números de Stirling de segunda especie . Las fórmulas equivalentes aplicables a órdenes enteros negativos son ( Wood 1992 , § 6) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ y: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ dónde${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$son los números eulerianos . Todas las raíces de Li _{− n} ( z ) son distintas y reales; incluyen z = 0, mientras que el resto es negativo y centrado en z = −1 en una escala logarítmica. A medida que n se vuelve grande, la evaluación numérica de estas expresiones racionales sufre cada vez más de cancelación ( Wood 1992 , § 6) ; sin embargo, se puede obtener una precisión completa calculando Li _{− n} ( z ) a través de la relación general con la función zeta de Hurwitz (véase más adelante ).
2. Algunas expresiones particulares para valores semi-enteros del argumento z son: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$ donde ζ es la función zeta de Riemann . No se conocen fórmulas de este tipo para órdenes enteros superiores ( Lewin 1991 , p. 2) , pero se tiene, por ejemplo ( Borwein, Borwein y Girgensohn 1995 ) :  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$ que implica la suma doble alternada $${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$En general, para órdenes enteros n ≥ 2 se tiene ( Broadhurst 1996 , p. 9) :  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$ donde ζ ( s ₁ , …, s _k ) es la función zeta múltiple ; por ejemplo: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. Como consecuencia directa de la definición de la serie, los valores del polilogaritmo en las p -ésimas raíces complejas de la unidad vienen dados por la suma de Fourier : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$ donde ζ es la función zeta de Hurwitz . Para Re( s ) > 1, donde Li _s (1) es finito, la relación también se cumple con m = 0 o m = p . Si bien esta fórmula no es tan simple como la implícita en la relación más general con la función zeta de Hurwitz que se enumera en la relación con otras funciones más adelante, tiene la ventaja de aplicarse también a valores enteros no negativos de s . Como es habitual, la relación puede invertirse para expresar ζ( s , ^m / _p ) para cualquier m = 1, …, p como una suma de Fourier de Li _s (exp(2πi k ^/ p ₎ ) sobre k = 1, …, p .

• Para z = 1 , el polilogaritmo se reduce a la función zeta de Riemann.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función eta de Dirichlet y la función beta de Dirichlet :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$donde η ( s ) es la función eta de Dirichlet. Para argumentos puramente imaginarios, tenemos:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$donde β ( s ) es la función beta de Dirichlet.
• El polilogaritmo se relaciona con la integral completa de Fermi-Dirac de la siguiente manera:$${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo se relaciona con la integral completa de Bose-Einstein de la siguiente manera:$${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de la función polilogaritmo incompleto.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• El polilogaritmo es un caso especial de la trascendente de Lerch ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-14)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• El polilogaritmo está relacionado con la función zeta de Hurwitz mediante:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$Esta relación, sin embargo, se invalida en enteros positivos s por polos de la función gamma Γ(1 − s ) , y en s = 0 por un polo de ambas funciones zeta; una derivación de esta fórmula se presenta más adelante en las representaciones en serie . Con la ayuda de una ecuación funcional para la función zeta de Hurwitz, el polilogaritmo también se relaciona con dicha función mediante ( Jonquière 1889 ) :$${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$Esta relación se cumple para 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0 , y para 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0 . De forma equivalente, para todos los números complejos s y para los números complejos z ∉ (0, 1 ] , la fórmula de inversión es:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$y para todo s complejo y para z complejo ∉ (1, ∞)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$Para z ∉ (0, ∞) , se tiene ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z ) , y ambas expresiones coinciden. Estas relaciones proporcionan la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia | z | = 1 de la serie de potencias definitoria. (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889 , ec. 5) y Erdélyi et al. (1981 , § 1.11-16) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se utilizan simultáneamente). Véase el siguiente punto para una fórmula simplificada cuando s es un entero.
• Para órdenes polilogarítmicos enteros positivos s , la función zeta de Hurwitz ζ(1− s , x ) se reduce a polinomios de Bernoulli , ζ(1− n , x ) = −B _n ( x ) / n , y la fórmula de inversión de Jonquière para n = 1, 2, 3, … se convierte en:$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$donde nuevamente 0 ≤ Re( x ) < 1 si Im( x ) ≥ 0, y 0 < Re( x ) ≤ 1 si Im( x ) < 0. Al restringir el argumento del polilogaritmo al círculo unitario , Im( x ) = 0, el lado izquierdo de esta fórmula se simplifica a 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es par, y a 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} )) si n es impar. Por otro lado, para órdenes enteros negativos, la divergencia de Γ( s ) implica para todo z que ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-17) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$De forma más general, se tiene para n = 0, ±1, ±2, ±3, … :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$donde ambas expresiones coinciden para z ∉ (0, ∞) . (La ecuación correspondiente de Jonquière (1889 , ec. 1) y Erdélyi et al. (1981 , § 1.11-18) tampoco es correcta).
• El polilogaritmo con μ puramente imaginario puede expresarse en términos de las funciones de Clausen Ci _s (θ) y Si _s (θ), y viceversa ( Lewin 1958 , Cap. VII § 1.4 ; Abramowitz & Stegun 1972 , § 27.8 ):$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• La integral tangente inversa Ti _s ( z ) ( Lewin 1958 , Cap. VII § 1.2) puede expresarse en términos de polilogaritmos:$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$La relación en particular implica:$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$lo cual explica el nombre de la función.
• La función chi de Legendre χ _s ( z ) ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.1 ; Boersma & Dempsey 1992 ) se puede expresar como la parte impar de polilogaritmos:$${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• El polilogaritmo de orden entero se puede expresar como una función hipergeométrica generalizada :$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z\,\;_{n+1\!}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z\,\;_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• En términos de las funciones zeta incompletas o " funciones de Debye " ( Abramowitz y Stegun 1972 , § 27.1) :$${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$El polilogaritmo Li _n ( z ) para un entero positivo n puede expresarse como la suma finita ( Wood 1992 , §16) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$Una expresión notablemente similar relaciona las "funciones de Debye" Z _n ( z ) con el polilogaritmo:$${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• Usando la serie de Lambert , si${\displaystyle J_{s}(n)}$es la función totiente de Jordan , entonces$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

Cualquiera de las siguientes representaciones integrales proporciona la continuación analítica del polilogaritmo más allá del círculo de convergencia | z | = 1 de la serie de potencias definitoria.

1. El polilogaritmo se puede expresar en términos de la integral de la distribución de Bose-Einstein : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$ Esto converge para Re( s ) >  0 y para todo z excepto para z real y ≥  1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Bose, pero más comúnmente como integral de Bose-Einstein ( Dingle 1957a , Dingle, Arndt y Roy 1957 ). ^{[ nota 1 ]} De manera similar, el polilogaritmo puede expresarse en términos de la integral de la distribución de Fermi-Dirac : $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$ Esto converge para Re( s ) > 0 y para todo z excepto para z real y ≤  −1. El polilogaritmo en este contexto a veces se denomina integral de Fermi o integral de Fermi-Dirac ( GSL 2010 , Dingle 1957b ). Estas representaciones se verifican fácilmente mediante el desarrollo de Taylor del integrando con respecto a z y la integración término a término. Los artículos de Dingle contienen investigaciones detalladas de ambos tipos de integrales. El polilogaritmo también está relacionado con la integral de la distribución de Maxwell-Boltzmann : $${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$ Esto también proporciona el comportamiento asintótico del polilogaritmo en las proximidades del origen.
2. Una representación integral complementaria se aplica a Re( s ) <  0 y a todos los z excepto a z real y ≥  0: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$ Esta integral se deduce de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz ( véase más arriba ) y una representación integral conocida de esta última.
3. El polilogaritmo puede representarse de forma bastante general mediante una integral de contorno de Hankel ( Whittaker y Watson, 1927 , § 12.22, § 13.13) , que extiende la representación de Bose-Einstein a órdenes negativos s . Siempre que el polo t = μ del integrando no se encuentre en el eje real no negativo, y s ≠ 1, 2, 3, …, tenemos: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$ donde H representa el contorno de Hankel. El integrando tiene un corte a lo largo del eje real desde cero hasta el infinito, con el eje perteneciente al semiplano inferior de t . La integración comienza en +∞ en el semiplano superior (Im( t ) >  0), rodea el origen sin encerrar ninguno de los polos t = μ + 2kπi , y termina en +∞ en el semiplano inferior (Im( t ) <  0). Para el caso en que μ es real y no negativo, podemos simplemente restar la contribución del polo t = μ encerrado : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$ donde R es el residuo del polo: $${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. Cuando se aplica la fórmula de Abel-Plana a la serie definitoria del polilogaritmo, se obtiene una representación integral de tipo Hermite que es válida para todo z complejo y para todo s complejo : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$ donde Γ es la función gamma incompleta superior . Todo (pero no una parte) del ln( z ) en esta expresión puede ser reemplazado por −ln( ¹ / _z ). Una representación relacionada que también es válida para todos los s complejos , $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$ evita el uso de la función gamma incompleta, pero esta integral falla para z en el eje real positivo si Re( s ) ≤  0. Esta expresión se encuentra escribiendo 2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1), donde Φ es la trascendente de Lerch , y aplicando la fórmula de Abel-Plana a la primera serie Φ y una fórmula complementaria que involucra 1 / ( e ^{2 πt} + 1) en lugar de 1 / ( e ^{2 πt} − 1) a la segunda serie Φ.
5. Podemos expresar una integral para el polilogaritmo integrando la serie geométrica ordinaria término a término para${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$como ( Borwein, Borwein y Girgensohn 1995 , §2, ecuación 4)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

1. Como se indicó anteriormente en las representaciones integrales , la representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo puede extenderse a órdenes negativos s mediante la integración de contorno de Hankel : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ donde H es el contorno de Hankel, s ≠ 1, 2, 3, …, y el polo t = μ del integrando no se encuentra en el eje real no negativo. El contorno se puede modificar de manera que encierre los polos del integrando en t − μ = 2 kπi , y la integral se puede evaluar como la suma de los residuos ( Wood 1992 , § 12, 13 ; Gradshteyn y Ryzhik 2015 ): $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$ Esto se cumplirá para Re( s ) < 0 y para todos los μ excepto donde e ^μ = 1. Para 0 < Im( μ ) ≤ 2 π la suma se puede dividir como: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$ donde ahora se pueden identificar las dos series con la función zeta de Hurwitz : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$ Esta relación, que ya se ha dado en relación con otras funciones anteriormente, se cumple para todos los s complejos ≠ 0, 1, 2, 3, … y se derivó por primera vez en ( Jonquière 1889 , ec. 6) .
2. Para representar el polilogaritmo como una serie de potencias alrededor de μ = 0, escribimos la serie derivada de la integral de contorno de Hankel como: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$ Cuando las potencias binomiales en la suma se expanden alrededor de μ = 0 y se invierte el orden de la suma, la suma sobre h se puede expresar en forma cerrada: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ Este resultado se cumple para | μ | < 2 π y, gracias a la continuación analítica proporcionada por las funciones zeta , para todo s ≠ 1, 2, 3, … . Si el orden es un entero positivo, s = n , tanto el término con k = n − 1 como la función gamma se vuelven infinitos, aunque su suma no lo sea. Se obtiene ( Wood 1992 , § 9 ; Gradshteyn & Ryzhik 2015 ): $${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$ donde la suma sobre h se anula si k = 0. Por lo tanto, para órdenes enteros positivos y para | μ | < 2 π tenemos la serie: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$ donde H _n denota el n -ésimo número armónico : $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$ Los términos del problema ahora contienen −ln(− μ ) que, cuando se multiplica por μ ^{n −1} , tenderá a cero cuando μ → 0, excepto para n = 1. Esto refleja el hecho de que Li _s ( z ) exhibe una verdadera singularidad logarítmica en s = 1 y z = 1 ya que: $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$ Para s cercano, pero no igual, a un entero positivo, se puede esperar que los términos divergentes en la expansión alrededor de μ = 0 causen dificultades computacionales ( Wood 1992 , § 9) . La expansión correspondiente de Erdélyi ( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-15) en potencias de ln( z ) no es correcta si se supone que las ramas principales del polilogaritmo y el logaritmo se usan simultáneamente, ya que ln( ¹ / _z ) no es uniformemente igual a −ln( z ). Para valores enteros no positivos de s , la función zeta ζ( s − k ) en la expansión alrededor de μ = 0 se reduce a números de Bernoulli : ζ(−n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ). La evaluación numérica de Li _{− n} ( z ) mediante esta serie no sufre los efectos de cancelación que presentan las expresiones racionales finitas dadas bajo valores particulares anteriores para n grande .
3. Mediante el uso de la identidad $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$ La representación integral de Bose-Einstein del polilogaritmo ( véase más arriba ) puede expresarse de la siguiente forma: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$ Sustituyendo la cotangente hiperbólica por una serie bilateral, $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$ Luego, invirtiendo el orden de la integral y la suma, y ​​finalmente identificando los sumandos con una representación integral de la función gamma incompleta superior , se obtiene: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$ For both the bilateral series of this result and that for the hyperbolic cotangent, symmetric partial sums from −k_max to k_max converge unconditionally as k_max → ∞. Provided the summation is performed symmetrically, this series for Li_s(z) thus holds for all complex s as well as all complex z.
4. Introducing an explicit expression for the Stirling numbers of the second kind into the finite sum for the polylogarithm of nonpositive integer order (see above) one may write: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$ The infinite series obtained by simply extending the outer summation to ∞ (Guillera & Sondow 2008, Theorem 2.1): $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$ turns out to converge to the polylogarithm for all complex s and for complex z with Re(z) < ¹⁄₂, as can be verified for |^−z⁄_(1−z)| < ¹⁄₂ by reversing the order of summation and using: $${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$ The inner coefficients of these series can be expressed by Stirling-number-related formulas involving the generalized harmonic numbers. For example, see generating function transformations to find proofs (references to proofs) of the following identities: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$ For the other arguments with Re(z) < ¹⁄₂ the result follows by analytic continuation. This procedure is equivalent to applying Euler's transformation to the series in z that defines the polylogarithm.

For |z| ≫ 1, the polylogarithm can be expanded into asymptotic series in terms of ln(−z):

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

donde B _{2 k} son los números de Bernoulli . Ambas versiones son válidas para todo s y para cualquier arg( z ). Como es habitual, la suma debe terminar cuando los términos comienzan a crecer en magnitud. Para enteros negativos s , las expansiones se anulan por completo; para enteros no negativos s , se interrumpen después de un número finito de términos. Wood (1992 , § 11) describe un método para obtener estas series a partir de la representación integral de Bose-Einstein (su ecuación 11.2 para Li _s ( e ^μ ) requiere −2 π < Im( μ ) ≤ 0).

Los siguientes límites resultan de las diversas representaciones del polilogaritmo ( Wood 1992 , § 22) :

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{|z|\to 0}z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{|\mu |\to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

El primer límite de Wood para Re( μ ) → ∞ ha sido corregido de acuerdo con su ecuación 11.3. El límite para Re( s ) → −∞ se deduce de la relación general del polilogaritmo con la función zeta de Hurwitz ( véase más arriba ).

El dilogaritmo es el polilogaritmo de orden s = 2. Una expresión integral alternativa del dilogaritmo para un argumento complejo arbitrario z es ( Abramowitz y Stegun 1972 , § 27.7) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

Una fuente de confusión es que algunos sistemas de álgebra computacional definen el dilogaritmo como dilog( z ) = Li ₂ (1− z ).

En el caso de z real ≥ 1, la primera expresión integral para el dilogaritmo se puede escribir como $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

de donde, expandiendo ln( t −1) e integrando término por término, obtenemos

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

La identidad de Abel para el dilogaritmo viene dada por ( Abel 1881 )

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

Se observa inmediatamente que esto se cumple tanto para x = 0 como para y = 0, y para argumentos generales se verifica fácilmente mediante la diferenciación ∂/∂ x ∂/∂ y . Para y = 1− x la identidad se reduce a la fórmula de reflexión de Euler.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$ donde se ha utilizado Li ₂ (1) = ζ(2) = ¹ ⁄ ₆ π ^{2 y} x puede tomar cualquier valor complejo.

En términos de las nuevas variables u = x /(1− y ), v = y /(1− x ) la identidad de Abel se expresa como: $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$ lo cual corresponde a la identidad del pentágono dada en ( Rogers 1907 ) .

A partir de la identidad de Abel para x = y = 1− z y la relación cuadrática, tenemos la identidad de Landen.$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$ y aplicando la fórmula de reflexión a cada dilogaritmo encontramos la fórmula de inversión. $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

y para z real ≥ 1 también $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

En la tabla siguiente se recogen las evaluaciones en forma cerrada conocidas del dilogaritmo con argumentos especiales. Los argumentos de la primera columna están relacionados por reflexión x ↔ 1− x o inversión x ↔ ¹ ⁄ _x con x = 0 o x = −1; los argumentos de la tercera columna están todos interrelacionados por estas operaciones.

Maximon (2003) analiza las referencias de los siglos XVII al XIX. La fórmula de reflexión ya fue publicada por Landen en 1760, antes de su aparición en un libro de Euler de 1768 ( Maximon 2003 , § 10) ; un equivalente a la identidad de Abel ya fue publicado por Spence en 1809, antes de que Abel escribiera su manuscrito en 1826 ( Zagier 1989 , § 2) . La denominación de función bilogarítmica fue introducida por Carl Johan Hill (profesor en Lund, Suecia) en 1828 ( Maximon 2003 , § 10) . Don Zagier ( 1989 ) ha señalado que el dilogaritmo es la única función matemática que posee sentido del humor. 

Aquí${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$denota la proporción áurea .

Leonard Lewin descubrió una notable y amplia generalización de varias relaciones clásicas sobre el polilogaritmo para valores especiales. Estas ahora se denominan escaleras de polilogaritmos . Definir${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$como el recíproco de la proporción áurea . Entonces, dos ejemplos sencillos de escaleras de dilogaritmos son:

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

dado por Coxeter ( 1935 ) y 

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

dado por Landen . Las escaleras de polilogaritmos aparecen de forma natural y profunda en la teoría K y la geometría algebraica . Las escaleras de polilogaritmos proporcionan la base para los cálculos rápidos de varias constantes matemáticas mediante el algoritmo BBP ( Bailey, Borwein y Plouffe 1997 ) .

El polilogaritmo tiene dos puntos de ramificación ; uno en z = 1 y otro en z = 0. El segundo punto de ramificación, en z = 0, no es visible en la hoja principal del polilogaritmo; solo se hace visible cuando la función se continúa analíticamente en sus otras hojas. El grupo de monodromía del polilogaritmo consiste en las clases de homotopía de los bucles que se enrollan alrededor de los dos puntos de ramificación. Denotando estos dos por m ₀ y m ₁ , el grupo de monodromía tiene la presentación de grupo

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$

Para el caso especial del dilogaritmo, también se tiene que wm ₀ = m ₀ w , y el grupo de monodromía se convierte en el grupo de Heisenberg (identificando m ₀ , m ₁ y w con x , y , z ) ( Vepstas 2008 ) .