Transformación de función generadora

La serie de potencias para el recíproco de una función generadora,${\displaystyle F(z)}$, se expande por

${\displaystyle {\frac {1}{F(z)}}={\frac {1}{f_{0}}}-{\frac {f_{1}}{f_{0}^{2}}}z+{\frac {\left(f_{1}^{2}-f_{0}f_{2}\right)}{f_{0}^{3}}}z^{2}-{\frac {f_{1}^{3}-2f_{0}f_{1}f_{2}+f_{0}^{2}f_{3}}{f_{0}^{4}}}z^{3}+\cdots .}$

Si dejamos${\displaystyle b_{n}:=[z^{n}]1/F(z)}$Denotemos los coeficientes en la expansión de la función generadora recíproca, entonces tenemos la siguiente relación de recurrencia:

${\displaystyle b_{n}=-{\frac {1}{f_{0}}}\left(f_{1}b_{n-1}+f_{2}b_{n-2}+\cdots +f_{n}b_{0}\right),n\geq 1.}$

Dejar${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$estar fijo, supongamos que${\displaystyle f_{0}=1}$y denotan${\displaystyle b_{n}^{(m)}:=[z^{n}]F(z)^{m}}$. Luego tenemos una expansión de la serie para${\displaystyle F(z)^{m}}$dado por

${\displaystyle F(z)^{m}=1+mf_{1}z+m\left((m-1)f_{1}^{2}+2f_{2}\right){\frac {z^{2}}{2}}+\left(m(m-1)(m-2)f_{1}^{3}+6m(m-1)f_{1}f_{2}+6mf_{3}\right){\frac {z^{3}}{6}}+\cdots ,}$

y los coeficientes${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$satisfacer una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle n\cdot b_{n}^{(m)}=(m-n+1)f_{1}b_{n-1}^{(m)}+(2m-n+2)f_{2}b_{n-2}^{(m)}+\cdots +((n-1)m-1)f_{n-1}b_{1}^{(m)}+nmf_{n},n\geq 1.}$

Otra fórmula para los coeficientes,${\displaystyle b_{n}^{(m)}}$, se expande mediante los polinomios de Bell como

${\displaystyle F(z)^{m}=f_{0}^{m}+\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(m)_{k}f_{0}^{m-k}B_{n,k}{\big (}f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots ,f_{n-k+1}\cdot (n-k+1)!{\big )}\right){\frac {z^{n}}{n!}},}$

dónde${\displaystyle (r)_{n}}$denota el símbolo de Pochhammer .

Si dejamos${\displaystyle f_{0}=1}$y definir${\displaystyle q_{n}:=[z^{n}]\log F(z)}$, entonces tenemos una expansión en serie de potencias para la función generadora compuesta dada por

${\displaystyle \log F(z)=f_{1}z+{\frac {2f_{2}-f_{1}^{2}}{2}}z^{2}+{\frac {3f_{3}-3f_{1}f_{2}+f_{1}^{3}}{3}}z^{3}+\dots }$

donde los coeficientes,${\displaystyle q_{n}}$, en la expansión anterior satisfacen la relación de recurrencia dada por

${\displaystyle n\cdot q_{n}=nf_{n}-(n-1)f_{1}q_{n-1}-(n-2)f_{2}q_{n-2}-\cdots -f_{n-1}q_{1},}$

y una fórmula correspondiente expandida mediante los polinomios de Bell en forma de coeficientes de la serie de potencias de la siguiente función generadora:

${\displaystyle \log F(z)=\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{1\leq k\leq n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(f_{1}\cdot 1!,f_{2}\cdot 2!,\ldots )\right){\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Dejar${\displaystyle {\widehat {F}}(z)}$denotamos el EGF de la secuencia,${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$y supongamos que${\displaystyle {\widehat {G}}(z)}$es el EGF de la secuencia,${\displaystyle \{g_{n}\}_{n\geq 0}}$. La fórmula de Faà di Bruno implica que la secuencia,${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$, generado por la composición${\displaystyle {\widehat {H}}(z):={\widehat {F}}({\widehat {G}}(z))}$, se puede expresar en términos de los polinomios exponenciales de Bell de la siguiente manera:

${\displaystyle h_{n}=\sum _{1\leq k\leq n}f_{k}\cdot B_{n,k}(g_{1},g_{2},\cdots ,g_{n-k+1})+f_{0}\cdot \delta _{n,0}.}$

Tenemos las siguientes fórmulas integrales para${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$que se puede aplicar término por término con respecto a${\displaystyle z}$cuando${\displaystyle z}$se considera cualquier variable de serie de potencias formal: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tz)e^{-t}dt=z^{-1}{\mathcal {L}}[{\widehat {F}}](z^{-1})}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Gamma (an+b)\cdot f_{n}z^{n}=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}e^{-t}F(t^{a}z)dt.}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-\imath \vartheta }\right)e^{e^{\imath \vartheta }}d\vartheta .}$

Obsérvese que la primera y la última de estas fórmulas integrales se utilizan para convertir entre la EGF y la OGF de una secuencia, y de la OGF a la EGF de una secuencia siempre que estas integrales sean convergentes.

La primera fórmula integral corresponde a la transformada de Laplace (o a veces a la transformada formal de Laplace-Borel ) de funciones generadoras, denotada por${\displaystyle {\mathcal {L}}[F](z)}$, definido en. ^{[ 7 ]} Otras representaciones integrales para la función gamma en la segunda de las fórmulas anteriores también pueden usarse, por supuesto, para construir transformaciones integrales similares. Una fórmula particular resulta en el caso del ejemplo de la función factorial doble que se da inmediatamente más abajo en esta sección. La última fórmula integral se compara con la integral de bucle de Hankel para la función gamma recíproca aplicada término a término a la serie de potencias para${\displaystyle F(z)}$.

Las integrales fraccionarias y las derivadas fraccionarias (véase el artículo principal ) forman otra clase generalizada de operaciones de integración y diferenciación que pueden aplicarse a la OGF de una secuencia para formar la OGF correspondiente de una secuencia transformada. Para${\displaystyle \Re (\alpha )>0}$definimos el operador integral fraccionario (de orden${\displaystyle \alpha }$) mediante la transformación integral ^{[ 9 ]}

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{z}(z-t)^{\alpha -1}F(t)dt,}$

que corresponde a la serie de potencias (formal) dada por

${\displaystyle I^{\alpha }F(z)=\sum _{n\geq 0}{\frac {n!}{\Gamma (n+\alpha +1)}}f_{n}z^{n+\alpha }.}$

Para fijo${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$definido de tal manera que${\displaystyle \Re (\alpha ),\Re (\beta )>0}$, tenemos que los operadores${\displaystyle I^{\alpha }I^{\beta }=I^{\alpha +\beta }}$Además, para fijo${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$y números enteros${\displaystyle n}$satisfactorio${\displaystyle 0<\Re (\alpha )<n}$podemos definir la noción de derivada fraccionaria que satisface las propiedades que

${\displaystyle D^{\alpha }F(z)={\frac {d^{(n)}}{dz^{(n)}}}I^{n-\alpha }F(z),}$

y

${\displaystyle D^{k}I^{\alpha }=D^{n}I^{\alpha +n-k}}$para${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n,}$

donde tenemos la propiedad de semigrupo que${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }=D^{\alpha +\beta }}$solo cuando ninguno de${\displaystyle \alpha ,\beta ,\alpha +\beta }$es de valor entero.

Para fijo${\displaystyle s\in \mathbb {Z} ^{+}}$, tenemos que (compárese con el caso especial de la fórmula integral para la función polilogaritmo generalizado de Nielsen definida en ^{[ 10 ]} ) ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{(n+1)^{s}}}z^{n}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)dt.}$

Observe que si establecemos${\displaystyle g_{n}\equiv f_{n+1}}$, la integral con respecto a la función generadora,${\displaystyle G(z)}$, en la última ecuación cuando${\displaystyle z\equiv 1}$corresponde a la función generadora de Dirichlet , o DGF,${\displaystyle {\widetilde {F}}(s)}$, de la secuencia de${\displaystyle \{f_{n}\}}$siempre que la integral converja. Esta clase de transformaciones integrales relacionadas con polilogaritmos está relacionada con las transformaciones de series zeta basadas en derivadas que se definen en las siguientes secciones.

Para valores fijos distintos de cero${\displaystyle q,c,z\in \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle |q|<1}$y${\displaystyle |cz|<1}$Tenemos las siguientes representaciones integrales para la denominada función generadora de series cuadradas asociada con la secuencia${\displaystyle \{f_{n}\}}$, que puede integrarse término a término con respecto a${\displaystyle z}$: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}q^{n^{2}}f_{n}\cdot (cz)^{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/2}\left[F\left(e^{t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)+F\left(e^{-t{\sqrt {2\log(q)}}}\cdot cz\right)\right]dt.}$

Este resultado, que se demuestra en la referencia, se deriva de una variante de la integral de transformación de la función factorial doble para los números de Stirling de segundo tipo, dada como ejemplo anteriormente. En particular, dado que

${\displaystyle q^{n^{2}}=\exp(n^{2}\cdot \log(q))=1+n^{2}\log(q)+n^{4}{\frac {\log(q)^{2}}{2!}}+n^{6}{\frac {\log(q)^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

podemos utilizar una variante de las transformaciones OGF basadas en derivadas de orden positivo definidas en las siguientes secciones que involucran los números de Stirling de segundo tipo para obtener una fórmula integral para la función generadora de la secuencia,${\displaystyle \left\{S(2n,j)/n!\right\}}$y luego realizar una suma sobre el${\displaystyle j^{th}}$derivados del OGF formal,${\displaystyle F(z)}$para obtener el resultado en la ecuación anterior donde la función generadora de progresión aritmética en cuestión se denota por

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\left\{{\begin{matrix}2n\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}={\frac {1}{2j!}}\left((e^{z}-1)^{j}+(e^{-z}-1)^{j}\right),}$

para cada fijo${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

En general, el producto de Hadamard de dos funciones generadoras racionales es también racional. ^{[ 14 ]} Esto se observa al notar que los coeficientes de una función generadora racional forman términos cuasipolinomiales de la forma

${\displaystyle f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{\ell }(n)\rho _{\ell }^{n},}$

donde las raíces recíprocas,${\displaystyle \rho _{i}\in \mathbb {C} }$, son escalares fijos y donde${\displaystyle p_{i}(n)}$es un polinomio en${\displaystyle n}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$Por ejemplo, el producto de Hadamard de las dos funciones generadoras.

${\displaystyle F(z):={\frac {1}{1+a_{1}z+a_{2}z^{2}}}}$

y

${\displaystyle G(z):={\frac {1}{1+b_{1}z+b_{2}z^{2}}}}$

viene dada por la fórmula de la función generadora racional ^{[ 15 ]}

${\displaystyle (F\odot G)(z)={\frac {1-a_{2}b_{2}z^{2}}{1-a_{1}b_{1}z+\left(a_{2}b_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{2}-a_{2}b_{2}\right)z^{2}-a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}z^{3}+a_{2}^{2}b_{2}^{2}z^{4}}}.}$

Funciones generadoras ordinarias para funciones factoriales generalizadas formadas como casos especiales de las funciones de producto factorial ascendente generalizadas , o símbolo k de Pochhammer , definidas por

${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R):=R(R+\alpha )\cdots (R+(n-1)\alpha )=\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n},}$

dónde${\displaystyle R}$está arreglado,${\displaystyle \alpha \neq 0}$, y${\displaystyle (x)_{n}}$denota el símbolo de Pochhammer se generan (al menos formalmente) por las fracciones J de tipo Jacobi (o formas especiales de fracciones continuas ) establecidas en la referencia. ^{[ 16 ]} Si hacemos${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z):=\operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)/\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)}$denotan el${\displaystyle h^{\text{th}}}$convergen a estas fracciones continuas infinitas donde las funciones convergentes componentes están definidas para todos los enteros${\displaystyle h\geq 2}$por

${\displaystyle \operatorname {FP} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{n=0}^{h-1}\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {h}{k}}\left(1-h-{\frac {R}{\alpha }}\right)_{k}\left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n-k}\right](\alpha z)^{n},}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {FQ} _{h}(\alpha ,R;z)&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\times L_{h}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)\\&=\sum _{k=0}^{h}{\binom {h}{k}}\left[\prod _{j=0}^{k-1}(R+(j-1-j)\alpha )\right](-z)^{k},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle L_{n}^{(\beta )}(x)}$denota un polinomio de Laguerre asociado , entonces tenemos que el${\displaystyle h^{th}}$función convergente,${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)}$, enumera exactamente las secuencias de productos,${\displaystyle p_{n}(\alpha ,R)}$, para todos${\displaystyle 0\leq n<2h}$. Para cada${\displaystyle h\geq 2}$, el${\displaystyle h^{th}}$La función convergente se expande como una suma finita que involucra solo pares de recíprocos de los polinomios de Laguerre en la forma de

${\displaystyle \operatorname {Conv} _{h}(\alpha ,R;z)=\sum _{i=0}^{h-1}{\binom {{\frac {R}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\frac {(-\alpha z)^{-1}}{(i+1)\cdot L_{i}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)L_{i+1}^{\left(R/\alpha -1\right)}\left((\alpha z)^{-1}\right)}}}$

Además, dado que la función factorial simple está dada por ambas${\displaystyle n!=p_{n}(1,1)}$y${\displaystyle n!=p_{n}(-1,n)}$Podemos generar los términos de la función factorial simple utilizando las funciones generadoras convergentes racionales aproximadas hasta el orden${\displaystyle 2h}$Esta observación sugiere un enfoque para aproximar la transformada de Laplace-Borel exacta (formal), que generalmente se expresa en términos de la representación integral de la sección anterior mediante un producto de Hadamard o una función generadora de coeficientes diagonales. En particular, dada cualquier OGF${\displaystyle G(z)}$podemos formar la transformada de Laplace aproximada, que es${\displaystyle 2h}$-orden preciso, por la fórmula de extracción de coeficientes diagonales indicada anteriormente dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\mathcal {L}}}_{h}[G](z)&:=[x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\frac {z}{x}}\right)G(x)\\&\ ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Conv} _{h}\left(1,1;{\sqrt {z}}e^{It}\right)G\left({\sqrt {z}}e^{-It}\right)dt.\end{aligned}}}$

Ejemplos de secuencias enumeradas a través de estas funciones generadoras de coeficientes diagonales que surgen del multiplicador de la función factorial de la secuencia proporcionado por las funciones racionales convergentes incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}n!^{2}&=[z^{n}][x^{0}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-1,n;x\right),h\geq n\\{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n;{\frac {z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-2,2n-1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-1;{\frac {3z}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{h}\left(-3,3n-2;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {x_{1}}})\\!n&=n!\times \sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}=[z^{n}x^{0}]\left({\frac {e^{-x}}{(1-x)}}\operatorname {Conv} _{n}\left(-1,n;{\frac {z}{x}}\right)\right)\\\operatorname {af} (n)&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}k!=[z^{n}]\left({\frac {\operatorname {Conv} _{n}(1,1;z)-1}{1+z}}\right)\\(t-1)^{n}P_{n}\left({\frac {t+1}{t-1}}\right)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}t^{k}\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}][z^{n}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {z}{x_{1}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)I_{0}(2{\sqrt {t\cdot x_{2}}})I_{0}(2{\sqrt {x_{2}}})\right),n\geq 1\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k\cdot (2k-3)!!\\&=[x_{1}^{0}x_{2}^{0}x_{3}^{n-1}]\left(\operatorname {Conv} _{n}\left(1,1;{\frac {x_{3}}{x_{2}}}\right)\operatorname {Conv} _{n}\left(2,1;{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right){\frac {(x_{1}+1)e^{x_{1}}}{(1-x_{2})}}\right),\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle I_{0}(z)}$denota una función de Bessel modificada ,${\displaystyle !n}$denota la función subfactorial ,${\displaystyle \operatorname {af} (n)}$denota la función factorial alternada , y${\displaystyle P_{n}(x)}$es un polinomio de Legendre . Otros ejemplos de secuencias enumeradas a través de aplicaciones de estas funciones generadoras de productos de Hadamard racionales dadas en el artículo incluyen la función G de Barnes , sumas combinatorias que involucran la función factorial doble , sumas de secuencias de potencias y secuencias de binomios.

Para fijo${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$, tenemos que si la secuencia OGF${\displaystyle F(z)}$tiene${\displaystyle j^{th}}$derivados de todos los pedidos requeridos para${\displaystyle 1\leq j\leq k}$, que la transformación de la serie zeta de orden positivo viene dada por ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}f_{n}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}z^{j}F^{(j)}(z),}$

dónde${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}}$denota un número de Stirling de segunda especie . En particular, tenemos la siguiente identidad de caso especial cuando${\displaystyle f_{n}\equiv 1\forall n}$cuando${\displaystyle \scriptstyle {\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle }}$denota el triángulo de números eulerianos de primer orden : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}n^{k}z^{n}=\sum _{j=0}^{k}\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {z^{j}\cdot j!}{(1-z)^{j+1}}}={\frac {1}{(1-z)^{k+1}}}\times \sum _{0\leq m<k}\left\langle {\begin{matrix}k\\m\end{matrix}}\right\rangle z^{m+1}.}$

También podemos expandir las transformaciones de la serie zeta de orden negativo mediante un procedimiento similar a las expansiones anteriores dadas en términos de la${\displaystyle j^{th}}$-derivadas de orden de algunas${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$y un conjunto infinito y no triangular de números de Stirling generalizados en orden inverso , o números de Stirling generalizados de segundo tipo definidos dentro de este contexto.

En particular, para los números enteros${\displaystyle k,j\geq 0}$, definimos estas clases generalizadas de números de Stirling de segunda especie mediante la fórmula

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{m=1}^{j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{m^{k}}}.}$

Entonces para${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$y algunos OGF prescritos,${\displaystyle F(z)\in C^{\infty }}$, es decir, de modo que el orden superior${\displaystyle j^{th}}$derivados de${\displaystyle F(z)}$existen para todos${\displaystyle j\geq 0}$, tenemos eso

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{n^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }z^{j}F^{(j)}(z).}$

Una tabla de los primeros coeficientes de transformación de la serie zeta,${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}k\\j\end{matrix}}\right\}_{\ast }}}$, aparece a continuación. Estas expansiones de números armónicos ponderados son casi idénticas a las fórmulas conocidas para los números de Stirling de primera especie, salvo por el signo principal en los términos de números armónicos ponderados en las expansiones.

Una generalización adicional de las transformaciones de series de orden negativo definidas anteriormente está relacionada con funciones generadoras más parecidas a la zeta de Hurwitz o a la trascendente de Lerch . Específicamente, si definimos los números de Stirling parametrizados aún más generales de segundo tipo por

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}:={\frac {1}{j!}}\times \sum _{0\leq m\leq j}{\binom {j}{m}}{\frac {(-1)^{j-m}}{(\alpha m+\beta )^{k}}}}$,

para distinto de cero${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle -{\frac {\beta }{\alpha }}\notin \mathbb {Z} ^{+}}$y algunos fijos${\displaystyle k\geq 1}$, tenemos eso

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=\sum _{j\geq 1}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}z^{j}F^{(j)}(z).}$

Además, para cualquier número entero${\displaystyle u,u_{0}\geq 0}$, tenemos las aproximaciones de series parciales a la serie infinita completa en la ecuación anterior dada por

${\displaystyle \sum _{n=1}^{u}{\frac {f_{n}}{(\alpha n+\beta )^{k}}}z^{n}=[w^{u}]\left(\sum _{j=1}^{u+u_{0}}\left\{{\begin{matrix}k+2\\j\end{matrix}}\right\}_{(\alpha ,\beta )^{\ast }}{\frac {(wz)^{j}F^{(j)}(wz)}{1-w}}\right).}$