Espacio vectorial

Suma de vectores: se muestra la suma v + w (negro) de los vectores v (azul) y w (rojo).

Multiplicación escalar: se muestran los múltiplos −v y 2w .

El primer ejemplo de un espacio vectorial consiste en flechas en un plano fijo , que parten de un punto fijo. Esto se utiliza en física para describir fuerzas o velocidades . ^{[ 30 ]} Dadas dos flechas cualesquiera, v y w , el paralelogramo generado por estas dos flechas contiene una flecha diagonal que también parte del origen. Esta nueva flecha se denomina suma de las dos flechas y se denota v + w . En el caso especial de dos flechas en la misma línea, su suma es la flecha en esta línea cuya longitud es la suma o la diferencia de las longitudes, dependiendo de si las flechas tienen la misma dirección. Otra operación que se puede realizar con flechas es el escalado: dado cualquier número real positivo a , la flecha que tiene la misma dirección que v , pero que se dilata o se contrae multiplicando su longitud por a , se denomina multiplicación de v por a . Se denota a v . Cuando a es negativo, a v se define como la flecha que apunta en la dirección opuesta. ^{[ 31 ]}

A continuación se muestran algunos ejemplos: si a = 2 , el vector resultante a w tiene la misma dirección que w , pero se extiende al doble de la longitud de w (la segunda imagen). De forma equivalente, 2 w es la suma w + w . Además, (−1) v = − v tiene la dirección opuesta y la misma longitud que v (vector azul que apunta hacia abajo en la segunda imagen).

Un segundo ejemplo clave de espacio vectorial lo proporcionan los pares de números reales x e y . El orden de los componentes x e y es significativo, por lo que dicho par también se denomina par ordenado . Este par se escribe como ( x , y ) . La suma de dos de estos pares y la multiplicación de un par por un número se definen de la siguiente manera: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

El primer ejemplo anterior se reduce a este ejemplo si una flecha se representa mediante un par de coordenadas cartesianas de su punto final.

El ejemplo más simple de un espacio vectorial sobre un cuerpo F es el propio cuerpo F , donde su suma se considera como una suma vectorial y su multiplicación como una multiplicación escalar. De manera más general, todas las n -tuplas (secuencias de longitud n ) $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$ Los elementos a _i de F forman un espacio vectorial que se suele denotar F ⁿ y se denomina espacio de coordenadas . ^{[ 33 ]} El caso n = 1 es el ejemplo más simple mencionado anteriormente, en el que el campo F también se considera un espacio vectorial sobre sí mismo. El caso F = R y n = 2 (por lo tanto R ² ) se reduce al ejemplo anterior.

El conjunto de números complejos C , números que se pueden escribir en la forma x + iy para los números reales x e y, donde i es la unidad imaginaria , forman un espacio vectorial sobre los reales con la suma y la multiplicación usuales: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) y c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) para los números reales x , y , a , b y c . Los diversos axiomas de un espacio vectorial se derivan del hecho de que las mismas reglas se cumplen para la aritmética de números complejos. El ejemplo de los números complejos es esencialmente el mismo que (es decir, es isomorfo a) el espacio vectorial de pares ordenados de números reales mencionado anteriormente: si pensamos en el número complejo x + i y como la representación del par ordenado ( x , y ) en el plano complejo , entonces vemos que las reglas para la suma y la multiplicación escalar corresponden exactamente a las del ejemplo anterior.

De manera más general, las extensiones de cuerpos proporcionan otra clase de ejemplos de espacios vectoriales, particularmente en álgebra y teoría algebraica de números : un cuerpo F que contiene un cuerpo más pequeño E es un espacio vectorial E , mediante las operaciones de multiplicación y suma dadas de F. [ ^{34 ] Por} ejemplo, los números complejos son un espacio vectorial sobre R , y la extensión de cuerpos${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$es un espacio vectorial sobre Q.

Las funciones de cualquier conjunto fijo Ω a un cuerpo F también forman espacios vectoriales, realizando sumas y multiplicaciones escalares punto por punto. Es decir, la suma de dos funciones f y g es la función${\displaystyle (f+g)}$dado por $${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$ y de forma similar para la multiplicación. Estos espacios de funciones aparecen en muchas situaciones geométricas, cuando Ω es la recta real o un intervalo , u otros subconjuntos de R. Muchas nociones en topología y análisis, como continuidad , integrabilidad o diferenciabilidad, se comportan bien con respecto a la linealidad: las sumas y los múltiplos escalares de funciones que poseen tal propiedad siguen teniendo esa propiedad. ^{[ 35 ]} Por lo tanto, el conjunto de tales funciones son espacios vectoriales, cuyo estudio pertenece al análisis funcional .

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas están estrechamente ligados a los espacios vectoriales. ^{[ 36 ]} Por ejemplo, las soluciones de $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$ están dadas por tríos con arbitrario${\displaystyle a,}$${\displaystyle b=a/2,}$y${\displaystyle c=-5a/2.}$Forman un espacio vectorial: las sumas y los múltiplos escalares de tales ternas siguen satisfaciendo las mismas razones de las tres variables; por lo tanto, también son soluciones. Las matrices se pueden usar para condensar múltiples ecuaciones lineales como las anteriores en una ecuación vectorial, a saber:

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0},}$$

dónde${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$es la matriz que contiene los coeficientes de las ecuaciones dadas,${\displaystyle \mathbf {x} }$es el vector${\displaystyle (a,b,c),}$${\displaystyle A\mathbf {x} }$denota el producto matricial y${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$es el vector cero. De manera similar, las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas forman espacios vectoriales. Por ejemplo,

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

rendimientos${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son constantes arbitrarias y${\displaystyle e^{x}}$es la función exponencial natural .

Las matrices son una noción útil para codificar mapas lineales. ^{[ 45 ]} Se escriben como una matriz rectangular de escalares como en la imagen de la derecha. Cualquier matriz de m por n${\displaystyle A}$da lugar a una aplicación lineal de F ⁿ a F ^m , por la siguiente expresión: $${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$ dónde${\textstyle \sum }$denota sumatoria , o mediante la multiplicación matricial de la matriz.${\displaystyle A}$con el vector de coordenadas${\displaystyle \mathbf {x} }$:

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

Además, después de elegir las bases de V y W , cualquier aplicación lineal f  : V → W se representa de forma única mediante una matriz a través de esta asignación. ^{[ 46 ]}

El determinante det( A ) de una matriz cuadrada A es un escalar que indica si la aplicación asociada es un isomorfismo o no: para que lo sea, es suficiente y necesario que el determinante sea distinto de cero. ^{[ 47 ]} La ​​transformación lineal de R ⁿ correspondiente a una matriz real n × n conserva la orientación si y solo si su determinante es positivo.

Los endomorfismos , aplicaciones lineales f  : V → V , son particularmente importantes ya que en este caso los vectores v pueden compararse con su imagen bajo f , f ( v ) . Cualquier vector no nulo v que satisfaga λ v = f ( v ) , donde λ es un escalar, se llama vector propio de f con valor propio λ . ^{[ 48 ]} Equivalentemente, v es un elemento del núcleo de la diferencia f − λ · Id (donde Id es la aplicación identidad V → V ) . Si V es de dimensión finita, esto puede reformularse usando determinantes: f que tiene valor propio λ es equivalente a $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$ Al detallar la definición del determinante, la expresión del lado izquierdo se puede ver como una función polinómica en λ , llamada polinomio característico de f . ^{[ 49 ]} Si el cuerpo F es lo suficientemente grande como para contener un cero de este polinomio (lo que sucede automáticamente para F algebraicamente cerrado , como F = C ) cualquier aplicación lineal tiene al menos un vector propio. El espacio vectorial V puede o no poseer una base propia , una base que consiste en vectores propios. Este fenómeno está regido por la forma canónica de Jordan de la aplicación. ^{[ 50 ]} El conjunto de todos los vectores propios correspondientes a un valor propio particular de f forma un espacio vectorial conocido como el espacio propio correspondiente al valor propio (y f ) en cuestión.

Un subconjunto no vacío${\displaystyle W}$de un espacio vectorial${\displaystyle V}$que es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar (y por lo tanto contiene el${\displaystyle \mathbf {0} }$-vector de${\displaystyle V}$) se denomina subespacio lineal de${\displaystyle V}$, o simplemente un subespacio de${\displaystyle V}$, cuando el espacio ambiente es inequívocamente un espacio vectorial. ^{[ 51 ] [ nb 4 ]} Subespacios de${\displaystyle V}$son espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo) por derecho propio. La intersección de todos los subespacios que contienen un conjunto dado${\displaystyle S}$de vectores se llama su espacio generado , y es el subespacio más pequeño de${\displaystyle V}$que contiene el conjunto${\displaystyle S}$Expresado en términos de elementos, el espacio generado es el subespacio que consta de todas las combinaciones lineales de elementos de${\displaystyle S}$. ^{[ 52 ]}

Los subespacios lineales de dimensión 1 y 2 se denominan respectivamente línea (también línea vectorial ) y plano . Si W es un espacio vectorial n -dimensional, cualquier subespacio de dimensión 1 menos, es decir, de dimensión${\displaystyle n-1}$se denomina hiperplano . ^{[ 53 ]}

La contraparte de los subespacios son los espacios vectoriales cociente . ^{[ 54 ]} Dado cualquier subespacio${\displaystyle W\subseteq V}$, el espacio cociente${\displaystyle V/W}$("${\displaystyle V}$módulo${\displaystyle W}$") se define de la siguiente manera: como conjunto, consta de $${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w}$$ :\mathbf {w} \in W\},} donde${\displaystyle \mathbf {v} }$es un vector arbitrario en${\displaystyle V}$La suma de dos de esos elementos${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$es${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$y la multiplicación escalar viene dada por${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$El punto clave de esta definición es que${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$si y solo si la diferencia de${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$se encuentra en${\displaystyle W}$. ^{[ nb 5 ]} De esta manera, el espacio cociente "olvida" la información que está contenida en el subespacio${\displaystyle W}$.

El núcleo${\displaystyle \ker(f)}$de un mapa lineal${\displaystyle f:V\to W}$consta de vectores${\displaystyle \mathbf {v} }$que están mapeados a${\displaystyle \mathbf {0} }$en${\displaystyle W}$. ^{[ 55 ]} El núcleo y la imagen${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$son subespacios de${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, respectivamente. ^{[ 56 ]}

Un ejemplo importante es el núcleo de una aplicación lineal.${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$para alguna matriz fija${\displaystyle A}$. El núcleo de este mapa es el subespacio de vectores${\displaystyle \mathbf {x} }$de tal manera que${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$, que es precisamente el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas perteneciente a${\displaystyle A}$Este concepto también se extiende a las ecuaciones diferenciales lineales. $${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$ donde los coeficientes${\displaystyle a_{i}}$son funciones en${\displaystyle x,}$También. En el mapa correspondiente $${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$ las derivadas de la función${\displaystyle f}$aparecen linealmente (en contraposición a${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$, por ejemplo). Dado que la diferenciación es un procedimiento lineal (es decir,${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$y${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$por una constante${\displaystyle c}$) esta asignación es lineal, llamada operador diferencial lineal . En particular, las soluciones de la ecuación diferencial${\displaystyle D(f)=0}$formar un espacio vectorial (sobre R o C ). ^{[ 57 ]}

La existencia de núcleos e imágenes forma parte de la afirmación de que la categoría de espacios vectoriales (sobre un campo fijo)${\displaystyle F}$) es una categoría abeliana , es decir, un corpus de objetos matemáticos y aplicaciones que preservan la estructura entre ellos (una categoría ) que se comporta de manera muy similar a la categoría de grupos abelianos . ^{[ 58 ]} Debido a esto, muchas afirmaciones como el primer teorema de isomorfismo (también llamado teorema de rango-nulidad en términos relacionados con matrices) $${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$ y el segundo y tercer teorema de isomorfismo pueden formularse y demostrarse de una manera muy similar a las afirmaciones correspondientes para grupos .

El producto directo de espacios vectoriales y la suma directa de espacios vectoriales son dos maneras de combinar una familia indexada de espacios vectoriales en un nuevo espacio vectorial.

El producto directo${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$de una familia de espacios vectoriales${\displaystyle V_{i}}$consiste en el conjunto de todas las tuplas${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$, que especifican para cada índice${\displaystyle i}$en algún conjunto de índices${\displaystyle I}$un elemento${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$de${\displaystyle V_{i}}$. ^{[ 59 ]} La suma y la multiplicación escalar se realizan componente por componente. Una variante de esta construcción es la suma directa.${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$(también llamado coproducto y denotado${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$), donde solo se permiten tuplas con un número finito de vectores distintos de cero. Si el conjunto de índices${\displaystyle I}$es finito, las dos construcciones coinciden, pero en general son diferentes.

El producto tensorial${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$o simplemente${\displaystyle V\otimes W,}$de dos espacios vectoriales${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$es una de las nociones centrales del álgebra multilineal , que se ocupa de extender nociones como las aplicaciones lineales a varias variables. Una aplicación${\displaystyle g:V\times W\to X}$del producto cartesiano${\displaystyle V\times W}$se denomina bilineal si${\displaystyle g}$es lineal en ambas variables${\displaystyle \mathbf {v} }$y${\displaystyle \mathbf {w} .}$ Es decir, para fijo${\displaystyle \mathbf {w} }$el mapa${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$es lineal en el sentido anterior y de igual manera para fijo${\displaystyle \mathbf {v} .}$

El producto tensorial es un espacio vectorial particular que recibe universalmente aplicaciones bilineales.${\displaystyle g,}$de la siguiente manera. Se define como el espacio vectorial que consta de sumas finitas (formales) de símbolos llamados tensores.$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$ sujeto a las reglas ^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$ Estas reglas garantizan que el mapa${\displaystyle f}$desde${\displaystyle V\times W}$a${\displaystyle V\otimes W}$que mapea una tupla${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$a${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$es bilineal. La universalidad establece que dado cualquier espacio vectorial${\displaystyle X}$y cualquier mapa bilineal${\displaystyle g:V\times W\to X,}$Existe un mapa único${\displaystyle u,}$mostrado en el diagrama con una flecha punteada, cuya composición con${\displaystyle f}$igual${\displaystyle g}$:${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$^{[ 61 ]} Esto se denominapropiedad universaldel producto tensorial, un ejemplo del método —muy utilizado en álgebra abstracta avanzada— para definir indirectamente objetos especificando mapas desde o hacia este objeto.

La "medición" de vectores se realiza especificando una norma , un dato que mide las longitudes de los vectores, o mediante un producto interno , que mide los ángulos entre vectores. Las normas y los productos internos se denotan${\displaystyle |\mathbf {v} |}$y${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$respectivamente. El dato de un producto interno implica que las longitudes de los vectores también pueden definirse, definiendo la norma asociada.${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$Los espacios vectoriales dotados de tales datos se conocen como espacios vectoriales normados y espacios con producto interno , respectivamente. ^{[ 65 ]}

Espacio de coordenadas${\displaystyle F^{n}}$puede equiparse con el producto escalar estándar : $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$ En${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$Esto refleja la noción común del ángulo entre dos vectores.${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle \mathbf {y} ,}$por la ley de los cosenos : $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$ Debido a esto, dos vectores satisfacen${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$se denominan ortogonales . Una variante importante del producto escalar estándar se utiliza en el espacio de Minkowski :${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$dotado del producto de Lorentz ^{[ 66 ]}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$ A diferencia del producto escalar estándar, no es definido positivo :${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$también toma valores negativos, por ejemplo, para${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$El hecho de destacar la cuarta coordenada —que corresponde al tiempo , en contraposición a las tres dimensiones espaciales— la hace útil para el tratamiento matemático de la relatividad especial . Nótese que en otras convenciones el tiempo se suele escribir como el primer componente, o componente "cero", de modo que el producto de Lorentz se escribe$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

Las cuestiones de convergencia se abordan considerando espacios vectoriales.${\displaystyle V}$que lleva una topología compatible , una estructura que permite hablar de elementos que están cerca unos de otros . ^{[ 67 ]} Compatible aquí significa que la suma y la multiplicación escalar tienen que ser aplicaciones continuas . Aproximadamente, si${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle \mathbf {y} }$en${\displaystyle V}$, y${\displaystyle a}$en${\displaystyle F}$varían en una cantidad limitada, entonces también${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$y${\displaystyle a\mathbf {x} .}$^{[ nb 6 ]} Para tener sentido al especificar la cantidad en que cambia un escalar, el campo${\displaystyle F}$También debe tener en cuenta una topología en este contexto; una opción común son los números reales o los números complejos.

En tales espacios vectoriales topológicos se pueden considerar series de vectores. La suma infinita$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$ denota el límite de las sumas parciales finitas correspondientes de la secuencia${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$de elementos de${\displaystyle V.}$Por ejemplo, el${\displaystyle f_{i}}$podrían ser funciones (reales o complejas) pertenecientes a algún espacio de funciones.${\displaystyle V,}$En cuyo caso la serie es una serie de funciones . El modo de convergencia de la serie depende de la topología impuesta al espacio de funciones. En tales casos, la convergencia puntual y la convergencia uniforme son dos ejemplos destacados. ^{[ 68 ]}

Una forma de asegurar la existencia de límites de ciertas series infinitas es restringir la atención a espacios donde cualquier sucesión de Cauchy tiene un límite; dicho espacio vectorial se denomina completo . En términos generales, un espacio vectorial es completo siempre que contenga todos los límites necesarios. Por ejemplo, el espacio vectorial de polinomios en el intervalo unitario.${\displaystyle [0,1],}$equipado con la topología de convergencia uniforme no es completo porque cualquier función continua en${\displaystyle [0,1]}$puede aproximarse uniformemente mediante una secuencia de polinomios, por el teorema de aproximación de Weierstrass . ^{[ 69 ]} En contraste, el espacio de todas las funciones continuas en${\displaystyle [0,1]}$con la misma topología es completa. ^{[ 70 ]} Una norma da lugar a una topología al definir que una secuencia de vectores${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$converge a${\displaystyle \mathbf {v} }$si y solo si $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$ Los espacios de Banach y Hilbert son espacios vectoriales topológicos completos cuyas topologías están dadas, respectivamente, por una norma y un producto interno. Su estudio —una pieza clave del análisis funcional— se centra en espacios vectoriales de dimensión infinita, ya que todas las normas en espacios vectoriales topológicos de dimensión finita dan lugar a la misma noción de convergencia. ^{[ 71 ]} La imagen de la derecha muestra la equivalencia de la${\displaystyle 1}$-norma y${\displaystyle \infty }$-norma en${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$A medida que las "bolas" unitarias se encierran entre sí, una sucesión converge a cero en una norma si y solo si también lo hace en la otra. Sin embargo, en el caso de dimensión infinita, generalmente habrá topologías no equivalentes, lo que enriquece el estudio de los espacios vectoriales topológicos en comparación con el de los espacios vectoriales sin datos adicionales.

Desde un punto de vista conceptual, todas las nociones relacionadas con los espacios vectoriales topológicos deben coincidir con la topología. Por ejemplo, en lugar de considerar todos los mapas lineales (también llamados funcionales )${\displaystyle V\to W,}$Se requiere que los mapas entre espacios vectoriales topológicos sean continuos. ^{[ 72 ]} En particular, el espacio dual (topológico)${\displaystyle V^{*}}$consta de funcionales continuos${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$(o a${\displaystyle \mathbf {C} }$). El teorema fundamental de Hahn-Banach se refiere a la separación de subespacios de espacios vectoriales topológicos apropiados mediante funcionales continuos. ^{[ 73 ]}

espacios de Hilbert

Los espacios de producto interno completos se conocen como espacios de Hilbert , en honor a David Hilbert . ^{[ 77 ]} El espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$con producto interno dado por $${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$ dónde${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle g(x),}$^{[ 78 ] [ nb 9 ]} es un caso clave.

Por definición, en un espacio de Hilbert, cualquier sucesión de Cauchy converge a un límite. Por el contrario, encontrar una sucesión de funciones${\displaystyle f_{n}}$Con propiedades deseables que se aproximen a una función límite dada es igualmente crucial. Los primeros análisis, bajo la forma de la aproximación de Taylor , establecieron una aproximación de funciones diferenciables.${\displaystyle f}$por polinomios. ^{[ 79 ]} Por el teorema de Stone-Weierstrass , toda función continua en${\displaystyle [a,b]}$puede aproximarse con la precisión deseada mediante un polinomio. ^{[ 80 ]} Una técnica de aproximación similar mediante funciones trigonométricas se denomina comúnmente expansión de Fourier y se aplica ampliamente en ingeniería. De manera más general y conceptual, el teorema proporciona una descripción sencilla de qué "funciones básicas" o, en espacios de Hilbert abstractos, qué vectores básicos son suficientes para generar un espacio de Hilbert.${\displaystyle H,}$en el sentido de que el cierre de su espacio generado (es decir, combinaciones lineales finitas y límites de las mismas) es todo el espacio. Dicho conjunto de funciones se denomina base de${\displaystyle H,}$Su cardinalidad se conoce como la dimensión del espacio de Hilbert . ^{[ nb 10 ]} El teorema no solo muestra funciones base adecuadas como suficientes para fines de aproximación, sino que también, junto con el proceso de Gram-Schmidt , permite construir una base de vectores ortogonales . ^{[ 81 ]} Dichas bases ortogonales son la generalización del espacio de Hilbert de los ejes de coordenadas en el espacio euclidiano de dimensión finita .

Las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales pueden interpretarse en términos de espacios de Hilbert. Por ejemplo, muchos campos de la física y la ingeniería conducen a dichas ecuaciones, y con frecuencia se utilizan soluciones con propiedades físicas particulares como funciones base, a menudo ortogonales. ^{[ 82 ]} Como ejemplo de la física, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en mecánica cuántica describe el cambio de las propiedades físicas en el tiempo mediante una ecuación diferencial parcial , cuyas soluciones se denominan funciones de onda . ^{[ 83 ]} Los valores definidos de propiedades físicas como la energía o el momento corresponden a autovalores de un cierto operador diferencial (lineal) y las funciones de onda asociadas se denominan autoestados . El teorema espectral descompone un operador lineal compacto que actúa sobre funciones en términos de estas autofunciones y sus autovalores. ^{[ 84 ]}

Los espacios vectoriales generales no poseen una multiplicación entre vectores. Un espacio vectorial dotado de un operador bilineal adicional que define la multiplicación de dos vectores es un álgebra sobre un cuerpo (o un álgebra F si se especifica el cuerpo F ). ^{[ 85 ]}

Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios${\displaystyle p(t)}$Se forma un álgebra conocida como anillo de polinomios : utilizando que la suma de dos polinomios es un polinomio, forman un espacio vectorial; forman un álgebra ya que el producto de dos polinomios también es un polinomio. Los anillos de polinomios (en varias variables) y sus cocientes forman la base de la geometría algebraica , porque son anillos de funciones de objetos geométricos algebraicos . ^{[ 86 ]}

Otro ejemplo crucial son las álgebras de Lie , que no son ni conmutativas ni asociativas, pero el hecho de no serlo está limitado por las restricciones (${\displaystyle [x,y]}$denota el producto de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$):

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$( anticommutatividad ) y
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$( Identidad de Jacobi ). ^{[ 87 ]}

Ejemplos incluyen el espacio vectorial de${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$matrices, con${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$el conmutador de dos matrices, y${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$dotado del producto cruzado .

El álgebra tensorial${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$es una forma formal de agregar productos a cualquier espacio vectorial${\displaystyle V}$para obtener un álgebra. ^{[ 88 ]} Como espacio vectorial, está generado por símbolos llamados tensores simples.$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$ donde el grado${\displaystyle n}$varía. La multiplicación se obtiene concatenando dichos símbolos, imponiendo la ley distributiva bajo la suma y exigiendo que la multiplicación escalar conmute con el producto tensorial ⊗, de forma muy similar a como se hace con el producto tensorial de dos espacios vectoriales introducido en la sección anterior sobre productos tensoriales . En general, no existen relaciones entre${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$Forzar que dos de esos elementos sean iguales conduce al álgebra simétrica , mientras que forzar${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$produce el álgebra exterior . ^{[ 89 ]}

Un fibrado vectorial es una familia de espacios vectoriales parametrizados continuamente por un espacio topológico X. ^{[ 90 ]} Más precisamente, un fibrado vectorial sobre X es un espacio topológico E equipado con una aplicación continua .$${\displaystyle \pi :E\to X}$$ de tal manera que para cada x en X , la fibra π ⁻¹ ( x ) es un espacio vectorial. El caso dim V = 1 se llama fibrado lineal . Para cualquier espacio vectorial V , la proyección X × V → X convierte el producto X × V en un fibrado vectorial "trivial" . Se requiere que los fibrados vectoriales sobre X sean localmente un producto de X y algún espacio vectorial (fijo) V : para cada x en X , hay un entorno U de x tal que la restricción de π a π ⁻¹ ( U ) es isomorfa ^{[ nb 11 ]} al fibrado trivial U × V → U . A pesar de su carácter localmente trivial, los fibrados vectoriales pueden (dependiendo de la forma del espacio subyacente X ) estar "retorcidos" en el espacio global (es decir, el fibrado no tiene por qué ser (globalmente isomorfo a) el fibrado trivial X × V ). Por ejemplo, la cinta de Möbius puede verse como un fibrado lineal sobre el círculo S ¹ ( identificando los intervalos abiertos con la recta real ). Sin embargo, es diferente del cilindro S ¹ × R , porque este último es orientable mientras que el primero no lo es. ^{[ 91 ]}

Las propiedades de ciertos haces vectoriales proporcionan información sobre el espacio topológico subyacente. Por ejemplo, el haz tangente consiste en la colección de espacios tangentes parametrizados por los puntos de una variedad diferenciable. El haz tangente del círculo S ¹ es globalmente isomorfo a S ¹ × R , ya que hay un campo vectorial global no nulo en S ¹ . ^{[ nb 12 ]} En contraste, por el teorema de la bola peluda , no hay ningún campo vectorial (tangente) en la 2-esfera S ² que sea no nulo en todas partes. ^{[ 92 ]} La teoría K estudia las clases de isomorfismo de todos los haces vectoriales sobre algún espacio topológico. ^{[ 93 ]} Además de profundizar la comprensión topológica y geométrica, tiene consecuencias puramente algebraicas, como la clasificación de las álgebras de división real de dimensión finita : R , C , los cuaterniones H y los octoniones O .

El fibrado cotangente de una variedad diferenciable consiste, en cada punto de la variedad, en el dual del espacio tangente, el espacio cotangente . Las secciones de ese fibrado se conocen como formas diferenciales de orden 1 .

Los módulos son a los anillos lo que los espacios vectoriales son a los cuerpos: los mismos axiomas, aplicados a un anillo R en lugar de a un cuerpo F , producen módulos. ^{[ 94 ]} La teoría de módulos, en comparación con la de espacios vectoriales, se complica por la presencia de elementos de anillo que no tienen inversos multiplicativos . Por ejemplo, los módulos no necesitan tener bases, como muestra el Z -módulo (es decir, el grupo abeliano ) Z /2 Z ; aquellos módulos que sí las tienen (incluidos todos los espacios vectoriales) se conocen como módulos libres . Sin embargo, un espacio vectorial puede definirse de forma compacta como un módulo sobre un anillo que es un cuerpo , cuyos elementos se denominan vectores. Algunos autores utilizan el término espacio vectorial para referirse a módulos sobre un anillo de división . ^{[ 95 ]} La interpretación algebraico-geométrica de los anillos conmutativos a través de su espectro permite el desarrollo de conceptos como módulos localmente libres , la contraparte algebraica de los fibrados vectoriales.

En términos generales, los espacios afines son espacios vectoriales cuyos orígenes no están especificados. ^{[ 96 ]} Más precisamente, un espacio afín es un conjunto con una acción de espacio vectorial transitiva libre . En particular, un espacio vectorial es un espacio afín sobre sí mismo, mediante la aplicación $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$ Si W es un espacio vectorial, entonces un subespacio afín es un subconjunto de W obtenido al trasladar un subespacio lineal V mediante un vector fijo x ∈ W ; este espacio se denota por x + V (es una clase lateral de V en W ) y consta de todos los vectores de la forma x + v para v ∈ V. Un ejemplo importante es el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas .$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$ Generalizando el caso homogéneo discutido en la sección anterior sobre ecuaciones lineales, que se puede encontrar estableciendo${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$en esta ecuación. ^{[ 97 ]} El espacio de soluciones es el subespacio afín x + V donde x es una solución particular de la ecuación, y V es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea (el espacio nulo de A ).

El conjunto de subespacios unidimensionales de un espacio vectorial fijo de dimensión finita V se conoce como espacio proyectivo ; puede usarse para formalizar la idea de líneas paralelas que se intersecan en el infinito. ^{[ 98 ]} Las grassmannianas y las variedades de banderas generalizan esto parametrizando subespacios lineales de dimensión fija k y banderas de subespacios, respectivamente.