Integral Volkenborn

En matemáticas, en el campo del análisis p-ádico , la integral de Volkenborn es un método de integración para funciones p-ádicas.

Dejar  :${\displaystyle f:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {C} _{p}}$Sea una función de los enteros p-ádicos que tome valores en los números p-ádicos. La integral de Volkenborn se define por el límite, si existe:

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x=0}^{p^{n}-1}f(x).}$

En términos más generales, si

${\displaystyle R_{n}=\left\{\left.x=\sum _{i=r}^{n-1}b_{i}p^{i}\right|b_{i}=0,\ldots ,p-1{\text{ para }}r<n\right\}}$

entonces

${\displaystyle \int _{K}f(x)\,{\rm {d}}x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{p^{n}}}\sum _{x\in R_{n}\cap K}f(x).}$

Esta integral fue definida por Arnt Volkenborn.

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}1\,{\rm {d}}x=1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x\,{\rm {d}}x=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{6}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}x^{k}\,{\rm {d}}x=B_{k}}$

dónde${\displaystyle B_{k}}$es el k-ésimo número de Bernoulli .

Los cuatro ejemplos anteriores se pueden comprobar fácilmente mediante el uso directo de la definición y la fórmula de Faulhaber .

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}{x \choose k}\,{\rm {d}}x={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}(1+a)^{x}\,{\rm {d}}x={\frac {\log(1+a)}{a}}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}e^{ax}\,{\rm {d}}x={\frac {a}{e^{a}-1}}}$

Los dos últimos ejemplos pueden comprobarse formalmente desarrollando la serie de Taylor e integrando término a término.

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log _{p}(x+u)\,{\rm {d}}u=\psi _{p}(x)}$

con${\displaystyle \log _{p}}$la función logarítmica p-ádica y${\displaystyle \psi _{p}}$la función digamma p-ádica .

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x+m)\,{\rm {d}}x=\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{x=0}^{m-1}f'(x)}$

De esto se deduce que la integral de Volkenborn no es invariante bajo traslación.

Si${\displaystyle P^{t}=p^{t}\mathbb {Z} _{p}}$entonces

${\displaystyle \int _{P^{t}}f(x)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{p^{t}}}\int _{\mathbb {Z} _{p}}f(p^{t}x)\,{\rm {d}}x}$

La idea de integrar funciones p-ádicas fue propuesta inicialmente por F. Thomas y François Bruhat . Sin embargo, la definición de su integral p-ádica invariante bajo traslación resultó demasiado restrictiva para fines analíticos y de teoría de números. Arnt Volkenborn desarrolló la integral p-ádica generalizada, que posteriormente recibió su nombre, en su tesis doctoral de 1971 en la Universidad de Colonia . La integral de Volkenborn permite la integración de todas las funciones localmente analíticas, como las series de Laurent . Se utiliza en el cálculo de los números de Bernoulli p-ádicos generalizados (como en los ejemplos anteriores) y otras funciones p-ádicas.

• distribución p-ádica

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. En: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, núm. 4, 1972,
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. En: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, núm. 1, 1974,
• Henri Cohen, "Teoría de los números", Volumen II, página 276