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Articulo de referencia

Serie multisección

En matemáticas , una multisección de una serie de potencias es una nueva serie de potencias compuesta por términos igualmente espaciados extraídos sin alterar de la serie origin...

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En matemáticas , una multisección de una serie de potencias es una nueva serie de potencias compuesta por términos igualmente espaciados extraídos sin alterar de la serie original. Formalmente, si se da una serie de potencias

∑norte=−∞∞anorte⋅znorte{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}}

entonces su multisección es una serie de potencias de la forma

∑metro=−∞∞aqmetro+pag⋅zqmetro+pag{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}}

donde p y q son enteros, con 0 ≤ p < q . La multisección de series representa una de las transformaciones comunes de las funciones generadoras .

Multisección de funciones analíticas

Una multisección de la serie de una función analítica

F(z)=∑norte=0∞anorte⋅znorte{\displaystyle f(z)=\sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}\cdot z^{n}}

tiene una expresión de forma cerrada en términos de la funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}:

∑metro=0∞aqmetro+pag⋅zqmetro+pag=1q⋅∑k=0q−1ω−kpag⋅F(ωk⋅z),{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}\cdot f(\omega ^{k}\cdot z),}

dóndeω=mi2πiq{\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{q}}}es una raíz q -ésima primitiva de la unidad . Esta expresión se suele denominar filtro de raíz de la unidad. Esta solución fue descubierta por primera vez por Thomas Simpson . [ 1 ]

Esta es la proyección de la representación deZ/qZ{\displaystyle \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} }a través de(gramonorte⋅F)(incógnita)=F(ω−qincógnita){\displaystyle (g^{n}\cdot f)(x)=f(\omega ^{-}qx)}sobre el isotipo de la representación irreducible cuyo carácter esχ(gramo)=ωpag{\displaystyle \chi (g)=\omega ^{p}}(y en este caso, como es abeliano, la acción es simplemente multiplicar por el carácter).

Ejemplos

Bisección

En general, las bisecciones de una serie son las partes pares e impares de la misma.

Series geométricas

Consideremos la serie geométrica

∑norte=0∞znorte=11−z para |z|<1.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}\quad {\text{ para }}|z|<1.}

Al establecerz→zq{\displaystyle z\rightarrow z^{q}}En la serie anterior, sus múltiples secciones se ven fácilmente.

∑metro=0∞zqmetro+pag=zpag1−zq para |z|<1.{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }z^{qm+p}={\frac {z^{p}}{1-z^{q}}}\quad {\text{ for }}|z|<1.}

Recordando que la suma de las multisecciones debe ser igual a la serie original, recuperamos la identidad conocida.

∑pag=0q−1zpag=1−zq1−z.{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}z^{p}={\frac {1-z^{q}}{1-z}}.}

Función exponencial

La función exponencial

miz=∑norte=0∞znortenorte¡{\displaystyle e^{z}=\sum _ {n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}}

mediante la fórmula anterior para funciones analíticas se separa en

∑metro=0∞zqmetro+pag(qmetro+pag)¡=1q⋅∑k=0q−1ω−kpagmiωkz.{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}e^{\omega ^{k}z}.}

Las bisecciones son trivialmente las funciones hiperbólicas :

∑metro=0∞z2metro(2metro)¡=12(miz+mi−z)=aporrear⁡z{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m} \over (2m)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right)=\cosh {z}}
∑metro=0∞z2metro+1(2metro+1)¡=12(miz−mi−z)=sinh⁡z.{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m+1} \over (2m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)=\sinh {z}.}

Las multisecciones de orden superior se obtienen observando que todas estas series deben tener valores reales a lo largo de la recta real. Tomando la parte real y utilizando identidades trigonométricas estándar, las fórmulas se pueden escribir en forma explícitamente real como

∑metro=0∞zqmetro+pag(qmetro+pag)¡=1q⋅∑k=0q−1mizporque⁡(2πk/q)porque⁡(zpecado⁡(2πkq)−2πkpagq).{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}e^{z\cos(2\pi k/q)}\cos {\left(z\sin {\left({\frac {2\pi k}{q}}\right)}-{\frac {2\pi kp}{q}}\right)}.}

Estas pueden considerarse soluciones a la ecuación diferencial lineal.F(q)(z)=F(z){\displaystyle f^{(q)}(z)=f(z)}con condiciones de contornoF(k)(0)=δk,pag{\displaystyle f^{(k)}(0)=\delta _ {k,p}}, utilizando la notación delta de Kronecker . En particular, las trisecciones son

∑metro=0∞z3metro(3metro)¡=13(miz+2mi−z/2porque⁡3z2){\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m} \over (3m)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}+2e^{-z/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)}
∑metro=0∞z3metro+1(3metro+1)¡=13(miz−2mi−z/2porque⁡(3z2+π3)){\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+1} \over (3m+1)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-2e^{-z/2}\cos {\left({\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}+{\frac {\pi }{3}}\right)}\right)}
∑metro=0∞z3metro+2(3metro+2)¡=13(miz−2mi−z/2porque⁡(3z2−π3)),{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+2} \over (3m+2)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-2e^{-z/2}\cos {\left({\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}-{\frac {\pi }{3}}\right)}\right),}

y las cuadrisecciones son

∑metro=0∞z4metro(4metro)¡=12(aporrear⁡z+porque⁡z){\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m} \over (4m)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}+\cos {z}\right)}
∑metro=0∞z4metro+1(4metro+1)¡=12(sinh⁡z+pecado⁡z){\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+1} \over (4m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}+\sin {z}\right)}
∑metro=0∞z4metro+2(4metro+2)¡=12(aporrear⁡z−porque⁡z){\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+2} \over (4m+2)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}-\cos {z}\right)}
∑metro=0∞z4metro+3(4metro+3)¡=12(sinh⁡z−pecado⁡z).{\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+3} \over (4m+3)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}-\sin {z}\right).}

Serie binomial

Multisección de una expansión binomial

(1+incógnita)norte=(norte0)incógnita0+(norte1)incógnita+(norte2)incógnita2+⋯{\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^{2}+\cdots }

En x = 1 se obtiene la siguiente identidad para la suma de coeficientes binomiales con paso q :

(nortepag)+(nortepag+q)+(nortepag+2q)+⋯=1q⋅∑k=0q−1(2porque⁡πkq)norte⋅porque⁡π(norte−2pag)kq.{\displaystyle {n \choose p}+{n \choose p+q}+{n \choose p+2q}+\cdots ={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{q}}\right)^{n}\cdot \cos {\frac {\pi (n-2p)k}{q}}.}

Aplicaciones

La multisección de series convierte una suma infinita en una suma finita. Se utiliza, por ejemplo, en un paso clave de una demostración estándar del teorema digamma de Gauss , que proporciona una solución en forma cerrada para la función digamma evaluada en valores racionales p / q .

Referencias

  1. ↑ Simpson, Thomas (1757). "CIII. La invención de un método general para determinar la suma de cada segundo, tercer, cuarto o quinto término, etc., de una serie, tomados en orden; siendo conocida la suma de toda la serie" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 51 : 757–759 . doi : 10.1098/rstl.1757.0104 .