número p -ádico

En teoría de números , dado un número primo p , ^{[ a ]} los números p -ádicos forman una extensión de los números racionales que es distinta de los números reales , aunque con algunas propiedades similares; los números p -ádicos se pueden escribir en una forma similar a los decimales (posiblemente infinitos ) , pero con dígitos basados ​​en un número primo p en lugar de diez, y extendiéndose hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha.

Por ejemplo, comparando la expansión del número racional${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$en base 3 frente a la expansión 3 -ádica,$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-ádico}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$$

Formalmente, dado un número primo p , un número p -ádico puede definirse como una serie$${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$$ donde k es un número entero (posiblemente negativo), y cada${\displaystyle a_{i}}$es un número entero tal que${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$Un entero p -ádico es un número p -ádico tal que${\displaystyle k\geq 0.}$

En general, la serie que representa un número p -ádico no es convergente en el sentido habitual, pero sí lo es para el valor absoluto p -ádico.${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$donde k es el menor entero i tal que${\displaystyle a_{i}\neq 0}$(si todos${\displaystyle a_{i}}$son cero, uno tiene el número p -ádico cero, que tiene 0 como su valor absoluto p -ádico).

Todo número racional puede expresarse de forma única como la suma de una serie como la descrita anteriormente, con respecto al valor absoluto p -ádico. Esto permite considerar los números racionales como números p -ádicos especiales y, alternativamente, definirlos como la completación de los números racionales para el valor absoluto p -ádico, del mismo modo que los números reales son la completación de los números racionales para el valor absoluto usual.

Los números p -ádicos fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, ^{[ 1 ]} aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como un uso implícito de números p -ádicos. ^{[ b ]}

En términos generales, la aritmética modular módulo un entero positivo n consiste en "aproximar" cada entero mediante el resto de su división por n , llamado residuo módulo n . La propiedad principal de la aritmética modular es que el residuo módulo n del resultado de una sucesión de operaciones con enteros es el mismo que el resultado de la misma sucesión de operaciones con residuos módulo n .

Al estudiar ecuaciones diofánticas , a veces resulta útil reducir la ecuación módulo un primo p , ya que esto suele proporcionar más información sobre la ecuación en sí. Desafortunadamente, al hacer esto se pierde cierta información debido a la reducción.${\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$no es inyectivo .

Una forma de preservar más información es usar módulos más grandes, como potencias primas más altas, p ² , p ³ , ... . Sin embargo, esto tiene la desventaja de${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}}$al no ser un campo, lo que pierde muchas de las propiedades algebraicas que${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$tiene. ^{[ 2 ]}

Kurt Hensel descubrió un método que consiste en usar un módulo primo p y aplicar el lema de Hensel para elevar soluciones módulo p a módulo p² ^, p³ ^, ... Este proceso crea una secuencia infinita de residuos, y un número p -ádico se define como el "límite" de dicha secuencia.

Esencialmente, los números p -ádicos permiten "tomar módulo p ^e para todos los e a la vez". Una característica distintiva de los números p -ádicos de la aritmética modular ordinaria es que el conjunto de números p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$forma un campo , lo que hace posible la división por p (a diferencia de cuando se trabaja módulo p ^e ). Además, el mapeo${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _ {p}}$es inyectivo , por lo que no se pierde mucha información al reducirlo a números p -ádicos. ^{[ 2 ]}

Hay varias maneras de entender los números p -ádicos.

Existen varias definiciones equivalentes de números p -ádicos. Los dos enfoques que se presentan a continuación son relativamente elementales.

Existen varias convenciones diferentes para escribir expansiones p -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para expansiones p -ádicas en la que las potencias de p aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión 3-ádica de${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$por ejemplo, se escribe como $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$$

Al realizar operaciones aritméticas con esta notación, los dígitos se llevan a la izquierda. También es posible escribir expansiones p -ádicas de modo que las potencias de p aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven a la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión 3-ádica de${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$es $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$$

Las expansiones p -ádicas pueden escribirse con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ..., p − 1 }. Por ejemplo, la expansión 3 -ádica de${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$se puede escribir usando dígitos ternarios balanceados { 1 , 0, 1 }, donde 1 representa menos uno, como $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$$

De hecho, cualquier conjunto de p enteros que pertenezcan a clases de residuos distintas módulo p puede utilizarse como dígitos p -ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller se utilizan a veces como dígitos. ^{[ 7 ]}

La notación de comillas es una variante de larepresentaciónpnúmeros racionalespropuesta en 1979 porEric HehneryNigel Horspoolpara implementar en computadoras la aritmética (exacta) con estos números. ^{[ 8 ]} Puede utilizarse como una forma compacta de representar números racionales, que poseen una secuencia periódica infinita de dígitos. En esta notación, se utiliza una comilla simple (') para separar la parte repetitiva de la no repetitiva. $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}$$

La expansión decimal de un número racional positivo${\displaystyle r}$es su representación como una serie$${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$$ dónde${\displaystyle k}$es un número entero y cada${\displaystyle a_{i}}$es también un número entero tal que${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$Esta expansión se puede calcular mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: Si${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$es un número racional tal que${\displaystyle 0\leq r<1,}$hay un número entero${\displaystyle a}$de tal manera que${\displaystyle 0\leq a<10,}$y${\displaystyle 10r=a+r',}$con${\displaystyle 0\leq r'<1.}$La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto.${\displaystyle r'}$que en la iteración asume el papel del número racional original${\displaystyle r}$.

La expansión p - ádica de un número racional se puede calcular de manera similar, pero con un paso de división diferente. Supongamos que${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$es un número racional con valor no negativo (es decir, d no es divisible por p ). El paso de división consiste en escribir $${\displaystyle r=a+p\,r'}$$ dónde${\displaystyle a}$es un número entero tal que${\displaystyle 0\leq a<p,}$y${\displaystyle r'}$tiene una valoración no negativa.

El número entero a se puede calcular como un inverso multiplicativo modular :${\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}$. Por este motivo, escribir r de esta manera siempre es posible, y dicha representación es única.

La expansión p -ádica de un número racional es eventualmente periódica . Por el contrario , una serie${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$con${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$converge (para el valor absoluto p -ádico) a un número racional si y solo si es eventualmente periódica; en este caso, la serie es la expansión p -ádica de ese número racional. La demostración es similar a la del resultado similar para decimales periódicos .

Los enteros p -ádicos son los números p -ádicos con una valuación no negativa.

A${\displaystyle p}$Un entero -ádico puede representarse como una secuencia $${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$ de residuos${\displaystyle x_{e}}$mod${\displaystyle p^{e}}$para cada entero${\displaystyle e}$, satisfaciendo las relaciones de compatibilidad${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$para${\displaystyle i<j}$.

Cada número entero es un${\displaystyle p}$entero -ádico (incluido el cero, ya que${\displaystyle 0<\infty }$). Los números racionales de la forma${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$con${\displaystyle d}$coprimo con${\displaystyle p}$y${\displaystyle k\geq 0}$también lo son${\displaystyle p}$enteros -ádicos (por la razón de que${\displaystyle d}$tiene un mod inverso${\displaystyle p^{e}}$por cada${\displaystyle e}$).

Los enteros p -ádicos forman un anillo conmutativo , denotado${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ o${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$, que tiene las siguientes propiedades.

• Es un dominio integral , puesto que es un subanillo de un cuerpo, o puesto que el primer término de la representación en serie del producto de dos series p -ádicas no nulas es el producto de sus primeros términos.
• Las unidades (elementos invertibles) de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$son los números p -ádicos de valoración cero.
• Es un dominio ideal principal , de tal manera que cada ideal es generado por una potencia de p .
• Es un anillo local de dimensión de Krull uno, ya que sus únicos ideales primos son el ideal cero y el ideal generado por p , el único ideal maximal .
• Se trata de un anillo de valoración discreto , puesto que este resulta de las propiedades precedentes.
• Es la finalización del anillo local${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},}$que es la localización de${\displaystyle \mathbb {Z} }$en el ideal primordial${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

La última propiedad proporciona una definición de los números p -ádicos que es equivalente a la anterior: el campo de los números p -ádicos es el campo de fracciones de la completación de la localización de los enteros en el ideal primo generado por p .

La valuación p -ádica permite definir un valor absoluto en números p -ádicos: el valor absoluto p -ádico de un número p -ádico distinto de cero x es $${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$$ dónde${\displaystyle v_{p}(x)}$es la valoración p -ádica de x . El valor absoluto p -ádico de${\displaystyle 0}$es${\displaystyle |0|_{p}=0.}$Este es un valor absoluto que satisface la desigualdad triangular fuerte ya que, para cada x e y :

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$si y solo si${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Además, si${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$entonces${\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}$

Esto convierte a los números p -ádicos en un espacio métrico , e incluso en un espacio ultramétrico , con la distancia p -ádica definida por ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Como espacio métrico, los números p -ádicos forman la completitud de los números racionales dotados del valor absoluto p -ádico. Esto proporciona otra forma de definir los números p -ádicos.

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta , cada bola abierta también es cerrada . Más precisamente, la bola abierta${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$es igual a la bola cerrada${\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ donde v es el menor entero tal que${\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.}$Similarmente,${\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$donde w es el mayor entero tal que${\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}$

Esto implica que los números p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$forman un espacio localmente compacto ( campo localmente compacto ), y los enteros p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$—es decir, la pelota${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$—formar un espacio compacto . ^{[ 9 ]}

El espacio de los enteros 2-ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$es homeomorfo al conjunto de Cantor${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Esto se puede observar al considerar el mapeo continuo uno a uno.${\displaystyle \psi$ :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} definido por $${\displaystyle \psi$$ :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } Además, para cualquier p ,${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$es homeomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$y, por lo tanto, también homeomorfo al conjunto de Cantor. ^{[ 12 ]}

El dual de Pontryagin del grupo de enteros p -ádicos es el grupo p -p de Prüfer.${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$y el dual de Pontryagin del p- grupo de Prüfer es el grupo de enteros p -ádicos. ^{[ 13 ]}

El anillo cociente${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$puede identificarse con el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$de los enteros módulo${\displaystyle p^{n}.}$Esto se puede demostrar observando que todo entero p -ádico, representado por su serie p -ádica normalizada , es congruente módulo${\displaystyle p^{n}}$con su suma parcial${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$cuyo valor es un número entero en el intervalo${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$Una verificación sencilla muestra que esto define un isomorfismo de anillos a partir de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$a${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

El límite inverso de los anillos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$se define como el anillo formado por las secuencias${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$de tal manera que${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$y${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$por cada i .

La aplicación que mapea una serie p -ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$al límite inverso de la${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$Esto proporciona otra forma de definir los enteros p -ádicos ( salvo un isomorfismo).

Esta definición de enteros p -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros p -ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso p -ádico (multiplicativo) de un entero, se puede usar el método de Newton , comenzando desde el inverso módulo p ; luego, cada paso de Newton calcula el inverso módulo p.${\textstyle p^{n^{2}}}$del inverso módulo${\textstyle p^{n}.}$

El mismo método puede utilizarse para calcular la raíz cuadrada p -ádica de un entero que es un residuo cuadrático módulo p . Este parece ser el método conocido más rápido para comprobar si un entero grande es un cuadrado: basta con comprobar si el entero dado es el cuadrado del valor encontrado en${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$Aplicar el método de Newton para hallar la raíz cuadrada requiere${\textstyle p^{n}}$ser mayor que el doble del número entero dado, lo cual se cumple rápidamente.

El levantamiento de Hensel es un método similar que permite "levantar" la factorización módulo p de un polinomio con coeficientes enteros a una factorización módulo${\textstyle p^{n}}$para valores grandes de n . Esto es comúnmente utilizado por los algoritmos de factorización de polinomios .

Ambos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$y${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$son incontables y tienen la cardinalidad del continuo . ^{[ 14 ]} Para${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$Esto resulta de la representación p -ádica, que define una biyección de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$en el conjunto de potencia${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$Para${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$Esto resulta de su expresión como una unión infinita numerable de copias de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$: $${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$$

El campo${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene${\displaystyle \mathbb {Q} }$y es un campo de característica 0 .

Dado que 0 se puede escribir como suma de cuadrados, ^{[ d ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ no se puede convertir en un campo ordenado .

El campo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene una única extensión algebraica propia : los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$. En otras palabras, esta extensión cuadrática ya está cerrada algebraicamente . Por el contrario, el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, denotado${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$tiene grado infinito, ^{[ 15 ]} es decir,${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. También contrastando el caso de los números reales, aunque hay una extensión única de la valuación p -ádica a${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$Esta última no es (métricamente) completa. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

Su finalización (métrica) se denota${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$o${\displaystyle \Omega _{p}}$, ^{[ 17 ] [ 18 ]} y a veces llamados números p -ádicos complejos por analogía con los números complejos. El campo${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$es algebraicamente cerrado. ^{[ 17 ] [ 19 ]} Sin embargo, a diferencia de${\displaystyle \mathbb {C} }$, este campo no es localmente compacto . ^{[ 18 ]}

Los campos${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$y${\displaystyle \mathbb {C} }$son isomorfos, ^{[ e ]} por lo que podemos considerar${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$como${\displaystyle \mathbb {C} }$dotado de una métrica exótica. La prueba de existencia de tal isomorfismo de cuerpos se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructiva ).

Si${\displaystyle K}$es cualquier extensión de Galois finita de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$el grupo Galois${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$es resoluble . Por lo tanto, el grupo de Galois absoluto${\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}$es prosoluble .

El grupo de unidades${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$está contenido en el grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }=\mathbb {Q} _{p}-\{0\}}$. Tienen el mismo subgrupo de torsión (subgrupo de elementos de orden finito). El lema de Hensel implica que el subgrupo de torsión de${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$mapas sobreyectivamente a${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$El núcleo es${\displaystyle \{1\}}$cuando${\displaystyle p>2}$y${\displaystyle \{\pm 1\}}$cuando${\displaystyle p=2}$. En particular, el subgrupo de torsión de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$es cíclico de orden${\displaystyle p-1}$cuando${\displaystyle p>2}$y es igual a${\displaystyle \{\pm 1\}}$cuando${\displaystyle p=2}$. Por lo tanto, para n > 2 , el campo${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene el n -ésimo campo ciclotómico si y solo si n | p − 1 . ^{[ 20 ]}

Dado un número natural k , sea${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times k}}$sea ​​el grupo de potencias k de elementos de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$; luego el índice${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p}^{\times }:\mathbb {Q} _{p}^{\times k})}$es finito.

Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse se cumple para una ecuación si esta puede resolverse sobre los números racionales si y solo si puede resolverse sobre los números reales y sobre los números p -ádicos para cada primo p . Este principio se cumple, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas , pero no para polinomios de orden superior en varias indeterminadas. 

Los números p -ádicos han aparecido en varios campos de las matemáticas, así como en la física.

Los números reales y los números p -ádicos son completaciones de los racionales; también es posible completar otros cuerpos, por ejemplo, los cuerpos numéricos algebraicos generales , de forma análoga. Esto se describirá a continuación.

Supongamos que D es un dominio de Dedekind y E es su cuerpo de fracciones . Elija un ideal primo no nulo P de D. Si x es un elemento no nulo de E , entonces xD es un ideal fraccionario y puede factorizarse de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos no nulos de D. Por lo tanto, al escribir ord _P ( x ) para el exponente de P en esta factorización, obtenemos una valoración discreta bien definida, y para cualquier elección de número c mayor que 1 podemos establecer $${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$$ Completar con respecto a este valor absoluto |⋅| _P produce un cuerpo E _P , la generalización propia del cuerpo de números p -ádicos a este contexto. La elección de c no cambia la completación (diferentes elecciones producen el mismo concepto de sucesión de Cauchy, por lo tanto la misma completación). Es conveniente, cuando el cuerpo residual D / P es finito, tomar para c el tamaño de D / P .

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo numérico y D es su anillo de enteros , el teorema de Ostrowski afirma que todo valor absoluto no trivial no arquimediano en E surge como algún |⋅| _P . Los demás valores absolutos no triviales en E surgen de las diferentes incrustaciones de E en los números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos no arquimedianos pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los cuerpos C _p , lo que sitúa la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un cuerpo numérico en una base común).

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las completaciones mencionadas anteriormente cuando E es un campo numérico (o, más generalmente, un campo global ), que se consideran codificadores de información "local". Esto se logra mediante anillos adele y grupos idele .

Los enteros p -ádicos pueden extenderse a solenoides p -ádicos.${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$. Hay un mapa de${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$al grupo circular cuyas fibras son los enteros p -ádicos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, en analogía con cómo hay un mapa de${\displaystyle \mathbb {R} }$al círculo cuyas fibras son${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Los enteros p -ádicos también pueden extenderse a enteros profinitos.${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$, que puede entenderse como el producto directo de anillos$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$$ A diferencia de los enteros p -ádicos que solo generalizan el módulo sobre potencias de primos p ^k , los enteros profinitos generalizan el módulo sobre todos los números naturales n . El teorema chino del resto implica asimismo una estructura de${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$para bases compuestas: para cualquier n que tenga al menos dos factores primos distintos, el anillo entero n -ádico${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$es isomorfo a${\displaystyle \prod _{p|n}\mathbb {Z} _{p}}$. ^{[ 21 ]}

• Weisstein, Eric W. "Número p-ádico" . MathWorld .
• Número p -ádico en la Enciclopedia en línea de matemáticas de Springer