Grupo prosoluble

En matemáticas , más precisamente en álgebra , un grupo prosoluble (menos común: grupo prosoluble ) es un grupo isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos resolubles . De forma equivalente, un grupo se denomina prosoluble si, visto como un grupo topológico , todo entorno abierto de la identidad contiene un subgrupo normal cuyo grupo cociente correspondiente es un grupo resoluble.

• Sea p un número primo , y denotemos el cuerpo de los números p-ádicos , como es habitual, por${\displaystyle \mathbf {Q} _ {p}}$Luego el grupo Galois${\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbf {Q} }}_{p}/\mathbf {Q} _{p})}$, dónde${\displaystyle {\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$denota el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbf {Q} _ {p}}$, es resoluble. Esto se deduce del hecho de que, para cualquier extensión de Galois finita${\displaystyle L}$de${\displaystyle \mathbf {Q} _ {p}}$el grupo Galois${\displaystyle {\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _ {p})}$se puede escribir como producto semidirecto${\displaystyle {\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})=(R\rtimes Q)\rtimes P}$, con${\displaystyle P}$cíclico de orden${\displaystyle f}$para algunos${\displaystyle f\in \mathbf {N}}$,${\displaystyle Q}$cíclico de orden divisor${\displaystyle p^{f}-1}$, y${\displaystyle R}$de${\displaystyle p}$-orden de potencia. Por lo tanto,${\displaystyle {\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _ {p})}$es resoluble. ^{[ 1 ]}

• teoría de Galois