Función de Debye

En matemáticas , la familia de funciones de Debye se define por $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.}$$

Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien encontró esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama el modelo de Debye .

Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .

Tienen la expansión en serie ^[1] donde es el n - ésimo número de Bernoulli . $${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$$$Estilo de visualización B_{n}$

$${\displaystyle \lim_{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$$ Si es la función gamma y es la función zeta de Riemann , entonces, para , ^[2]${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización \zeta}$${\estilo de visualización x\gg 0}$ $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$$

La derivada obedece a la relación donde es la función de Bernoulli. $${\displaystyle xD_{n}^{\prime }(x)=n\left(B(x)-D_{n}(x)\right),}$$${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)}$

El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibracionales con la frecuencia de Debye ω _D . $${\displaystyle g_{\text{D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\text{D}}^{3}}}\,,\qquad 0\leq \omega \leq \omega _{\text{D}}}$$

Insertando g en la energía interna con la distribución de Bose-Einstein se obtiene La capacidad calorífica es la derivada de la misma. $${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}.}$$$${\displaystyle U=3k_{\text{B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\text{D}}/k_{\text{B}}T).}$$

La intensidad de la difracción de rayos X o de la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor de Debye-Waller o el factor de Lamb-Mössbauer . Para sistemas isótropos toma la forma En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a solo un componente cartesiano u _x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo la armonicidad y desarrollándose en modos normales, ^[3] se obtiene Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene De la anterior expansión en serie de potencias de se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura La ausencia de indica que este es un resultado clásico . Debido a que tiende a cero para se deduce que para ( movimiento de punto cero ). $${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp \left(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle \right).}$$$${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\text{B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}+1\right].}$$$${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega _{\text{D}}}}\right)D_{1}{\left({\frac {\hbar \omega _{\text{D}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}+{\frac {1}{2}}\right].}$$${\displaystyle D_{1}}$$${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\text{B}}Tq^{2}}{M\omega _{\text{D}}^{2}}}.}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle D_{1}(x)}$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle T=0}$ $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}}$$

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